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立体几何2014-2016文科数学高考试题


三年高考(2014-2016)数学(文)试题分项版解析 第十章 立体几何
一、选择题 1. 【2016 高考新课标 1 文数】 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.
28π 若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( 3 )

(A)17π

(B)18π

(C)20π



(D)28π ) D. 2

2.【2015 高考北京,文 7】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(
A. 1 B. 2 C. 3

3.

【2014 高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线 l1 . l2 . l3 . l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 //l3 , l3 ? l4 , ) C. l1 . l4 既不平行也不垂直 D. l1 . l4 的位置关系不确定

则下列结论一定正确的是( A. l1 ? l4 B. l1 //l4

4.

【2016 高考新课标 1 文数】平面 ? 过正文体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点

A ? //平面CB1D1 , ? ? 平面ABCD ? m , ? ? 平面ABB1 A 1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为(



(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

5.【2015 高考广东,文 6】若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内,l 是平面 ? 与平面 ?
的交线,则下列命题正确的是( A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

6.

【2016 高考上海文科】如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、BB1 的中点,则下列直 )

线中与直线 EF 相交的是(

(A)直线 AA1 (C)直线 A1D1

(B)直线 A1B1 (D)直线 B1C1

7.【

2014 湖南文 8】一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得 ) C.3 D.4

到的最大球的半径等于( A.1 B.2

8.

【2016 高考浙江文数】已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则(



A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n

9.

【2015 高考湖南,文 10 】某工作的三视图如图 3 所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能

大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率= 新工件的体积/原工件的体积) ( A、 )

8? 9

B、

8 27?

C、

24( 2 ? 1) 2

?

D、

8( 2 ? 1) 2

?

10. 【2016 高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与
俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

【答案】B

11.【2015 高考山东,文 9】已知等腰直角三角形的直角边的长为?,将该三角形绕其斜边所在的直线旋
转 一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A) )
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

2 2? 4 2? ???? (B) ???? ( )? 2 2? ? ? ? ? ( )? 4 2? ? ? ? 3 3

12. 【2014 高考陕西版文第 5 题】将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体
的侧面积为( )

A.4?

B.3?

C .2?

D.?


13.

【2015 高考陕西,文 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4

A. 3?

14.【2014 全国 2,文 6】如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件
的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削的部分的体积与原来 毛坯体积的比值为( A. ) C.

17 27

B.

5 9

10 27

D.

1 3

15. [2016 高考新课标Ⅲ文数]如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,
则该多面体的表面积为( )

(A) 18 ? 36 5

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

16.

【2014 全国 2,文 7】正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , D 为 BC 中点,则三 )

棱锥 A ? B1DC1 的体积为(

(A) 3

(B)

3 2

(C) 1

(D)

3 2

A1 B1

C1

A D B

C

17.


【2016 高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 )

(A) +

1 2 1 2 π π (B) + 3 3 3 3

(C)

1 2 2 + π (D) 1+ π 3 6 6
) (锥体体积

18.

【2014 四川,文 4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是(

公式: V ? A、 3

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高) 3
B、 2 C、 3 D、 1

1 2 2 1 1 1 侧视图

2

2 俯视图

19.【2015 高考新课标 1,文 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今
有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆 为一 个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积 和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

20.

【2014 全国 1,文 8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则 ) C.四棱锥 D.四棱柱

这个几何体是( A.三棱锥

B.三棱柱

21. 【2016 高考山东文数】已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,b 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平
面 α 和平面 b 相交”的( )

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

22.【2015 高考新课标 1,文 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该
几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) (A) 1 (C) 4 (B) 2 (D) 8

[来源:学+科+网]

23.

【2014 年.浙江卷.文 3】某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(



3 A. 72cm

3 B. 90cm

3 C. 108cm

3 D. 138cm

24.

【2014 年.浙江卷.文 6】设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则( B.若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? D.若 m ? n , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? ?



A.若 m ? n , n // ? , 则 m ? ? C.若 m ? ? , n ? ? , n ? ? ,则 m ? ?

25.

[2016 高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB ? BC ,

AB ? 6 , BC ? 8 , AA1 ? 3 ,则 V 的最大值是(
(A)4π (B)

) (D)

9? 2

(C)6π

32? 3


l ,m 是两条不同的直线, 26. 【2015 高考浙江, 文 4】 设 ? ,? 是两个不同的平面, 且 l ? ? ,m ? ?(
A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m )

27.

【2015 高考浙江,文 2】某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是(
3 B. 12 cm

3 A. 8 cm

C.

