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复合函数的单调性


复合函数的单调性
海盐高级中学 开课人:赵琴学

一.函数单调性的定义:
一般地,设函数 f ( x)的定义域为 I:

?1?增函数:如果对于属于 定义域I内某个区间上的任意两
个自变量的值 x1 , x2 ,当x1 ? x2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么就 说在这个区间上是增函 数



?2?减函数:如果对于属于 定义域I内某个区间的任意两
个自变量的值 x1 , x2 ,当x1 ? x2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么 就说在这个区间上是减 函数。

二.常用函数的单调性
y ? kx ? b(k ? 0)

y

y ? kx ? b(k ? 0)

O

x

图象的函数解析式是 : y ? kx ? b(k ? 0), 此函数是一次函数, 当k ? 0时,此函数为增函数,函数的单调递增区间为? ??, ?? ? , 当k ? 0时,此函数为减函数,函数的单调递减区间为? ??, ?? ?。

y?

k (k ? 0) x

y

y?

k ?k ? 0? x

O

x

图象的函数解析式是: y?

k ?k ? 0?。此函数是反比例函数 。 x ?0,???上也是减函数; 当k ? 0时,函数在?? ?,0?上是减函数,在

?0,???上也是增函数。 当k ? 0时,函数在?? ?,0?上是增函数,在

y

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

O

x??

b 2a

x

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

图象的函数解析式是:y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 。此函数是二次函数。 b ? ? ? b ? 当a ? 0时,函数在 ? ??, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ?? ? 上是增函数; 2a ? ? ? 2a ? b ? ? ? b ? 当a ? 0时,函数在 ? ??, ? ? 上是增函数,在 ? ? , ?? ? 上是减函数。 2a ? ? ? 2a ?

y ? a (0 ? a ? 1)
x

y

y ? a x (a ? 1)

O

x

图象的解析式是: y ? a x (a ? 0且a ? 0)。此函数是指数函数。 当a ? 1时,函数在?? ?,?? ?上是增函数; 当0 ? a ? 1时,函数在?? ?,?? ?上是减函数。

y

y ? loga x(a ? 1)

O

x
y ? loga x(0 ? a ? 1)

图象的解析式是: y ? loga x(a ? 0且a ? 1)。此函数是对数函数。 当a ? 1时,函数在?0, ? ? ?上是增函数; 当0 ? a ? 1时,函数在?0, ? ? ?上是减函数。

y

y? x

O

x

y ? x 在定义域 ?0, ??? 上是增函数。

三.复合函数单调性
对于复合函数 y ? f [ g ( x)] 的单调性,必须考虑 y ? f (u)与 u ? g ( x)的单调性,从而得出 y ? f [ g ( x)] 的单调性。
y ? f ( x)

u ? g ( x)
增函数
减函数 增函数 减函数

y ? f [ g ( x)]

增函数
增函数 减函数 减函数

增函数
减函数 减函数 增函数

小结:同增异减。研究函数的单调性,首先考虑函数的定 义域,要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。

四.函数单调区间的求解
例 1.求函数y ? ? x 2 ? 4x ? 3的单调区间。
解:函数的定义域为R。
? y ? ??x ? 2? ? 1在?? ?,2?上是增函数,
2

在?2,???上是减函数。

故函数y ? ? x 2 ? 4 x ? 3的单调递增区间为 ? ??, 2? , 单调递减区间为? 2, ?? ?

例2.求函数y ? ? x 2 ? 4 x ? 3的单调递减区间。 解: ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0,即x 2 ? 4 x ? 3 ? 0,

?1,3?。 ?1 ? x ? 3,即函数的定义域为
令u ? ?x2 ? 4x ? 3,故y ? u,
? y ? u是定义域内是的单调递 增函数。
又u ? ? ? x ? 2 ? ? 1在 ? 2,3? 上是减函数。
2

? y ? ? x 2 ? 4 x ? 3在 ? 2,3? 上是减函数。

故函数y ? ? x 2 ? 4 x ? 3的单调递减区间为? 2,3?。

(问:函数y ? ? x 2 ? 4 x ? 3的单调递增区间是什么 ?)
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。

?1? 例3.求函数y ? ? ? ? 2?

