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3.1随机事件的概率


新课标高中数学-必修三导学案
§3.1 随机事件的概率 1.概率与频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为 nA 事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A, 由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增

加稳定于概率 P(A), 因此可以 用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2.事件的关系与运算 定义 包含关系 相等关系 并事件 (和事件) 交事件 (积事件) 互斥事件 对立事件 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A(或称事 件 A 包含于事件 B) 若 B?A 且 A?B,那么称事件 A 与事件 B 相等 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生, 则称此事件为事件 A 与 事件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生, 则称此事件为事件 A 与 事件 B 的交事件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件, A∪B 为必然事件, 那么称事件 A 与事件 B 互为对 立事件 符号表示 B?A (或 A?B) A=B A∪B (或 A+B) A∩B (或 AB) A∩B=? A∩B=? 且 A∪B=Ω

3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率:P(A)=1.(3)不可能事件的概率:P(A)=0.

(4)概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率: 事件 A 与事件 B 互为对立事件, 则 A∪B 为必然事件. P(A∪B)=1, P(A)=1-P(B). 考点一 事件关系的判断 例 1(1) 在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A,B,C,D 的概率分别为 0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的 A.A∪B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 C.A∪C 与 B∪D 是互斥事件,但不是对立事件 B.B∪C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 D.A 与 B∪C∪D 是互斥事件,也是对立事件

3 (2) 在 5 张电话卡中, 有 3 张移动卡和 2 张联通卡, 从中任取 2 张, 若事件“2 张全是移动卡”的概率是 , 10 7 那么概率是 的事件是( 10 A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 ) B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

(3)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次,设事件 A 表示向 上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数 不小于 4,则( ) B.A 与 B 是对立事件 D.B 与 C 是对立事件

A.A 与 B 是互斥而非对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件

心灵鸡汤:仰望天空时,什么都比你高,你会自卑;俯视大地时,什么都比你低,你会自负;只有放宽视野,把天空和大地尽 收眼底,才能在苍穹泛土之间找到你真正的位置。无须自卑,不要自负,坚持自信。

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考点二 随机事件的概率 例 2. (1) 先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( 1 A. 8 3 B. 8 5 C. 8 ) 7 D. 8

(2) 在 2013 年全国运动会火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出 的火炬手的编号相连的概率为( 3 A. 10 5 B. 8 ) 7 C. 10 2 D. 5

(3) 将一枚骰子先后抛掷两次,观察向上的点数. ① 求点数之积是 4 的概率; ② 设 a,b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数,求式子 2a b=1 成立的概率.


③ 在得到点数之和不大于 6 的条件下,先后出现的点数中有 3 的概率; ④ 两颗骰子向上的点数均大于等于 4 的概率.

考点三 互斥事件与对立事件的概率 例 3(1) 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( A.至少有 1 个白球,都是白球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 D.至少有 1 个白球,都是红球 ) )

1 1 (2) 已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( 2 3 1 1 A. , 6 6 1 2 B. , 2 3 1 2 C. , 6 3 2 1 D. , 3 2

变式:有编号为 1,2,3 的三个白球,编号 4,5,6 的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意 取出两个球. (1)求取得的两个球颜色相同的概率; (2)求取得的两个球颜色不相同的概率.

心灵鸡汤:仰望天空时,什么都比你高,你会自卑;俯视大地时,什么都比你低,你会自负;只有放宽视野,把天空和大地尽 收眼底,才能在苍穹泛土之间找到你真正的位置。无须自卑,不要自负,坚持自信。

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【巩固训练】 1 12 1.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ,都是白子的概率是 .则从中任意 7 35 取出 2 粒恰好是同一色的概率是( 1 A. 7 ) 12 B. 35 17 C. 35 D.1 ) 3 D. 5

2.从 3 个红球、2 个白球中随机取出 2 个球,则取出的 2 个球不全是红球的概率是( 1 A. 10 3 B. 10 7 C. 10

3.设集合 A=B={1,2,3,4,5,6},分别从集合 A 和 B 中随机取数 x 和 y,确定平面上的一个点 P(x,y),我们记 “点 P(x,y)满足条件 x2+y2≤16”为事件 C,则 C 的概率为( 2 A. 9 1 B. 12 C. 1 6 ) 4 D. 5 ) 1 D. 2

4.从 1,2,3,4,5 中随机抽三个不同的数,则其和为奇数的概率为( 1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5

5.甲、乙两人喊拳,每人可以用手出 0,5,10 三个数字,每人则可喊 0,5,10,15,20 五个数字,当两人所出数字 之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜,若甲喊 10,乙喊 15 时,则 ( A.甲胜的概率大 C.甲、乙胜的概率一样大 )

B.乙胜的概率大 D.不能确定谁获胜的概率大

π? 6.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为 m,n,向量 a=(m,n)与向量 b=(1,0)的夹角记为 α,则 α∈? ?0,4?的 概率为( 5 A. 18 ) 5 B. 12 1 C. 2 7 D. 12

? ?-1≤x≤2, 7.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组? 表示的平面区域为 W,从 W 中随机取点 M(x,y).若 ?0≤y≤2 ?

x∈Z,y∈Z,则点 M 位于第二象限的概率为( 1 A. 6 1 B. 3

) π C.1- 12 π D.1- 6

8.将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,设两条直线 l1:ax+by=2 与 l2: x+2y=2 平行的概率为 P1, 相交的概率为 P2, 则点 P(36P1,36P2)与圆 C: x2+y2=1 098 的位置关系是( A.点 P 在圆 C 上 C.点 P 在圆 C 内 B.点 P 在圆 C 外 D.不能确定 )

9.某城市 2013 年的空气质量状况如下表所示: 污染指数 T 概率 P 30 1 10 60 1 6 100 1 3 110 7 30 130 2 15 140 1 30

其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50<T≤100 时,空气质量为良;100<T≤150 时,空气质量为轻 微污染,则该城市 2013 年空气质量达到良或优的概率为________.
心灵鸡汤:仰望天空时,什么都比你高,你会自卑;俯视大地时,什么都比你低,你会自负;只有放宽视野,把天空和大地尽 收眼底,才能在苍穹泛土之间找到你真正的位置。无须自卑,不要自负,坚持自信。

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10.一个袋子中有红球 5 个,黑球 4 个,现从中任取 5 个球,则至少有 1 个红球的概率为________. 1 1 11.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= ,P(B)= , 2 6 则出现奇数点或 2 点的概率为________. 12.三张卡片上分别写有字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词 BEE 的概率为___. 13. 连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6), 记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A, 则 P(A)最大时,m=________. 14.黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表: 血型 该血型的人所占的比例/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以互相输血,O 型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若他因病需要输血,问 (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

15.从装有编号分别为 a,b 的 2 个黄球和编号分别为 c,d 的 2 个红球的袋中无放回地摸球,每次任摸一球, 求:(1)第一次摸到黄球的概率;(2)第二次摸到黄球的概率.

16.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生 智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛, 选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛. (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.

心灵鸡汤:仰望天空时,什么都比你高,你会自卑;俯视大地时,什么都比你低,你会自负;只有放宽视野,把天空和大地尽 收眼底,才能在苍穹泛土之间找到你真正的位置。无须自卑,不要自负,坚持自信。

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