32 cm3 3

D.

40 cm3 3

28.

【2015 高考浙江,文 7】如图,斜线段 ?? 与平面 ? 所成的角为 60 , ? 为斜足,平面 ? 上的动点 ?
? ?

满足 ???? ? 30 ,则点 ? 的轨迹是( A.直线 B.抛物线

) C.椭圆 D.双曲线的一支

29.

【2014 高考重庆文第 7 题】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.12

B.18

C.24 )

D.30

30.

【2015 高考重庆,文 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

(A)

1 ? 2? 3

(B)

13? 6

(C)

7? 3

(D)

5? 2
( )

31.
A.

【2014,安徽文 8】一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是 B.

23 3

47 6

C. 6

D.7

32.【2015 高考安徽,文 9】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 (



(A) 1 ? 3

(B) 1 ? 2 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

33.【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 7】在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四
面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则 该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

34. 【2015 高考湖北,文 5】l1 , l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1 , l2 是异面直线;q:l1 , l2 不相交,则(
A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件



35.

【2014 福建,文 3】以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周 所得圆 )

柱的侧面积等于 (

A.2?

B.?

C.2

D.1


36.【2015 高考福建,文 9】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(
A. 8 ? 2 2 B. 11 ? 2 2 C. 14 ? 2 2 D. 15 )

37.

【2015 北京文 7】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( B. 2 C. 3

A. 1

D. 2

38.【2014 辽宁文 4】已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是(
A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?



39. 【2015 新课标 2 文 6】 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体
积与剩余部分体积的比值为( )

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

40.

(2014 课标全国Ⅰ,文 8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图, ).

则这个几何体是(

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

41. 【2015 新课标 2 文 10】已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点.若三棱锥
O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(
A. 36π B. 64π C. 144 π D. 256 π ) )

42.

【2014 辽宁文 7】某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( B. 8 ? ?
1

A. 8 ? 2?
1 2

C. 8 ?

? 2

D. 8 ?

? 4

2 1 2 1 2

二、填空题 1. 【2016
高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是______cm2,体

积是______cm3.

2.

【2014 高考北京文第 11 题】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为

.

2

2 正(主)视图 1 1

1 侧(左)视图

俯视图

3.

【2014 山东.文 13】一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该 .

六棱锥的侧面积为

4.

【2016 高考浙江文数】如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= 5 ,∠ADC=90° .沿

直线 AC 将△ACD 翻折成△ ?CD? ,直线 AC 与 ? D? 所成角的余弦的最大值是______.

5.

【2016 高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积

.

6.【2015 高考四川,文 14】在三棱住 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为 1
的正方形 ,俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则三 棱锥 P-A1MN 的体积是______.

7.

【2016 高考北京文数】某四棱柱的 三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.

8.

【2014 天津,文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为

m3 .

9. 【2015 高考天津,文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

m3 .

10.【2014 上海,文 8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体
的体积之和等于 .

11.

【2014 天津文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为

m3 .

三、解答题 1. 【2016 高考新课标 1 文数】 (本题满分 12 分)如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,
顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (I)证明 G 是 AB 的中点; (II)在答题卡第(18)题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积.

P

A G

E D B C

2.

【2014 高考北京文第 17 题】 (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧棱垂直于底面,

AB ? BC , AA1 ? AC ? 2 , E 、 F 分别为 AC BC 的中点. 1 1、
(1)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (2)求证: C1F // 平面 ABE ; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

A1

E B1

C1

A B F

C

3. 【2015 高考北京,文 18】 (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 V ? ??C 中,平面 V?? ? 平面 ?? C ,
?V?? 为等边三角形, ?C ? ?C 且 ?C ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.
(I)求证: V? // 平面 ??C ; (II)求证:平面 ??C ? 平面 V ?? ; (III)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

4.

【2014 高考广东卷.文.18】(本小题满分 13 分)如图 2,四边形 ABCD 为矩形, PD ? 平面

ABCD , AB ? 1 , BC ? PC ? 2 ,作如图 3 折叠,折痕 EF //DC .其中点 E . F 分别在线段 PD . PC 上,沿
EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M ,并且 MF ? CF .
(1)证明: CF ? 平面 MDF ; (2)求三棱锥 M ? CDE 的体积.

A

B

A M

B

D

C E

D F
图3

C

P

图2

P

5.

