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浙江省宁海县正学中学2012-2013学年高二第二次阶段性测试数学(文)试题


宁海县正学中学 2012 学年第一学期第二次阶段性测试 2012 高二数学试卷(文科)
. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 . 一项是符合题目要求的. 1. 过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1

=0 ( )

2.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2)

3.将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视 图为 ( )

4.设 l 是直线,a,β是两个不同的平面 A. 若 l ∥a, l ∥β,则 a∥β C. 若 a⊥β, l ⊥a,则 l ⊥β

下列命题正确的是 B. 若 l ∥a, l ⊥β,则 a⊥β D. 若 a⊥β, l ∥a,则 l ⊥β纪





5.对于常数 m 、 n ,“ mn > 0 ”是“方程 mx 2 + ny 2 = 1 的曲线是椭圆”的 A、充分不必要条件 C、充分必要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
[来源:学,科,网]





6. (非重点)已知圆 C1 : ( x + 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 = 0 对称, 则圆 C2 的方程为 (A) ( x + 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1 (B) ( x ? 2) 2 + ( y + 2) 2 =1 ( )

(C) ( x + 2) + ( y + 2) =1

2

2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1

2

2

(重点)圆 ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 4 上到直线 x + y ? (A) 4 个
2 2

2 = 0 的距离等于 1 的点共有(
(D) 1个 ( )



(B) 3 个

(C) 2 个

7. 椭圆 5 x + ky = 5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于

A. ? 1

B.

5

C. 1

D. ? 5

x2 y2 8.双曲线 ? = 1(mn ≠ 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 = 4 x 的焦点重合,则 m n
mn 的值为
( )

A.

3 16
2

B.

3 8

C.

16 3

D.

8 3
( )

9.若实数 x, y 满足 x + y ? 2 x ? 2 y + 1 = 0, 则
2

y?4 的取值范围为 x
4 3
4 D. [? ,0) 3

A. [0, ] 10. 设圆 C 与圆 A. 抛物线

4 3

B. [ ,+∞)

4 3

C. (?∞,? ]

外切,与直线 y = 0 相切.则 C 的圆心轨迹为( B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆



. 二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x = ?2 ,则抛物线的方程是 .

y2 12 双曲线 ? x 2 = 1 的焦距为__________________ 8
13 若直线与直线 x ? 2 y + 5 = 0 与直线 2 x + my ? 6 = 0 互相垂直,则实数 m =_______ 14. 如图, ( x, y ) 在四边形 ABCD 内部和边界上运动, 点 那么 2 x ? y 的最小值为 .

15.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且 圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 16. (非重点)已知椭圆 。

x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1 的直线交椭圆于 M、 16 9

N 两点,则△MNF2 的周长为_____________________
(重点)以 下四个关于圆锥曲线的命题中:

① 设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若 PA ? PB = k ,则动点 P 的轨迹为双 曲线; ② 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB、O 为坐标原点,若 P 为 AB 的中点, 则动点 P 的轨迹为椭圆; ③ 方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④ 双曲线 x
2

25

?

y2 x2 = 1 与椭圆 + y 2 = 1 有相同的焦点. 9 35

其中真命题的序号为
2

(写出所有真命题的序号) .

17.若点 A(3,2) , F 为抛物线 y = 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动,则使

MA + MF 取最小值时,点 M 的坐标是
三、解答题:本大题共 5 个小题,共 7 2 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (1)已知 ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,3) 、 B (3,1) 、 C (?1,0) ,求 BC 边上的高

所在的直线方程. (2)过椭圆 求此弦所在的直线方程.

x2 y2 + = 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使得弦被 M 点平分, 16 4

19 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的 准线相切的圆的方程.

