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重庆市普通高中2016级学生学业水平考试数学模 拟试题


重庆市普通高中 2016 级学生学业水平考试 数 学 模 拟 试 题
(总分:100 分 时间 120 分钟)
一、选择题(共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分) 1.若集合 A ? ?x 1 ? x ? 3? ,集合 B ? ?x x ? 2? ,则 A I B ? ( ) (A) ?x 1 ? x ? 2? 2. tan 330? ? ( (B)

?x 1 ? x ? 2? (B)
3 3

(C) ?x x ? 3? (C) ? 3 (B)b?a

(D) ?x 2 ? x ? 3? (D) ? (C)
3 3

) (A) 3

3 3.已知 lg2=a,lg3=b,则 lg =( 2

) (A)a?b

b a

(D)

a b

4.函数 f ? x ? ? sin( x ? ) 的一条对称轴为( ) (A) x ? (B ) x ? (C) x ? ? (D) x ? ? 4 4 2 4 2 5.随机投掷 1 枚骰子,掷出的点数恰好是 3 的倍数的概率为 ( ) (A)

?

?

?

?

?

1 2

(B)

1 3

(C)

1 5

(D)

1 6
) (A)8 (B)16 (C)32 (D)4 2

6.在等比数列 {an } 中,若 a3 ? 2 ,则 a1a2 a3a4 a5 ? (

7.如果直线 ax+2y+1=0 与直线 x+3y-2=0 互相垂直,那么 a 的值等于( ) (A)6 (B)-

3 2

(C)-5

(D)-6 ) (D) ( , 0) 3

?? ? 8.函数 y ? sin ? 2 x ? ? 图像的一个对称中心是( 6? ?
(A) (?

?
12

,0)

(B) (?

?
6

,0)

(C) ( , 0) 6

?

?

9. 过 P(4,-3)且在坐标轴上截距项等的直线有 ) (A)1 条(B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 10.为了得到函数 y ? 3 sin 2 x , x ? R 的图象,只需将函数 y ? 3 sin( 2 x ? (A) 向左平行移动

?
3

) , x ? R 的图象上所有的点(
B



? ? 个单位长度 (B) 向右平行移动 个单位长度 3 3 ? ? (C)向左平行移动 个单位长度 (D) 向右平行移动 个单位长度 6 6
).

D
C

11.若 f(x)是以 4 为周期的奇函数,且 f(-1)=a(a≠0),则 f(5)的值等于( (A)5a (B)-a (C) a (D)1-a uuu r 12.如图,D 是△ABC 的边 AB 的三等分点,则向量 CD 等于( )

A
开始 k=1 S=0 k≤10 否

uur 2 uu u r (A) CA ? AB 3

uur 1 uu u r uur 2 uu u r (B) CA ? AB (C) CB ? AB 3 3

uur 1 uu u r (D) CB ? AB 3

13.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S 等于 ( ) (A)45 (C)90
x y

(B)55 (D)110 ).

14.若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是( A.

是 S = S+k k = k +1
1

?0, 2?

B.

??2,0?

C. [2, ??)

D. ? ??, ?2?

输出 S 结束

15.以下命题(表示 m, l 直线, ? 表示平面)正确的个数有( ①若 l // m, m ? ? ,则 l // ? ;②若 l // ? , m ? ? ,则 l // m ③若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m ④若 l ? ? , m ? l ,则 m // ? 。 A、0 个
0 0



B、1 个
0

C、2 个
0

D、3 个 .

二、填空题(共 4 道小题,每小题 3 分,共 12 分) 16. cos 75 cos15 ? sin 255 sin165 的值是 r r r r 17.若向量 a ? (1, x), b ? (2, ?1), a ? b ,则 x 的值为 18.函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log 1 (2 x ? 1)
2

19. 一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为
?x ? y ? 0 20.若非负数 x, y 满足约束条件 ? 则 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 4

三、解答题(共 5 小题,共 40 分) 21. (本小题满分 10 分)已知直线 l 过点(1,2)且与直线 m : x ? 2 y ? 1 ? 0 平行。 (1)求直线 l 的方程; (2)求圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 的圆心 C 到直线 l 的距离。

22.(本小题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调减区间;

uur uu u r uuu r (2)在 V ABC 中,若 f (C ) ? ?1 , sin A,sin C ,sin B 成等比数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 c 的值。

2

23.(本小题满分 8 分)已知数列 {an } 中, S n 是它的前 n 项和,并且 S n?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 。 (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,求证 {bn } 是等比数列 (2)设 C n ?

an ,求证 {C n } 是等差数列 2n

(3)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式

24. (本小题满分 8 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B1 ? B1C1 , E 、 F 分别是 A1 B 、 A1C 的中点. 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FB1 ? 平面 BB1C1C .
A1 C1

