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《2014高考必备》利用导数求参数的范围


《2014 高考必备之资料》 利用求导求参数的取值范围
类型一 极值的确定,极点的判定 a [例 1] 已知函数 f ? x ? ? x ? (a ? R ) , g ? x ? ? ln x . x
求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间; (1)解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x

? ∴F
'

a ? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? . x

? x? ? 1 ?

a 1 x2 ? x ? a . ? ? x2 x2 x

① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?

1 ' 2 时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F ? x ? ? 0 . 4

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 解得 x1 ?

1 ' 时, 令 F ? x ? ? 0, 4

得 x ? x ? a ? 0,
2

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ? 0, x2 ? . 2 2

(ⅰ) 若 ?

?1 ? 1 ? 4a 1 ?0. ? a ? 0 , 则 x2 ? 2 4
'

∵ x ? ? 0, ?? ? , ∴ F (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0,

? x? ? 0 ,

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.

? ? ?

?1 ? 1 ? 4 a ? ' ? ? 时, F ? x ? ? 0 ; 2 ?

? ?1 ? 1 ? 4 a ? ' x?? , ?? ? ? ? 时, F ? x ? ? 0 , 2 ? ?
∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0,

? ? ?

?1 ? 1 ? 4 a 2

? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? ? ? 上单调递增. 2 ? ? ?

综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时 , 函 数 F ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 0, ?

? ?

?1 ? 1 ? 4 a 2

? ? ? , 单调递增区间为 ?

1

? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? ? ? ?. 2 ? ?

[例 2] 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2 ln( x ? 1) , a 是常数.
(Ⅰ) 证明曲线 y ? f ( x) 在点 (2 , f (2)) 的切线经过 y 轴上一个定点; (Ⅱ) 若 f ( x) ? (a ? 3) x 对 ?x ? (2 , 3) 恒成立,求 a 的取值范围;
/ 2

(Ⅲ)讨论函数 f ( x) 的单调区间. 解⑴ f (2) ? 2a ? 4 , f ( x) ? 2 x ? a ?
/

2 ,……1 分 x ?1

f / (2) ? 6 ? a ……2 分,
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曲线 y ? f ( x) 在点 (2 , f (2)) 的切线为 y ? (2a ? 4) ? (6 ? a)( x ? 2) ……3 分,

当 x ? 0 时,由切线方程得 y ? ?8 ,所以切线经过 y 轴上的定点 (0 , ? 8) ……4 分.

2 3x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ⑵由 f ( x) ? (a ? 3) x 得 a( x ? 1) ? 3x ? 2 x ? ……5 分, ? x ?1 x ?1
/ 2

2

2

2 对 ?x ? (2 , 3) , x ? 1 ? 0 ,所以 a ?

3 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 (3x 2 ? 4 x ? 2)( x ? 1) ? ( x ? 1)( x 2 ? 1) ( x ? 1) 2 ( x ? 1)

3x 2 ? 4 x ? 2 ? ……6 分, ( x ? 1) 2
设 g ( x) ?

3x 2 ? 4 x ? 2 ? 2x / ? 0 ……7 分, ,则 g ( x) ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 3

g ( x) 在区间 (2 , 3) 单调递减……8 分,
所以 a ? g (3) ?

17 17 , a 的取值范围为 (?? , ] ……9 分. 4 4
2

/ ⑶函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 ln( x ? 1) 的定义域为 (1 , ? ?) , f ( x) ? 2 x ? a ?

2 x ?1

= 2[( x ? 1) ?

1 ] ? a ? 2 ? a ? 6 ……10 分. x ?1
/

若 a ? ?6 ,则 f ( x) ? 0 , f ( x) 在定义域 (1 , ? ?) 上单调增加……11 分; 若 a ? ?6 , 解 方 程 f ( x) ? 2 x ? a ?
/

2 ? a ? (a ? 2)( a ? 6) 2 , ? 0 得 x1 ? 4 x ?1

2

x2 ?