[2016 高 考 新 课 标 Ⅲ 文 数 ] 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABC 中 , PA ? 平 面 A B C D , AD ? BC ,

AB ? AD ? AC ? 3 , PA ? BC ? 4 , M 为线段 AD 上一点, AM ? 2 MD , N 为 PC 的中点.

(I)证明 MN ? 平面 PAB ; (II)求四面体 N ? BCM 的体积.

6.【2015 高考广东,文 18】 (本小题满分 14 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ?? CD 所在的
平面垂直, ?D ? ?C ? 4 ,

?? ? 6 , ? C ? 3 .
(1)证明: ? C// 平面 ? D ? ; (2)证明: ?C ? ?D ; (3)求点 C 到平面 ? D ? 的距离.

7. 【

2014 湖南文 18】如图 3,已知二面角 ?
?

? MN ? ? 的大小为 60? ,菱形 ABCD 在面 ? 内, A, B 两

点在棱 MN 上, ?BAD ? 60 , E 是 AB 的中点, DO ? 面 ? ,垂足为 O . (1)证明: AB ? 平面 ODE ; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.

8.

【2016 高考北京文数】 (本小题 14 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 平面 ABCD , AB∥DC, DC ? AC (I)求证: DC ? 平面PAC ; (II)求证: 平面PAB ? 平面PAC ; (III)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 ?? // 平面 C?F ?说明理由.
[来源:Zxxk.Com]

9.【2015 高考湖南,文 18】 (本小题满分 12 分)如图 4,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正
三角形, E , F 分别是 BC, CC1 的中点。 (I)证明:平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ;

F ? AEC 的体积。 (II)若直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角为 45 ,求三棱锥
?

10.

【2014 山东.文 18】 (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AP ⊥平面 PCD , AD ∥ BC , AB ? BC ? (1)求证: AP ∥平面 BEF ; (2)求证: BE ⊥平面 PAC .

1 AD , E , F 分别为线段 AD, PC 的中点. 2

11.

【2016 高考山东文数】 (本小题满 分 12 分)

在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.

(I)已知 AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB; (II)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH∥平面 ABC.

12.
中点.

【2015 高考山东,文 18】 如图,三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的

(I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC, 求证:平面 BCD ? 平面 EGH .

13.

【2016 高考天津文数】(本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE= 6 , DE=3,∠BAD=60? ,G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证: FG // 平面 BED; (Ⅱ)求证:平面 BED⊥平面 AED; (Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.

14. 【2014 高考陕西版文第 17 题】
交四面体的棱

四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD, BC 的平面分别

AB, BD, DC, CA 于点 E , F , G, H .

(1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形.

A 1 H E D B F G C 2 2

 主视图

左视图

俯视图

15.

【2015 高考陕西,文 18】如图 1,在直角梯形 ABCD 中,

AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 O 是 OC 与 BE 的交点, AD ? a , 将 ?ABE 沿 BE E 是 AD 的中点, 2

折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱锥 A 1 ? BCDE . (I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (II)当平面 A 1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A 1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

16.

【2014 全国 2,文 18】 (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ; (Ⅱ)设 AP ? 1, AD ?

3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

P E A D

B

C
【2016 高考浙江文数】 (本题满分 15 分)如图,在三棱台 ABC-DEF 中,平面 BCFE⊥平面 ABC,

17.

∠ACB=90° ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求证:BF⊥平面 ACFD; (II)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

18.

【2016 高考上海文科】 (本题满分 12 分)

5? ? AC 长为 将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱,如图, ? ,? A1B1 长为 , 6 3

其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. (1)求圆柱的体积与侧面积; (2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小.

19.

【2014 四川,文 18】 (本小题满分 12 分)

在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1 都为矩形。 1 和 ACC1 A (Ⅰ)若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A1 ;

(Ⅱ) 设 D ,E 分别是线段 BC ,CC1 的中点, 在线段 AB 上是否存在一点 M , 使直线 DE / / 平面 A1MC ? 请证明你的结论。

A1 B1

C1 E

A D B

C

20.

【 2015 高考四川,文 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF ? 平面 BEG

D E A

C

G E

B F D A B C

H

21. 【2014全国1, 文19】 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O , 且 AO ?
平面 BB1C1C .

(1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.
?

22.

【2016 高考四川文科】 (12 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°, BC ? CD ?
P

1 AD . 2

B

C

A

D

(I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD.

23.

【2015 高考新课标 1,文 18】 (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点,

BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

24.