20 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠ADC = 45 , AD = AC = 1 , O 为 AC 中点, PO ⊥ 平面 ABCD , PO = 2 , M 为 PD 中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 ACM ; (Ⅱ)证明: AD ⊥ 平面 PAC ; (Ⅲ)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值

0

P

M

D O A

C

B

21. (非重点)如图,A1,A 为椭圆的两个顶点,F1,F2 为椭圆的两个焦点. (Ⅰ)写出椭圆的方程; (Ⅱ)过线段 OA 上异于 O,A 的任一点 K 作 OA 的垂线,交椭圆于 P,P1 两点,直线

x2 y2 A1P 与 AP1 交于点 M.求证:点 M 在双曲线 ? = 1 上. 25 9

y
B2

A 1 (-5,0) F (-4,0) 1

O
B1

F2 (4,0) A 2(5,0)

x

(重点) F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 + =1( a > b > 0 )的左、右焦点, A 是椭圆 C 的 a2 b2

短轴上的一个顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ∠F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 22. 设抛物线 y2=2Px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛 物线的准线上,且 BC∥x 轴,证明:直线 AC 经过原点 O。

宁海县正学中学 2012 学年第一学期第二次阶段性测试 2012 高二数学评分标准(文科)
. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 . 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 B 5 B 6 B 7 C 8 9 C 10 A

A

. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11

y 2 = 8x

12

6

13

1

14_______1_____ 17

15

2 (x+1) + y 2 = 2

16

(非重点) 16

(重点) ③④

M (2,2)

三、 解答题:本大题共 5 个小题,共 7 2 分,解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (1) BC 边上的高所在的直线方程为 4 x + y ? 7 = 0

(2)过椭圆

x2 y2 + = 1 内一 点 M (2,1) 引一条弦,使得弦被 M 点平分,求此弦所在的直线 16 4
1 , 2

方程. k = ?

x + 2 y ? 4 = 0.
?y = x +b ?x = 4 y
2

19. 【解析】 (I)由 ?

得 x ? 4 x ? 4b = 0

2

( ? )因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以

? = (?4)2 ? 4 × (?4b) = 0 ,解得 b = ?1 .
(II)由(I)可知 b = ?1 ,故方程 ( ? )即为 x ? 4 x + 4 = 0 , 解得 x = 2 ,将其代入 x 2 = 4 y ,得 y=1,故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的半径 r, 即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 4
[来源:Zxxk.Com]

2

20



为直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值 21. 非重点 (Ⅰ)解:由图可知, a = 5, c = 4, 所以b = a 2 ? c 2 = 3.
2 2 该椭圆的方程为 x + y = 1,
[来源:学科网]

25

9

y
B2 (0,3) P K B1(0,-3) P1 A 2(5,0) M

A 1 (-5,0)

O

x

[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅱ)证明:设 K 点坐标 ( x 0 ,0) ,点 P、P1 的坐标分别记为 ( x 0 , y 0 ), ( x 0 ,? y 0 ) , 其中 0

< x0 < 5, 则 x0

2

25

+

2 y0 = 1, ……① 直线 A1P,P1A 的方程分别为: 9

( x0 + 5) y = y 0 ( x + 5), ……② (5 ? x0 ) y = y 0 ( x ? 5). ……③
②式除以③式得 x 0 + 5 = x + 5 , 化简上式得 x

=

5 ? x0

x?5

5y 25 , 代入②式得 y = 0 , x0 x0

于是,直线 A1P 与 AP1 的交点 M 的坐标为 (

25 5 y 0 , ). x0 x0

因为

x2 1 25 2 1 5 y 0 2 25 25 ( ) ? ( ) = 2 ? 2 (1 ? 0 ) = 1. 25 x0 9 x0 25 x0 x0

所以,直线 A1P 与 AP1 的交点 M 在双曲线

x2 y2 + = 1上 . 25 9

22.

证明一:因为抛物线 y2 =2px (p>0)的焦点为 F (

p ,0),所以经过点 F 的直线的方 2

程可设为

x = my +
代入抛物线方程得

p ; 2

y2 -2pmy-p2 = 0,
若记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是该方程的两个根,所以

y1y2 = -p2.
因为 BC∥x 轴,且点 c 在准线 x = - 的斜率为

p p 上,所以点 c 的坐标为(- ,y2) ,故直线 CO 2 2

k=

y2 2 p y1 = = . p y1 x1 ? 2

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O.

证明二:如图,记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E,过 A 作 AD⊥l,D 是垂足.则

AD∥FE∥BC.
连结 AC,与 EF 相交于点 N,则

EN AD NF BC

=

CN AC AF AB

=

BF AB



=



根据抛物线的几何性质, AF = AD ,

BF = BC ,
∴ EN =

AD ? BF AB

=

AF ? BC AB

= NF ,

即点 N 是 EF 的中点,与 抛物线 的顶点 O 重合,所以直线 AC 经过原点 O.


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