2 ? a ? (a ? 2)( a ? 6) ……12 分, 4

x1 ? x 2 ? 1 ,当 x ? x1 或 1 ? x ? x2 时, f / ( x) ? 0 ;
当 x 2 ? x ? x1 时, f ( x) ? 0 ……13 分,
/

所以 f ( x) 的单调增区间是 (1 , x 2 ) 和 ( x1 , ? ?) , 单调减区间是 [ x 2 , x1 ](区间无论包 含端点 x1 、 x 2 均可,但要前后一致)……14 分

方法总结:含参数的二次不等式的根的讨论的一般步骤: (1)先看二次项系数是否为零。 (如果是,则是讨论一次方程根的情况了) (2)看能不能进行因式分解(尤其是十字交叉法) 。如果能,那么可以确定方程 有根。 1.把两个表示出来,对两根的大小进行比较。 2.再对根是否在定义域内进行讨论。 (此处如果定义域是以零作为分界点,往往 利用韦达定理进行初步判定较简单。 )
(3)如果不能进行因式分解,可以先讨论判别式(一般不用先讨论开口) ,从而确定有两根 的情况下的参数的大致范围,进而自动分开为开口向上和向下两种情况. (4)要熟悉二次函数的图像及其零点的分布情况。

三、课堂达标检测
1.设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln( x ? a)( x ? (0,??) 的单调区间.

分析: 本小题主要考查导数的概念和计算, 应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 1 1 解: f ?( x) ? ? ( x ? 0) . 2 x x?a 当 a ? 0, x ? 0 时

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
(i)当 a ? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x ? (2a ? 4) ? a ? 0 .
2 2

即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0,?? ) 内单调递增. (ii)当 a ? 1 时,对 x ? 1 ,有 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,
2 2

即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f ( x) 在 x=1 处连续,因此,

3

函数 f ( x) 在(0,+ ? )内单调递增 (iii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 .
2 2

解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此,函数 f ( x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??) 内也单调递增.
2 2 令 f ?( x) ? 0,即x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .

(2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减. 因此,函数 f ( x) 在区间

2. 已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

① 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 x ? , 2 , 0 ? x1 ? x2 . 2 2
( x1 , x2 )
_

x
f ?( x) f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增 ?

x1
0 极大

x2
0 极小

( x 2 , ??)
+ 单调递增

单调递减 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增, 在 ( , ) 是上单调递减, 此时 f ( x) 在 (0, 2 2 2

4

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递增. 在( 2

3.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处
2

的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ) 若函数 g ( x ) ? 的单调性.

ex , 讨论 g ( x) f ( x)

(3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

x1 ? 1 ? 1 ? k , x2 ? 1 ? 1 ? k

w.w. w. k.s. 5.u. c

当 函 数 当

x ? (??,1 ? 1 ? k )是g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增

5

x? ( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为减函数
x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数

四、专题精讲
利用导数求函数的单调区间,判定函数的单调性,求参数的取值范围.

应用函数零点求参数值或取值范围的基本方法考虑分离参数的方法.然后转化为 恒成立的问题或者求值域的问题来解决,能不能合理有效的分参 ,关键是看参数 的系数及其参数的次数和独立性.

例题 1.已知函数 f ( x) ? x ln x(Ⅰ) . 求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ) 若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 , 求实数 a 的取值范围. 解: f ( x) 的定义域为(0,+?),
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f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 1 1 ? 1? ?1 ? x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? .从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递 e e ? e? ?e ? 1 1 增.所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . e e (Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , 错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , ,+?) 上为增函数, a x ? 1 . 故 g ( x) 在 (1 所以,x ? 1时,g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f (x) ?
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错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? e

a ?1

,此时,若 x ? (1,x0 ) ,

则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数.所以 x ? (1,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即

1] . f (x) ? ax ?1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ( ??,
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? ?) 上恒成立, 解法二: 依题意, 得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, 即不等式 a ? ln x ?
恒成立 . 令 g ( x) ? ln x ?

1 , ? ?) 对于 x ? [1 x

1 , x

则 g ?( x) ?
6

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? . 当 x ? 1 时,因为 x x2 x ? x ?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x? 故 g ( x) 是 (1, ? ?) 上的增函数, ( ??, 1] . g ?( x) ?