【 2015 高 考 浙 江 , 文 18 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 ABC - A 1B 1C1 中 ,

?ABC ? 90?,AB ? AC ? 2,AA1 ? 4,A1 在底

面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点. (1)证明: A1D ? 平面A1BC ; (2)求直线 A1B 和平面 BB1CC1 所成的角的正弦值.

25.

【2014 年.浙江卷.文 20】 (本小题满分 15 分)

如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE ; ?CDE ? ?BED ? 90? , AB ? CD ? 2 ,

DE ? BE ?1 , AC ? 2 .
(1)证明: AC ? 平面 BCDE ; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.

A

D E B

C

26.

【2014 高考重庆文第 20 题】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分)

如 题 ( 20 ) 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 是 以 O 为 中 心 的 菱 形 , PO ? 底 面 A B C D,

AB ? 2, ?BAD ?

?
3

, M 为 BC 上一点,且 BM

?

1 . 2

(Ⅰ)证明: BC ? 平面 POM ; (Ⅱ)若 MP ? AP ,求四棱锥 P ? ABMO 的体积.

27.

【2015 高考重庆,文 20】如题(20)图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ? ABC=

? , 2

点 D、E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF//BC. (Ⅰ)证明:AB ? 平面 PFE. (Ⅱ)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

P

A

D F
题(20)图

E

C

B

28.【2014,安徽文 19】 (本题满分 13 分)
如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 . 点 G, E , F , H 分别是棱

PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD , BC // 平面 GEFH .
(I)证明: GH // EF; (II)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.

[来源:Z。xx。k.Com]

29.【2015 高考安徽, 文 19】 如图, 三棱锥 P-ABC 中, PA ? 平面 ABC, PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60o .
(Ⅰ)求三棱锥 P-ABC 的体积; (Ⅱ)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求

PM 的值. MC

30.

【 2014 天 津 , 文 17 】 如 图 , 四 棱 锥 , 分别是棱 ; , 的中点.

的底面

是平行四边形,



(1) 证明

平面

(2) 若二面角 P-AD-B 为

① 证明:平面 PBC⊥平面 ABCD ② 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

31.

【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 19】如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F ,

P , Q , M , N 分别是棱 AB , AD , DD1 , BB1 , A1B1 , A1D1 的中点. 求证:
(1)直线 BC1 ∥平面 EFPQ ; (2)直线 AC1 ⊥平面 PQMN .
[来源:学科网]

32.

【2015 高考湖北,文 20】 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为

阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 . 在如图所示的阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面
ABCD ,且 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,连接 DE , BD, BE .

(Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC . 试判断四面体 EBCD 是 否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P ? ABCD 的体积为 V1 ,四面体 EBCD 的体积为 V 2 ,求
V1 的值. V2

33.

【2014 上海,文 19】 (本题满分 12 分)

底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC ,其表面展开图是三角形 PP 如图, 求△ PP 1 2P 3, 1 2P 3 的各边长及此三棱锥 的体积 V .

34.【2014 福建,文 19】 ( (本小题满分 12 分)
如图,三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD, CD ? BD . (1)求证: CD ? 平面 ABD ; (2)若 AB ? BD ? CD ? 1 , M 为 AD 中点,求三棱锥 A ? MBC 的体积.

35.【2015 高考福建,文 20】如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,?? 垂直于圆 ? 所
在的平面,且 ?? ? ?? ? 1. (Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证 ?C ? 平面 ? D? ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC ? 2 ,点 E 在线段 PB 上,求 CE ? OE 的最小值.
P

E

A D

O C

B

36.

【 2015 天 津 文 17 】( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 已 知 AA1 ? 平 面 ABC, BB1 ? AA1 ,

AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 的中点. 1 1 ? 7 ,, BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分别是 BC, AC (I)求证:EF ? 平面 A 1B 1BA ; (II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 . (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

37.

【2014 辽宁文 19】 (本小题满分 12 分)

0 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、F、G

分别为 AC、DC、AD 的中点. (Ⅰ)求证: EF ? 平面 BCG; (Ⅱ)求三棱锥 D-BCG 的体积.

1 附:椎体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高. 3
A E G B F D C

38. (2014 课标全国Ⅰ,文 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且
AO⊥平面 BB1C1C.

(1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,BC=1,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的高.

39.【2015 新课标 2 文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ?8,
点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

40.

【2014 天津文 17】 (本小题满分 13 分) 的底面 是平行四边形, , , 分别是棱

如图,四棱锥 的中点. (3) 证明 平面

; ,

(4) 若二面角 P -AD-B 为

③ 证明:平面 PBC⊥平面 ABCD ④ 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.


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