F

B1

E
A B
C

3

25. (本小题满分 6 分)已知点 A ? 0,1? , B, C 是 x 轴上两点,且 BC ? 6 (B 在 C 的左侧).设 ?ABC 的外接圆的圆 心为 M .
uu u r uuu r (1)已知 AB ? AC ? ?4 ,试求直线 AB 的方程.

y M A B C x

(2)当圆 M 与直线 y ? 9 相切时,求圆 M 的方程. (3)设 AB ? l1 , AC ? l2 , s ?
l1 l2 ? ,试求 s 的最大值. l2 l1

4

重庆市普通高中 2016 级学生学业水平考试数学模拟试题
(总分:100 分 时间 120 分钟)
一、选择题(共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分) 1.若集合 A ? ?x 1 ? x ? 3? ,集合 B ? ?x x ? 2? ,则 A I B ? ( A ) (A) ?x 1 ? x ? 2? (B) ?x 1 ? x ? 2? (B)
3 3

(C) ?x x ? 3? (C) ? 3 (B)b?a

(D) ?x 2 ? x ? 3? (D) ?
3 3

2. tan 330? ? ( D ) (A) 3

3 3.已知 lg2=a,lg3=b,则 lg =(B ) (A)a?b 2

(C)

b a

(D)

a b

4.函数 f ? x ? ? sin( x ? ) 的一条对称轴为( ) (A) x ? (B ) x ? (C) x ? ? (D) x ? ? 4 4 2 4 2 5.随机投掷 1 枚骰子,掷出的点数恰好是 3 的倍数的概率为 ( B ) (A)

?

?

?

?

?

1 2

(B)

1 3

(C)

1 5

(D)

1 6

6.在等比数列 {an } 中,若 a3 ? 2 ,则 a1a2 a3a4 a5 ? ( C ) (A)8 (B)16 (C)32 (D)4 2 7.如果直线 ax+2y+1=0 与直线 x+3y-2=0 互相垂直,那么 a 的值等于( D ) (A)6 (B)-

3 2

(C)-5

(D)-6

?? ? 8.函数 y ? sin ? 2 x ? ? 图像的一个对称中心是( A ) 6? ?
(A) (?

?
12

,0)

(B) (?

?
6

,0)

(C) ( , 0) 6

?

(D) ( , 0) 3 ) (A)1 条(B)2 条(C)3 条 (D)4 条

?

9. 过 P(4,-3)且在坐标轴上截距项等的直线有(

10.为了得到函数 y ? 3 sin 2 x , x ? R 的图象,只需将函数 y ? 3 sin( 2 x ? (A) 向左平行移动

?
3

) , x ? R 的图象上所有的点(
B



? ? 个单位长度 (B) 向右平行移动 个单位长度 3 3 ? ? (C)向左平行移动 个单位长度 (D) 向右平行移动 个单位长度 6 6
11.若 f(x)是以 4 为周期的奇函数,且 f(-1)=a(a≠0),则 f(5)的值等于( (A)5a (B)-a (C) a (D)1-a uuu r 12.如图,D 是△ABC 的边 AB 的三等分点,则向量 CD 等于( B ) ).

D
C

A
开始 k=1 S=0 k≤10 是 否

uur 2 uu u r (A) CA ? AB 3

uur 1 uu u r uur 2 uu u r (B) CA ? AB (C) CB ? AB 3 3

uur 1 uu u r (D) CB ? AB 3

13.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S 等于 ( B ) (A)45 (C)90
x y

(B)55 (D)110 ).

14.若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是( A.

S = S+k k = k +1 )

输出 S 结束

?0, 2?

B.

??2,0?

C. [2, ??)

D. ? ??, ?2?

15.以下命题(表示 m, l 直线, ? 表示平面)正确的个数有(

5

①若 l // m, m ? ? ,则 l // ? ;②若 l // ? , m ? ? ,则 l // m ③若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m ④若 l ? ? , m ? l ,则 m // ? 。 A、0 个
0 0

B、1 个
0 0

C、2 个 .