所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,所以 a 的取值范围是

例题 2.已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2
3 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ?t , t ? 2??t ? 0? 上的最小值; (Ⅲ)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
'

(Ⅰ) f ( x) ? ln x ? 1, 令f
'

'

?x ? ? 0, 解得0 ? x ? 1 ,
e

? 1? ? f ?x ?的单调递减区间是? 0, ?; ……2 分 ? e?

1 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? , e
?1 ? ? f ?x ?的单调递减区间是? ,?? ?. ……4 分 ?e ?
1 ,t 无解;……5 分 e 1 1 1 1 (ⅱ)0<t< <t+2,即 0<t< 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ;……7 分 e e e e 1 1 (ⅲ) ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在[t , t ? 2]单调递增 , e e
(Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<

f ( x) min ? f ( t ) ? tlnt ……9 分
1 ? 1 0?t ? ?e ……10 分 ? f ( x) min ? e , 1 ? t? ?tlnt e
(Ⅲ)由题意: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2 在 x ? ?0,?? ? 上恒成立
2

即 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1
2

3 1 x? ……11 分(分离常数) 2 2x 3x 1 ? 设 h? x ? ? ln x ? , 2 2x
可得 a ? ln x ?

7

?x ? 1??3x ? 1? ……12 分 1 3 1 ? ? 2 ?? x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ? x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3
则 h ' ?x ? ? 当 0 ? x ? 1 时, h ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ? x ? ? 0
' '

? 当 x ? 1时, h? x ? 取得最大值, h? x ? max =-2……13 分
? a ? ?2 .
注:这类型是极值点定区间动的问题.可以类似于二次函数的轴定区间动来处理. 例题 3.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? 的单调区间;
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a (Ⅰ) 求函数 F ( x) (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x
1 2


(Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值; 解 析 : ( I
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F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

F '? x? ?

1 a x?a ? ? 2 ? x ? 0 ? ∵ a ? 0 , 由 F ' ? x? ? 0 ? x ? ? a, ? ??, ∴ F ? x ? 在 x x2 x
由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? , ∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减。 ∴ F ? x?

a ? x ? 0? x

? a, ?? ? 上单调递增。

的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ?? ? 。 ( II ) F ' ? x ? ?

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x ?a 1 x?a 0 ? x ? 3? , k ? F ' ? x0 ? ? 0 2 ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒 成 立 2 ? x0 2 x
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? 1 2 ? ? x0 ? (分离常数) ? a ? ? ? x0 ? 2 ? max
1 1 1 2 1 x0 ? x0 取得最大值 。∴ a ? ,∴ amin ? 2 2 2 2

当 x0 ? 1 时, ?

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设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ) 若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

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8

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 3? , 则当 x ? ? 0, 因为对于任意的 x ? ? 0, 有 f ( x) ? c
恒成立,所以

2

9 ? 8c ? c 2 , 解 得
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c ? ?1 或 c ? 9 , 因 此 c 的 取 值 范 围 为

(??, ? 1) ? (9, ? ?) .

小结:求参数取值范围的处理思路: 1, 先选分参, 转化为求函数的最值或者函数的值域问题,要么就 是转化为一个无参数的超越函数的图像(可以利用求导来描绘). 2,若分参感觉困难,则构造函数,利用函数图像及其单调性来 解决。

五、专题过关
1.设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的 2

最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) , 因为 x ? ( ??, ??) , f ( x ) ? m , 即
' 2
'

3 3x 2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ? ,即 m 的最大值 4 3 为? 4
(2) 因为 当 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;
' ' '

所 以 当 x ? 1 时 , f ( x) 取 极 大 值

f (1) ?

5 ?a ; 2

当 x ? 2 时 , f ( x) 取 极 小 值

f (2) ? 2 ? a ;
故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ?