? x 2 ? 4 x ?3

的单调递减区间。
即x2 ? 4 x ? 3 ? 0,
即函数的定义域为?1,3?
u

解: ? x2 ? 4x ? 3 ? 0,

?1 ? x ? 3

1? ?1? 2 令u ? ? x ? 4 x ? 3, 则y ? ? ? ,? y ? ? ? ? 在定义域内是减函数。 ? 2? ? 2?
又u ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 1在?1, 2? 上是增函数,
2

u

在? 2,3? 上是减函数。
?1? ?y ?? ? ? 2?
? x 2 ? 4 x ?3

的单调递减区间为?1, 2?。

小结:考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域,在定义域范 围内求函数的单调性。

例4.求f ( x) ? log

0.4

2 ? x ? ? 4 x ? 3?的单调区间。

解: ? x2 ? 4 x ? 3 ? 0

?1 ? x ? 3,即定义域为?1,3?
令u ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 1,
2

故单调递增区间为?1,2? , 单调递减区间为? 2,3?
? 0 ? 0 .4 ? 1
? f ( x) ? log
0.4

? y ? log0.4 t是减区间。

??x

2

? 4 x ? 3?的单调递增区间为? 2,3? ,
2 ? x ? ? 4 x ? 3?的单调性。

单调递减区间为?1, 2 ?。

拓展1:判断函数f ( x) ? log

2

拓展2:判断函数f ( x) ? log

a

??x

2

? 4 x ? 3?的单调性。

五.练习:
练习 1:求y ? x 2 ? 4 x ? 5函数的单调区间。

练习 2.求函数y ? 3

x 2 ? x?6

的单调递减区间。

练习 3:求函数 y ? log2 6 ? x ? x2 的单调递增区间。

?

?

练习 1:求y ? x 2 ? 4 x ? 5函数的单调区间。
解: ? x2 ? 4x ? 5 ? 0

?? ?,?1?? ?5,???。 ?函数的定义域为

令u ? x2 ? 4x ? 5, 则y ? u ,
? y ? u在定义域内是增函数。
2 在?? ?,2?上是增函数。 又u ? ?x ? 2? ? 1在?2,???上是减函数,

?? ?,?1?上是增函数。 ? y ? x 2 ? 4 x ? 5在?5,???上是减函数,在

练习 2.求函数y ? 3

x 2 ? x?6

的单调递减区间。
2

解:函数f ( x)的定义域是 R。
1 ? 13 ? 令u ? x 2 ? x ? 6 ? ? x ? ? ? , 则y ? 3u 2? 2 ?
? y ? 3u 在定义域内是增函数。
1 ? 13 ? 1? ? ?1 ? 又u ? ? x ? ? ? 在? ? ?, ?上是减函数,在 , ?? ?上是增函数。 ? 2? 2 ? 2? ? ?2 ?
?y ?3
x 2 ? x ?6

2

1? ? ?1 ? 在? ? ?, ?上是减函数,在 , ?? ?上是增函数。 ? 2 2 ? ? ? ?

?y ?3

x 2 ? x ?6

1? ? 的单调递减区间为 ? ? ?, ?。 2? ?

练习 3:求函数 y ? log2 6 ? x ? x2 的单调递增区间。
解: ?6 ? x ? x2 ? 0
即x 2 ? x ? 6 ? 0

?

?

?? 3,2? ? ?3 ? x ? 2,即函数的定义域为
令t ? 6 ? x ? x 2 , 则y ? log2 t

? y ? log2 t在定义域内是增函数,
1 ? 13 ? 1? ? 又t ? ?? x ? ? ? 在? ? 3,? ?上是增函数。 2? 2 ? 2? ?
2

1? ? ?函数y ? log2 6 ? x ? x 2 的单调递增区间为 ? 3 , ? 。 ? ? 2? ?

?

?

八.小结:
(1)求复合函数的单调区间;
注意:求函数的单调性首先要求函数的定义域。

(2)掌握复合函数单调性的判断方法。

九.作业:
?

苏州大学:P73 复习题。

例5.已知函数y ? log 1 ? x2 ? ax ? a ? 在 ??,1 ? 3 上是增函数,
2

?

?

求a实数的取值范围。

解:令u ? x 2 ? ax ? a, 则y ? log1 u
0? 1 ? 1,? y ? log 1 u在定义域内是减函数,根据复合函数的单调 2 2
2

2

性可知:y ? log 1 ? x 2 ? ax ? a ? 是增函数时,u ? x 2 ? ax ? a应是其定 义域内某区间上的减函数,则

? 1? 3 2 ? a 1? 3 ? a ? 0 ? ?1 ? a ? 1? 3 ?2

?

? ?

?

解之得: 2 ? 2 3 ? a ? 2。

?a的取值范围为a | 2 ? 2 3 ? a ? 2 。

?

?


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