D、3 个

二、填空题(共 4 道小题,每小题 3 分,共 12 分) 16. cos 75 cos15 ? sin 255 sin165 的值是 r r r r 17.若向量 a ? (1, x), b ? (2, ?1), a ? b ,则 x 的值为 18.函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log 1 (2 x ? 1)
2

19. 一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 解析:该几何体是三棱柱中截去一个棱锥,三棱柱的底面边长为 2,高是 2,截去的三棱锥底面边长是 2,高 是 1,所以该几何体的体积是

V= ×2× 3×2- × ×2× 3×1=

1 2

1 1 3 2

5 3 3

?x ? y ? 0 20.若非负数 x, y 满足约束条件 ? 则 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 4

三、解答题(共 5 小题,共 40 分) 21. (本小题满分 10 分)已知直线 l 过点(1,2)且与直线 m : x ? 2 y ? 1 ? 0 平行。 (1)求直线 l 的方程; (2)求圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 的圆心 C 到直线 l 的距离。

22.(本小题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调减区间;

uur uu u r uuu r (2)在 V ABC 中,若 f (C ) ? ?1 , sin A,sin C ,sin B 成等比数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 c 的值。
23.(本小题满分 8 分)已知数列 {an } 中, S n 是它的前 n 项和,并且 S n?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 。 (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,求证 {bn } 是等比数列 (2)设 C n ?

an ,求证 {C n } 是等差数列 2n

(3)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式 解: (1) S n?1 ? S n ? an?1 ? 4an?1 ? 2 ? an?1 ∴ an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 即: ∴ 4an ? 2 ? 4an?1 ? 2 ? an?1

bn a ? 2an ? n?1 ? 2 (n ? 2) 且 b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 bn?1 an ? 2an?1

∴ {bn } 是等比数列

6

(2) {bn } 的通项 bn ? b1 ? q n?1 ? 3 ? 2 n?1 ∴ C n ?1 ? C n ?

a n ?1 a n a n ?1 ? 2a n b 3 ? n ? ? nn ? (n ? N * ) n ?1 n ?1 ?1 4 2 2 2 2

又 C1 ?

a1 1 ? 2 2

∴ {C n } 为等差数列

(3)∵ Cn ? C1 ? (n ? 1) ? d



an 1 3 ? ? (n ? 1) ? n 2 4 2

∴ an ? (3n ? 1) ? 2n?2 (n ? N * )

S n?1 ? 4 ? an ? 2 ? 4 ? (3n ? 1) ? 2n?2 ? 2 ? (3n ? 1) ? 2n ? 2
∴ S n ? (3n ? 4)2n?1 ? 2 (n ? N * ) 24. (本小题满分 8 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B1 ? B1C1 , E 、 F 分别是 A1 B 、 A1C 的中点. 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FB1 ? 平面 BB1C1C . 证明:∵ E 、 F 分别是 A1 B 、 A1C 的中点, ∴ EF / / BC . 又 EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴ EF∥平面 ABC. (2)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BB1 ? 平面 A1B1C1 , ∵ A1 B1 ? 平面 A1B1C1 , ∴ A1 B1 ? BB1 . 又 A1 B1 ? B1C1 , BB1 ? B1C1 ? B1 , BB1 , B1C1 ? 平面 BB1C1C .∴ A1 B1 ? 平面 BB1C1C 又
A1 B1 ? 平面 A1 FB1
B A
A1 C1

F

B1

E
C

.



∴ 平面 A1 FB1 ? 平面 BB1C1C .

25. (本小题满分 6 分)已知点 A ? 0,1? , B, C 是 x 轴上两点,且 BC ? 6 (B 在 C 的左侧).设 ?ABC 的外接圆的圆 心为 M .
uu u r uuu r (1)已知 AB ? AC ? ?4 ,试求直线 AB 的方程.

y M A B C x

(2)当圆 M 与直线 y ? 9 相切时,求圆 M 的方程. (3)设 AB ? l1 , AC ? l2 , s ?
l1 l2 ? ,试求 s 的最大值. l2 l1

解: (1)设 B ? a,0 ? ,则 C ? a ? 6,0? .

uu u r uuu r AB ? ? a, ?1? , AC ? ? a ? 6, ?1? , uu u r uuu r 由 AB ? AC ? ?4 得 a ? a ? 6? ? 1 ? ?4 ,解得: a ? ?1或 ? 5 ,
1 所以,直线 AB 的方程为 y ? x ? 1或y ? x ? 1 5
7

? a 2 ? ? b ? 1?2 ? r , ? ? (2)设圆心为 ? a, b ? ,半径为 r ,则 ? b 2 ? 9 ? r , ? 9 ? b ? r, ? ?

解之得: a ? ?4, b ? 4, r ? 5 ,所以,圆 M 的方程为 ? x ? 4? ? ? y ? 4? ? 25 .
2 2

(3)设 B ? m ? 3,0? , C ? m ? 3,0? ,则 l1 ?
l l l 2 ? l2 2 所以, s ? 1 ? 2 ? 1 ? l2 l1 l1l2

? m ? 3?

2

? 1, l2 ?

? m ? 3?

2

?1 ,

2 ? m2 ? 10 ?

?m

2

? 10 ? ? 36m2
2

? 2 10 ,

等号当且仅当 m ? ? 10 时取得.

8


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