5 . 2

9

六、拓展提升
1.设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ( x ? 0) 的图象与直线 y ? 4 相切于 M (1, 4) .
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) ? x ? ax ? bx 在区间 (0, 4] 上的最大值与最小值;
3 2

(Ⅱ)是否存在两个不等正数 s, t ( s ? t ) ,当 x ? [ s, t ] 时,函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的
3 2

值域也是 [ s, t ] ,若存在,求出所有这样的正数 s, t ;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)设存在两个不等正数 s, t ( s ? t ) ,当 x ? [ s, t ] 时,函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的值
3 2

域是 [ks, kt ] ,求正数 k 的取值范围. 解: (Ⅰ) f '( x) ? 3x ? 2ax ? b 。依题意则有:
2

? f (1) ? 4 ?1 ? a ? b ? 4 ? a ? ?6 3 2 ,所以 ? ,解得 ? ,所以 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ; ? f '(1) ? 0 3 ? 2 a ? b ? 0 b ? 9 ? ? ?

f '( x) ? 3x 2 ? 12 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3) ,由 f '( x) ? 0 可得 x ? 1 或 x ? 3 。

10

f '( x), f ( x) 在区间 (0, 4] 上的变化情况为:

x
f '( x)
f ( x)

0

(0,1)
+

1 0 4

(1,3)
— 减函数

3 0 0

(3, 4)
+ 增函数

4

0
3 2

增函数

4

所以函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x 在区间 [0, 4] 上的最大值是 4,最小值是 0。 (Ⅱ)由函数的定义域是正数知, s ? 0 ,故极值点 (3, 0) 不在区间 [ s, t ] 上; (1)若极值点 M (1, 4) 在区间 [ s, t ] ,此时 0 ? s≤ 1≤t ? 3 ,在此区间上 f ( x) 的最大值 是 4,不可能等于 t ;故在区间 [ s, t ] 上没有极值点; (2)若 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x 在 [ s, t ] 上单调增,即 0 ? s ? t≤ 1或 3 ? s ? t ,
3 2
3 2 ? ?s ? 2 ? f (s) ? s ? s ? 6s ? 9s ? s 则? ,即 ? 3 ,解得 ? 不合要求; 2 ? ?t ? 4 ? f (t ) ? t ?t ? 6t ? 9t ? t

(3)若 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x 在 [ s, t ] 上单调减,即 1 ≤s ? t≤3 ,则 ?
3 2

? f (s) ? t , ? f (t ) ? s


两式相减并除 s ? t 得: ( s ? t ) ? 6( s ? t ) ? st ? 10 ? 0 ,
2

两式相除并开方可得 [ s( s ? 3)] ? [t (t ? 3)] ,
2 2

即 s(3 ? s) ? t (3 ? t ) ,整理并除以 s ? t 得: s ? t ? 3 , 则①、②可得 ?



?s ? t ? 3 2 ,即 s, t 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根, ? st ? 1

即存在 s ?

3? 5 3? 5 ,t ? 满足要求; 2 2

(Ⅲ)同(Ⅱ) ,极值点 (3, 0) 不可能在区间 [ s, t ] 上; (1)若极值点 M (1, 4) 在区间 [ s, t ] ,此时 0 ? s≤ 1≤t ? 3 ,

11

? ? ? 故有① ? ? ? ?

0 ? s≤1≤t ? 3 kt ? 4 ks ? f ( s ) f ( s )≤f (t )

? ? ? 或② ? ? ? ?

0 ? s≤1≤t ? 3 kt ? 4 ks ? f (t ) f ( s )≥f (t )

①由 k ?

4 4 ,1 ≤t ? 3 知, k ? ( , 4] ,当且仅当 t ? 1 时, k ? 4 ; t 3
2

再由 k ? ( s ? 3) , 0 ? s≤ 1 知, k ? [4,9] ,当且仅当 s ? 1 时, k ? 4 由于 s ? t ,故不存在满足要求的 k 值。

1 t t (3 ? t ) 2 f (t ) ? f (t ) ? [ ] ,及 0 ? s≤ 1 可解得 2≤t ? 3 , k 4 2 4 4 所以 k ? , 2≤t ? 3 知, k ? ( , 2] ; t 3 4 4 1 t t (3 ? t ) 2 即当 k ? ( , 2] 时,存在 t ? ? [2,3) , s ? f (t ) ? f (t ) ? [ ] ? (0,1] , 3 k k 4 2 4 且 f ( s)≥4s ? f (t ) ? f (t ) ,满足要求。 k
②由 s ? (2)若函数 f ( x) 在区间 [ s, t ] 单调递增,则 0 ? s ? t≤ 1或 3 ? s ? t , 且?

