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四川省成都市石室中学2015届高考数学三诊试卷(理科)


四川省成都市石室中学 2015 届高考数学三诊试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B=() A.{ } B.{2} C.{1} D.?
2

2. (5 分)已知 z 是纯虚数, A.2i B. i
<

br />是实数,那么 z 等于() C . ﹣i D.﹣2i

3. (5 分)命题“?x∈R,sin2x>1”的否定是() A.?x∈R,sin2x≤1 B. ?x?R,sin2x>1 C. ?x0∈R,sin2x≤1 4. (5 分)在 () A.15 D.?x0?R,sin2x>1 的展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是

B.20

C.30

D.120

5. (5 分)将函数 y=cos(x﹣ 再向右平移 A.

)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得函数图象的一个对称中心为() B. C. D.

6. (5 分)已知直线 m,l,平面 α,β,且 m⊥α,l?β,给出下列命题:①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α⊥β; ④若 m∥l,则 α⊥β.其中正确的命题的 是() A.①② B.③④ C.①④ D.①③ 7. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且满足 则角 B 的大小为() A. B.
x

acosB=bcosC+ccosB,

C.

D.

8. (5 分)设函数 f(x)=e (sinx﹣cosx) (0≤x≤2015π) ,则函数 f(x)的各极小值之和为() A.﹣ B. ﹣

C. ﹣

D.﹣

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=x ﹣2x,设 a 为实数,若存在实

2

数 m,使 f(m)﹣2g(a)=0,则实数 a 的取值范围为() A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) ∞,3]
2

C. [﹣1,3] D. (﹣

10. (5 分)已知点 A 是抛物线 x =4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛 物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲 线的离心率为() A. B. C. +1 D. ﹣1

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的概率为. 12. (5 分)阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于 37,则输入的整数 i 的最大值为.

13. (5 分)2014 年足球世界杯赛上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列 座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得 旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 45°,若旗杆的高度为 30 米,则且座位 A、B 的距离为 米.

14. (5 分)直线 l 的方程为 y=x+2,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x ﹣4y =3 的 焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为.

2

2

15. (5 分)若函数 f(x)在定义域的某子区间上满足 f(x)=

(λ 为正实数) ,

则称其为 λ﹣局部倍缩函数.若函数 f(x)在 x∈[0,2]时,f(x)=sinπx,且 x∈(2,+∞)时, f(x)为 λ=2 的局部倍缩函数.现有下列 4 个命题: ①任取 x1、x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立; * ②f(x)=2kf(x+2k) (k∈N ) ,对于一切 x∈[0,+∞)恒成立;③函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1) 有 5 个零点;④对任意 x>0,若不等式 f(x)≤ 恒成立,则 k 的最小值是 . 则其中所有真命题的序号是.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=(sinx+co sx) + 当 x=α 时,f(x)有最大值. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2,A=α﹣ 求△ ABC 的面积. 17. (12 分)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了 解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可分为三类车型,A: 80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲从 A,B,C 三类车型中挑选,乙从 B,C 两类 车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表: 车型 概率 人 A B C 甲 乙 / . p q ,且 sinBsinC=sin A,
2 2





[来源:Zxxk.Com]

若甲、乙都选 C 类车型的概率为

(Ⅰ)求 p,q 的值; (Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率; (Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 A B C 补贴金额(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为 X,求 X 的分布列.

18. (12 分)如图所示,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是边 CD, CB 的中点,EF∩AC=O,沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF,连接 PA,PB,PD,得到五棱锥 P﹣ ABFED,且 PB= . (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B﹣AP﹣O 的正切值.

19. (12 分)已知数列{an}满足: a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R ) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围.

?

20. (13 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 标准方程;

=1(a>b>0)的离心率为

,焦距为 4,定点 A(﹣4,0) .

(Ⅱ)已知 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)是椭圆 C 上的两点,向量 ,且 (θ∈R) ,求 x0 +3y0 的值; (Ⅲ)如图所示,直线 MN 经过椭圆 C 右焦点 F.当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,试判断 ×tan∠MAN 是否有最大值, 若存在求出最大值, 并求出这时 M、 N 两点所在直线方程, 若不存在,给出理由.
2 2

.设 B(x0,y0) ,且

21. (14 分)已知函数 f(x)=

的图象在点(﹣1,f(﹣1) )处

的切线方程为 5x+y+3=0. (I)求实数 a,b 的值及函数 f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值; (Ⅱ)曲线 y=f(x)上存在两点 M、N,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角 形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围.

四川省成都市石室中学 2015 届高考数学三诊试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B=() A.{ } B.{2} C.{1} D.?
2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 将 A 中的元素代入集合 B 中的等式中求出 y 的值,确定出 B,求出 A 与 B 的交集即 可. 解答: 解:当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=4;当 x= 时,y= , ∴B={1,4, }, ∴A∩B={1}. 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌 握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 z 是纯虚数, A.2i B. i 是实数,那么 z 等于() C . ﹣i D.﹣2i

考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 设出复数 z, 代入 , 它的分子、 分母同乘分母的共轭复数, 化简为 a+bi (a, b∈R)

的形式. 解答: 解:由题意得 z=ai. (a∈R 且 a≠0) .



