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宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三3月第一次联考调研数学试题(文科)


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宁夏回族自治区石嘴山市 2013 届高三 3 月第一次联考调研数学试题(文科)

(2013-3-21)
一、选择题 1.设全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 3} , B ? {x | x ? 6} ,则集合 (CU A) ? B ? ( ) A.

{x | 3 ? x ? 6} B. {x | 3 ? x ? 6} )
B

??? ??? ? ? 2.如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA , OB ,
则复数 z1 对应的点位于(
z2

C. {x | 3 ? x ? 6}

D. {x | 3 ? x ? 6} y

A.第一象限 A. y 2 ? 4 x

B.第二象限 C.第三象限 B. x 2 ? 4 y 0 2.2 C. y 2 ? 8x 1 4.3

D.第四象限 )
-2 -1

3.若抛物线的焦点坐标为(0,2) ,则抛物线的标准方程是( D. x 2 ? 8 y 3 4.8 4.已知 x , y 的取值如下表:

O

1

x

A

x
y

4 6.7 )

? 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 y ? 0.95x ? a ,则 a ? (
A.3.25 B.2.6 C.2.2 D.0 5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( A. 3 B. 2 3 C. )
1cm 2cm

3 3 4


D.

3 3 2
2cm

3cm

2 6.已知 sin ? ? ,则 cos(? ? 2? ) ? ( 3
A. ?

2cm

5 3

B.

5 3

C. ?

1 9

D.

1 9

开始

7.设 a , b 是平面 ? 内两条不同直线, l 是平面 ? 外的一条直线, 则“ l ? a , l ? b ”是“ l ? ? ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
h(x)=f(x) 是

输入 x

8.已知向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 , 则向量 a , b 夹角的余弦值为(

f(x)>g(x)



h(x)=g(x)

1 A. 2

1 B.- 2

3 C. 2
x

3 D. ? 2
2

9.如图所示的算法流程图中,若 f ( x) ? 2 , g ( x) ? x ,则 h(3) ? ( A.8 B. -1 C. 9 D. 1 10.已知圆 C 的圆心在射线 y ? 2 x ( x ? 0 )上,且与 x 轴相切, 被 y 轴所截得的弦长为 2 3 ,则圆 C 的方程是( A. ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20
2 2



输出 h(x)

结束
2


2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 16

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C. ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1

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D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

1 ? ?2 a n , 0 ? a n ? 2 3 ? 11. 数列 {an } 满足 an?1 ? ? , a1 ? , 若 则数列 {an } 的第 2013 项为 ( 5 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1 n ? n 2 ?
A.



3 5

B.

2 5

C.

1 5

D.

4 5

12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ' ( x) ,且 f ' (0) ? 0 ,对于任意实数 x 都 有 f ( x) ? 0 , 则

f (1) 的最小值为( f ' (0)
B.



A. 3 二、填空题

5 2

C. 2

D.

3 2

13.在等差数列 {an } 中,若 a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为_______。 14.给出如下三个命题:①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题;
a b a b ②命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ” ;

③“ ?x ? R ,则 x ? 1 ? 1 ”的否定为“ ?x ? R ,则 x ? 1 ? 1 ” 。其中不正确命题的序
2 2

号是 15. 设双曲线 4 x2 ? y 2 ? 1的两条渐近线与直线 x ? (包括边界) D, 为 2 围成的三角形区域 点 P( x, y) 为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? 1 x ? y 的最小值为__________。 2 16.已知三棱锥 P-ABC 中,底面△ABC 是边长为 3 的等边三角形,侧棱长都相等,半径为 2 的球 O 过三棱锥 P-ABC 的四个顶点,则 PA 的长为 。 三、解答题 17. △ABC 中, A、 C 的对边分别为 a 、b 、c ,C ? 在 角 B、 (1)求 a 、 c 的值; (2)求 sin( A ?