? f ( s ) ? ks 2 ,故 s, t 是方程 x ? 6 x ? 9 ? k 的两根, f ( t ) ? kt ?

由于此方程两根之和为 3,故 [ s, t ] 不可能同在一个单调增区间; (3)若函数 f ( x) 在区间 [ s, t ] 单调递减,即 1 ≤s ? t≤3 , ?
2 2 2 2

? f ( s ) ? kt , ? f (t ) ? ks

两 式 相 除 并 整 理 得 s ( s ? 3) ? t (t ? 3) , 由 1 ? s ? t ? 3 知 s( s ? 3) ? t (t ? 3) , 即

s ?t ? 3,
再将两式相减并除以 s ? t 得,

?k ? (s 2 ? st ? t 2 ) ? 6(s ? t ) ? 9 ? ( s ? t )2 ? 6( s ? t ) ? 9 ? st ? ?st ,
即 k ? st ? ( 即存在 s ?

s?t 2 9 9 ) ? 。即 k ? (0, ) , s, t 是方程 x 2 ? 3x ? k ? 0 的两根, 2 4 4

3 ? 9 ? 4k 3 ? 9 ? 4k ,s ? 满足要求。 2 2

综上可得,当 0 ? k ?

9 时 , 存 在 两 个 不 等 正 数 s, t ( s ? t ) , 使 x ? [ s , t ] 时 , 函 数 4

f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x 的值域恰好是 [ks, kt ] 。

12

2 2.已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x ? a ? R且a ? 0 ? .

(1)若 f ( x) 在定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值. 解: (1)因为函数 f ( x) ? x ? 2a ln x ,
2

所以函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . ……………………………………………………1 分 且 f ?( x) ? 2 x ?

2a .…………………………………………………………………2 分 x

若 f ( x) 在定义域上是增函数, 则 f ?( x) ? 2 x ?
2

2a …………………………………………3 分 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. x

即 a ? x 在 (0, ??) 上恒成立,所以 a ? 0 . ………………………………………4 分 由已知 a ? 0 , 所以实数 a 的取值范围为 ? ??, 0 ? .……………………………………5 分 (2)①若 a ? 0 ,由(1)知,函数 f ( x) ? x ? 2a ln x 在区间 [1, 2] 上为增函数.
2

所以函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 f (1) ? 1 .…………………………6 分

②若 a ? 0 ,由于 f ?( x) ?

2 x 2 ? 2a 2 x ? a x ? a ? , x x

?

??

?

所以函数 f ( x) 在区间 0, a 上为减函数,在区间 (ⅰ)若 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, [1, 2] ?
2

?

?

? ?

a , ?? 上为增函数.……7 分

?

?

a , ?? ,

函数 f ( x) ? x ? 2a ln x 在区间 [1, 2] 上为增函数, 所以函数 f ( x) 在 [1, 2] 的最小值为 f (1) ? 1 .…………………………………9 分 (ⅱ)若 1 ?

a ? 2 ,即 1 ? a ? 4 时,
2

函数 f ( x) ? x ? 2a ln x 在区间 1, a 为减函数,在 所以函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 f (ⅲ)若

?

?

?

a , 2 上为增函数,

?

? a ? ? a ? a ln a .…………………11 分 a ? 2 ,即 a ? 4 时, [1, 2] ? ? 0, a ? ,
13

函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上为减函数, 所以函数 f ( x) 在 [1, 2] 的最小值为 f (2) ? 4 ? 2a ln 2 . ………………………13 分 综上所述,当 a ? 1 且 a ? 0 时,函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 f (1) ? 1 . 当 1 ? a ? 4 时,函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 f 当 a?4 时 , 函 数

? a ? ? a ? a ln a .

