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2002 AIME II中文版


2002 年美国数学邀请赛(2)

1. 已知:(1)x 和 y 是两个介于 100 与 999(包括这两个数)之间的整数; (2)y 是由 x 的数码按倒序排列形成的; (3)z=|x-y|. z 可能有多少个不同的值? 2. 若 P=(7,12,10),Q=(8,8,1)和 R=(11,3,9)是一个立方体的三个顶点,求 这个立方体的表面积. 3. 已知

log6a+log6b+log6c=6,这里 a,b,c 是正整数,且它们依次形成一个 递增的等比数列,b-a 是一个完全平方数,求 a+b+c. 4. 用于修建庭院的砌块是一个边长为 1 的正 六边形,用它们边与边相接作为花园的轮廓. 当 n=5 时,花园外沿走道如图所示 .如果 n=202,外沿走道围成的区域的面积(不包括 走道本身)是 m(
3 ),这里 m 是一个正整数, 2

求 m 被 1000 除的余数. 5. 已知正整数 a=2n3m,其中 m 和 n 是非负整数,求所有使得 a6 不是 6a 的约数的那些 a 之和. 6. 求最接近 1000 ?
10000

1 的整数. n ?3 n ? 4
2

7. 对所有正整数 k,已知 12+22+32+?+k2=

k ( k ? 1)( 2k ? 1) ,求最小的正整 6

数 k,使得 12+22+32+?+k2 是 200 的倍数.

8. 求最小的正整数 k,使得关于 n 的方程[

2002 ]=k 没有整数解. n

9. 令集合 S 是{1,2,3,?,10}.当两个集合没有公共元素时,称它们为 “互斥集合”.若 S 的“互斥子集”的个数是 n,求 n 被 1000 除的余数. 10. 在计算一个给定的角的角的正弦值时,一位心不在焉的教授忽视 了对计算器角度模式的正确选择,但是他幸运地得到正确的结果, 两个使得 x 度的正弦值与 x 弧度的正弦值相同的最小正数是 和
p? ,这里 m,n,p 和 q 是正整数,求 m+n+p+q. q??
m? n??

11. 有两个不同的实数无穷等比数列,它们的各项和都是 1,第二项是相 同的,都可以写成
m ?n (这里 m,n 和 p 都是正整数,m 不能被任何 p
1 8

质数的平方整除), 这两个数列其中 有一个它的第三 项是 ,求 100m+10n+p. 12. 某篮球运动员进行一次投篮,命中的概率是 0.4,前后两次投篮是否 命中是相互独立的.在第 n 次投篮后,将所有的命中个数与投篮的
paq br 次数之比记作 an,则出现 a10=0.4 且 an?0.4(1?n?9)的概率是 c , s

这里 p,q,r 和 s 是质数,a,b,c 是正整数,求(p+q+r+s)(a+b+c). 13. 在?ABC 中,点 D 在 BC 上,CD=2,DB=5,点 E 在 AC 上,CE=1,EA=3, AB=8,AD 与 BE 相交于点 P,点 Q 和点 R 在 AB 上,使得 PQ 与 AC 平行,PR 与 BC 平行,已知?PQR 的面积与?ABC 的面积之比是 这里 m 和 n 是互质的正整数,求 m+n. 14. 已知?APM 的周长是 152,?PAM 是直角,一个半径为 19 的圆其圆
m , n

心 O 在 AP 上并使得 AM 和 PM 都与它相切,若 OP= n 是互质的正整数,求 m+n.

m ,这里 m 和 n

15. 圆 C1 和圆 C2 相交于两点,其中一点是(9,6),两圆半径的乘积是 68,x 轴和直线 y=mx(这里 m>0)与两圆都相切.已知 m 可以写成
a b 的 c

形式,这里 a,b 和 c 都是正整数,b 不能被任何质数的平方整除,a 与 c 互质,求 a+b+c.

答案:

009 521 518

294 112 660

111 049 901

803 501 098

042 900 282


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