?
3

,b ? 5 , △ABC 的面积为 10 3 。

?
6

) 的值。

18.已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,PB=PD,E 为 PA 的中点。 (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)求证:平面 PAC⊥平面 BDE。

19.从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次,分别为: 甲:7.7 7.8 8.1 8.6 9.3 9.5 乙:7.6 8.0 8.2 8.5 9.2 9.5 (1)根据以上的茎叶图,对甲、乙运动员的成绩作比较,写出 两个结论;
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甲 8 6 5 7 1 3 7 8 9 6 0 2



2 5

5

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(2)从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取 1 次成绩,求甲、乙运动员的成绩至少有一 个高于 8.5 分的概率; (3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,发现甲运动 员成绩均匀分布在[7.5,9.5]之间,乙运动员成绩均匀分布在[7.0,10]之间,现甲、 乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.5 分的概率。 20.已知椭圆 C 的焦点为 F1(-1,0) 2(1,0) ,F ,点 P(-1,

2 )在椭圆 C 上。 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )与椭圆 C 相交于点 M、N, 当△OMN(O 是坐标原点)的面积取得最大值时,求 p 的值。

21.已知函数 f ( x) ? 的值;

a ? b ln x 在点(1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 2 。 (1)求 a 、 b x ?1

(2)对函数 f ( x ) 定义域内的任一个实数 x , f ( x) ?

m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 x

22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的 切线交⊙O2 于点 C,过点 B 和两圆的割线,分别交⊙O1、 ⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P。 (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长。 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (与直角坐标系

?x ? t ? 3 ? ( t 为参数) ,在极坐标系 ? y ? 3t ?

xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的 2 极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0 。 (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方
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程;

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(2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围。 24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |, a ? R 。 (1)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x ) ? 5 的解集; (2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取 值范围。

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2013 年石嘴山市高三年级第一次联考试卷 数 学(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 52 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 14. ①③ 15. 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A 12 C

?

3 2 2

16. 2 或 2 3 (注:答对一个得 2 分)

解:(?) S ?ABC ? ?
? a ? 5 ? sin

1 ab sin C ? 10 3 2
……… (3 分)

?
3

? 20 3, 得a ? 8

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C , c ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

? 82 ? 52 ? 2 ? 5 ? 8 ?

1 ?7 2

……(6 分)

3 8? a c a sin C 2 ?4 3 (??) ? ? ,? sin A ? ? sin A sin C c 7 7 2 2 2 2 2 2 b ?c ?a 5 ? 7 ?8 1 cos A ? ? ? 2bc 2? 5? 7 7 ? ? ? 4 3 3 1 1 13 sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? ? ? ? ? 6 6 6 7 2 7 2 14
18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO 因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC .………… (2 分) 因为 EO ? 平面 BDE , PC ? 平面 BDE , 所以 PC ∥平面 BDE .
A

……(8 分) ……(10 分) ……(12 分)

P

E

D O B

C

………… (4 分) ………… (6 分)

(Ⅱ)证明:连结 OP 所以 OP ? BD .
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因为 PB ? PD ………… (8 分)

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所以 BD ? 平面 PAC ,

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………… (10 分) ………… (11 分) ………… (12 分)

在菱形 ABCD 中, BD ? AC ,因为 OP ? AC ? O

因为 BD ? 平面 BDE , 所以平面 PAC ? 平面 BDE 19. (本小题满分 12 分)

(Ⅰ)① 由样本数据得 x甲 ? 8.5, ? 8.5 ,可知甲、乙运动员平均水平相同; x乙 ②由样本数据得 s甲 ? 0.49, s乙 ? 0.44 ,乙运动员比甲运动员发挥更稳定;
2 2

③甲运动员训练成绩的中位数为 8.1 ,乙运动员训练成绩的中位数为 8.2 ④甲运动员训练成绩的极差为 1.9, 乙运动员训练成绩的极差为 1.8, 乙运动员比甲运动 员发挥更稳定 (Ⅱ)设甲乙成绩至少有一个高于 8.5 分为事件 A ,则 P( A) ? 1 ? ??? (4 分)

3? 4 2 ? ???? (8 分) 6?6 3

(Ⅲ)设甲运动员成绩为 x ,则 x ? ?7.5,9.5? 乙运动员成绩为 y , y ? ?7,10?

?7.5 ? x ? 9.5 ? ? 7 ? y ? 10 ??(10 分) ? x ? y ? 0 .5 ?
设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于 0.5 的事件为 B ,则

y 3

P( B) ? 1 ?

