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高中数学备课精选


3.2 均值不等式

测试题
) D. a +b

一.选择题: 1.已知 a、b∈(0,1)且 a≠b ,下列各式中最大的是( A.a +b
2 2

B.2 ab )
2

C.2 a b

2.x∈R,下列不等式恒成立的是( A.x +1≥x
2

B.

1 <1 x ?1
2

C.lg(x + 1)≥lg(2 x)

D.x +4>4x ) D.有最大值 2 2

2

3.已知 x+3y-1=0,则关于 2 x ? 8 y 的说法正确的是( A.有最大值 8 B.有最小值 2 2

C.有最小值 8 )
3 3 2

5.设 a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( A. (a+b)(
2 2

1 1 ? )≥4 a b

B.a +b ≥2ab D. )

C.a +b +2≥2a+2b 6.下列结论正确的是( A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+

a?b ? a ? b

1 ≥2 lg x

B.当 x>0 时 , x +

1 x

≥2

C.当 x≥2 时,x+

1 ≥2 x

D.当 0<x≤2 时,x-

1 无最大值 x


7.若 a、b、c>0 且 a(a+b+c)+bc= 4 ? 2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为( A. 3 ? 1 二.填空题: 8.设 x>0,则函数 y=2- B. 3 ? 1 C.2 3 ? 2 D.2 3 ? 2

4 -x 的最大值为 x

;此时 x 的值是 ;此时 x 的值是

。 。

9.若 x>1,则 log 2 x +log x 2 的最小值为

10.函数 y=

x2 ? x ? 4 在 x>1 的条件下的最小值为 x ?1 x2 (x ≠ 0) 的 最 大 值 是 x4 ? 2

;此时 x=_________.

11 . 函 数 f(x)=

;此时的 x 值为

_______________. 12.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,求

1 1 ? 的最小值为。 m n

-1-

13.某公司一年购某种货物 40 0 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元 /次,一年的总存储费 用为 4x 万元,要使一年的总运费与总 存储费用之和最小,则 x 为多少吨?

14.已知 x,y∈(- 3 , 3 )且 xy=-1,求 s=

3 12 的最 小值。 ? 2 3? x 12 ? y 2

-2-

参 考答案: 一.选择题: 2 2 2 2 2 2 1.D 解析:只需比较 a +b 与 a +b。由于 a、b∈(0,1) ,∴a <a,b <b∴a +b < a +b; 2.B 3.B 解析: 2 x ? 8 y = 2 x ? 2 3 y ? 2 2 x 2 3 y ? 2
x ?3 y 2

=2 2

4。 A 解法一: 设 x=sinα , y=cosα , m= 3 sinβ , n= 3 cosβ , 其中α , β ∈∈ (0°, 180°) 其他略。 解法二、 m +n =3 ? (
2 2

m 3

)2 ? (

n 3

) 2 = 1 ∴ 2 = x2+y2 + (

m 3

)2 ? (

n 3

)2 ≥

2 3

(m x ? ny) ∴

mx+ny≤ 3 。 5. B 解析: A 、 C 由 均 值 不 等 式 易 知 成 立 ; D 中 , 若 a<b , 结 论 显 然 , 若 a ≥ b 则

a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? 2 ab ? b ? 2b ? 2 ab ? 2 b ( b ? a ) ? 0 这 显
然也成立。取 a=0.1,b=0.01,可 验证 B 不成立。 6.B 解析: A 中 lgx 不一定为正;C 中等号不成立;D 中函 数为增函数,闭区间上有最值。故选 B。 7.D 2 2 2 2 2 解析:(2a+b+c) =4a +(b +c )+4ab+4ac+2b c≥4a +2bc+4ab+4ac+2bc =4(a +bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4( 4 ? 2 3 )=4 ( 3 ? 1 ) 当且仅当 b=c 时等号成立。
2 2

∴最小值为 2 3 ? 2 。 二.填空题 : 8.-2,2 9.2, 2 10 。解析:y=

x2 ? x ? 4 4 4 ? 1 ≥5,当且仅当 x=3 时等号成立。 =x? = ( x ? 1) ? x ?1 x ?1 x ?1

11。解析:f(x)=

1 1 2 x2 ? ? = ,此时 x= 4 2 。 4 2 4 x ? 2 x2 ? 2 2 2 x

三.解答题: 12. 解析: ∵y=logax 恒过定点 (1, 0) , ∴y=log a(x+3)-1 恒过定点 (-2, -1) , ∴-2m-n+1=0, 即 2m+n=1,∴

1 1 1 1 n 4m ? =( ? ) (2m+n)=2+2+ ? ≥8,∴最小值为 8。 m n m n m n

13. 解析: 设一年的总运费与总存储费用之和为 y, 则y?

400 1 6 0 0 ? 4 ? 4x ? 2 ? 4 x =160, x x

-3-

当且仅当 x =20 时等号成立。最小值为 160。 14 . 解 析 : s=

36 3 12 ≥ 2 = 12 ? 2 2 2 (3 ? x )912 ? y 2 ) 3? x 12 ? y

1 ≥ 37 ? (12 x 2 ? 3 y 2 )

12

1 37 ? 2 36

?

12 。评注: 两次等号成立的条件都一样。 5

-4-



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