2 ]的 最 小 值 为 f ( x) 在 区 间 [ 1 , 上

f (2) ? 4 ? 2a ln 2 .………………14 分

注:这类型是区间动,极值点动的情况.处理技巧是分类为极值点在区间左边,右边, 中间三类.也可以类似于二次函数区间定对称轴动的情况. 课后训练
1.函数 f ( x) ? x ? e (A) ?? 1,0?
?x

的一个单调递增区间是( (C) ?1,2 ?



(B) ?2,8?

(D) ?0,2? , 且 g? ( x)? g ( x ) x?0 时 ,

2 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x) ? ? f ( , x)

f ?( x)? , 0 ?g (? x ) ,则 0 x ? 0 时(
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
3



B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ) (D) b ?

3.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则( (A) 0 ? b ? 1 (B) b ? 1 (C) b ? 0

1 2

4.设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

14

5 .已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有
2

f ( x ) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.
x 2



5 2

C. 2

D.

3 2

6.设 p : f ( x) ? e ? ln x ? 2 x ? mx ? 1 在 (0, ? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 7 .已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8在区间 [? 3, 3]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
3

M ? m ? __.
8.已知函数 y ? 是

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 (1)若函数在 ?? ?,?? ? 总是单调函数,则 a 的取值范围 3
. .

(2)若函数在 [1,??) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是

三.解答题 9. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 3.
3 2

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

10.已知 f ( x) ?

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 3

(1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。
15

(3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0? ,函数有最小值-3?

a2 11.已知函数 f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
(2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1,e ?( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求 实数 a 的取值范围.

一、选择题
1. f ( x) ? x ? e ? x ? 2.(B)数形结合 3.A 由 f ?( x) ? 3x ? 3b ? 3 x ? b ,依题意, 首先要求 b>0, 所以 f ?( x) ? 3 x ? b x ? b
2 2

x ?1 ? x ? ? e x ? 0,? x ? 1 选(A) 1? e x ? x ? e x , . ? ? f ( x ) ? ? 2 ex ex ?e x ?2

? ?

?

?

?

??

?

由单调性分析, x ? 4. (D) 5. (C) 6. (B)

b 有极小值,由 x ? b ? ?0,1? 得.

7.32
8. (1) a ? 1; (2)a ? ?3; (3)a ? ?3. 三、解答题 9.解: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c ,
3 2

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;

16

当 x ? (1 , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ? ? 0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立, 因为对于任意的 x ? ? 0,
2

所以 解得

9 ? 8c ? c 2 ,

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 10.解(1) f ?( x) ? 6 x ? 6 x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7,
2 3 2 2

………………………2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ;……4 分 (2)记 g ( x) ? 2 x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. …………………………………………………………6 分 则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表 (??, 0) x (0,1) 0

1
0

(1, ??)

g ?( x) g ( x)

?

0

?

?
………………………10 分

极大 极小 ? ? ? 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ? g (0) ? 0 , 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? ? g (1) ? 0 即?

?m ? 3 ? 0 , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .…………14 分
11. (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0,? ? ? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 经检验当 a ? ∴a ?

3.

3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,

3.

17

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ?? , ? ln x ,其定义域为 ? 0, x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

x
h? ? x ?

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ?? ?


h ? x?
依题意,

?

?

?1 ? 1 ? 8 a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?1,e ? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的
x1 , x2 ? ?1,e ? 都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . 1 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e ? 上是增函数.
∴? ? g ? x ?? ?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ? ?1, e ? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ?? x? ? 1? ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .
2

max

? g ?e? ? e ?1 .

由 1 ? a ≥ e ? 1,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2 ? x ? a ?? x ? a ? x2
18

若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ?

?0.

∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min

a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ? f ? a ? ? 2a .

由 2a ≥ e ? 1,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a ≤e . 2

e ?1 , 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1,e ? 上是减函数. x a2 f x ? f e ? e ? ∴? . ? ? ? ? ? ? ? min e a2 由e? ≥ e ? 1,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?

19


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