2?2 1 ? ???(12 分) 2?3 3
O
0 .5 2 .5

x

20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ??2 分, ? 2 2 ,所以 a ? 2 ,
c ? 1 ,所以 b ? a 2 ? c 2 ? 1
椭圆 C 的方程为 ??(4 分)

x2 ? y2 ? 1 2

??? (5 分)

(Ⅱ)根据椭圆和抛物线的对称性,设 M ( x0 , y0 ) 、 N ( x0 , ? y0 ) ( x0 , y0 ? 0 ) ,

?OMN 的面积 S ?
2

x 1 2 x0 ? (2 y 0 ) ? x0 y 0 , M ( x0 , y0 ) 在椭圆上, 0 ? y 0 ? 1 , 2 2
2

2

所以 1 ?

x0 x 2 2 ? y 0 ? 2 0 ? y 0 ? 2 x0 y 0 , 2 2

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当且仅当

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??(9 分)

x0 2

? y 0 时,等号成立

? x0 2 2 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? ? 2 解? ( x0 , y0 ? 0 )得 ? 2 ? x0 ? y ? y0 ? 0 2 ? ? 2 ?

M ( x0 , y0 ) 即 M (1 ,
所以 (

2 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上, 2
??(12 分)

1 2 2 ) ? 2 p ? 1 ,解得 p ? 4 2

(注: ?OMN 的面积 S ?

1 x0 ? (2 y 0 ) ? x0 y 0 的最值也可用二次函数法求解) 2

21. (本小题满分 12 分)

b ( x ? 1) ? (a ? b ln x) a ? b ln x x ? f ?( x) ? 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 而点 (1, f (1)) 在直线 x ? y ? 2 上 ? f (1) ? 1 ,又直线 x ? y ? 2 的斜率为 ?1 ? f ?(1) ? ?1

? a ? 2 ?1 ?a ?2 故有 ? ??(6 分) ?? 2b ? a ?b ? ?1 ? ? ?1 ? 4 2 ? ln x m 2 x ? x ln x ( x ? 0) 由 f ( x ) ? 及 x ? 0 ? ?m (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? x ?1 x x ?1 2 x ? x ln x (1 ? ln x)(x ? 1) ? (2 x ? x ln x) 1 ? x ? ln x 令 g ( x) ? ? g / ( x) ? ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 1 令 h( x) ? 1 ? x ? ln x ? h?( x) ? ?1 ? ? 0( x ? 0) ,故 h(x) 在区间 (0,??) 上是减函数,故 x 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 / 从而当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ? g (x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1,??) 是减函数,故 g ( x) max ? g (1) ? 1 2 x ? x ln x ? m 成立,只需 m ? 1 故 m 的取值范围是 (1,??) ??(12 分) 要使 x ?1
(备注:也可以用数形结合的方法,相应给分) 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,若都选,则按所做的第一题记分。 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(I)连接 AB ∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D,
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A O1 O2 E

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B D C

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又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. ??(5 分) (II)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ① ②

9+x 6 PD AP ∵AD∥EC,∴ = ,∴ = PE PC y 2
? ?x=3 由①、②解得? ?y=4 ?

(∵x>0,y>0)

∴DE=9+x+y=16, ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD2=DB· DE=9× 16,∴AD=12. ??(10 分)

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (I)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??(2 分) ???(5 分)

曲线 C 的直角坐标方程为: x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 【或 ( x ? 2) ? y ? 1】. (II)曲线 C 的标准方程为 ( x ? 2) ? y ? 1,圆心 C (2, 0) ,半径为 1;

|2 3 ? 0 ? 3 3| 5 3 ? 2 2 5 3 5 3 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围是 [ ? 1, ? 1] 2 2
∴圆心 C (2, 0) 到直线 l 的距离为: d ? 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解::(Ⅰ) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于

????(8 分) ????(10 分)

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 或? ? ??2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5
解得: x ? 0 或 x ? 5 .

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 5

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} .

??(5 分)

(Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以 f ( x)min ? a ?1 ?8 分. 由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 。 ?(10 分)

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