=

=



则 a+2=0,∴a=﹣2.有 z=﹣2i, 故选 D 点评: 本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算,考查计算能力,是基础题. 3. (5 分)命题“?x∈R,sin2x>1”的否定是() A.?x∈R,s in2x≤1 B. ?x?R,sin2x>1 C. ?x0∈R,sin2x≤1 D.?x0?R,sin2x>1 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 命题的否定,将量词与结论同时否定,按照这个规则,我们可以得出结论. 解答: 解:命题的否定,将量词与结论同时否定 命题“?x∈R,sin2x>1”的否定是“?x0∈R,sin2x0≤1” 故选:C. 点评: 命题的否定是有规律的,一般来说要将量词与结论同时否定,全称命题变为特称性 命题,特称性命题变为全称命题.

4. (5 分)在 () A.15

的展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是

B.20

C.30

D.120

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式中中间项的二项式系数最大求出 n, 再用二项展开式的通项公式求出 第 r+1 项,令 x 的指数为 0 求出常数项 解答: 解:∵二项展开式中中间项的二项式系数最大 又∵二项式系数最大的项只有第 4 项 ∴展开式中共有 7 项 ∴n=6 展开式的通项为 令 12﹣3r=0,r=4, 展开式的常数项为 T5=C64=15 故选 A 点评: 本题考查二项式系数的性质:二项展开式中中间项的二项式系数最大.考查二项展 开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工 具. =C6 x
r 12﹣3r

5. (5 分)将函数 y=cos(x﹣ 再向右平移

)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得函数图象的一个对称中心为()

A.

B.

C.

D.

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得 结论. 解答: 解:将函数 y=cos(x﹣ 可得函数 y=cos(2x﹣ 再向右平移 )的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,

)的图象; )﹣ ]=cos(2x﹣ + )图象, ,k∈z,

个单位,可得函数数 y=cos[2(x﹣

故所得图象的对称中心的横坐标满足 2x﹣ 故所得图象的对称中心为(x= +

=kπ,k∈z,即 x=

,0)k∈z.

结合所给的选项, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题. [来源:Z§xx§k.Com] 6. (5 分)已知直线 m,l,平面 α,β,且 m⊥α,l?β,给出下列命题:①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α⊥β; ④若 m∥l,则 α⊥β.其中正确的命题的 是() A.①② B.③④ C.①④ D.①③ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 在正方体中,找出有关的直线与平面,判断选项的正误即可. 解答: 解:对于①,在正方体中,α∥β,m⊥α 则 l⊥m,①正确; 对于②,在正方体中,若 α⊥β,m⊥α 则 l∥m,显然在②图值,②不正确; 对于③,在正方体中,若 l⊥m,m⊥α 则 α⊥β,如图④,显然③正确; 对于④,在正方体中,若 l∥m,m⊥α,则 α∥β,如图③,∴④不正确. 故选:D

点评: 本题考查空间中直线与平面、直线与直线的位置关系,考查空间想象能力,属于简 单题 7. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且满足 则角 B 的大小为() A. B. C. D. acosB=bcosC+ccosB,

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式、正弦定理,求得 cosB 的值,可得 B 的值.[来源:Zxxk.Com] 解答: 解:在△ ABC 中,由 acosB=bcosC+ccosB 利用正弦定理可得 sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC, 即 sinAcosB=sin(B+C) ,求得 cosB= ,∴B= ,

故选:B. 点评: 本题主要考查诱导公式、正弦定理的应用,属于基础题. 8. (5 分)设函数 f(x)=e (sinx﹣cosx) (0≤x≤2015π) ,则函数 f(x)的各极小值之和为() A.﹣ B. ﹣
x

C. ﹣

D.﹣

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用.

分析: 先求出其导函数,利用导函数求出其单调区间,进而找到其极小值 f(2kπ+2π) =e ,再利用数列的求和方法来求函数 f(x)的各极小值之和即可. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e (sinx﹣cosx) , x x ∴f′(x)=(e )′(sinx﹣cosx)+e (sinx﹣cosx)′ x =2e sinx, ∵x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f′(x)<0,x∈(2kπ+2π,2kπ+3π)时,f′(x)>0, ∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时原函数递减,x∈(2kπ+2π,2kπ+3π)时,函数 f(x)=e (sinx﹣ cosx)递增, 故当 x=2kπ+2π 时,f(x)取极小值, 2kπ+2π 其极小值为 f(2kπ+2π)=e [sin(2kπ+2π)﹣cos( 2kπ+2π)] 2kπ+2π =e ×(0﹣1) 2kπ+2π =﹣e , 又 0≤x≤2015π, 2014π 2π 4π 6π 2012π 2014π ∴e 函数 f(x)的各极小值之和 S=﹣e ﹣e ﹣e ﹣…﹣e ﹣e = 故选:D 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和.利用导数求 得当 x=2kπ+2π 时,f(x)取极小值是解题的关键,利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的 重点和难点,学生应熟练掌握,属于难题.
x 2kπ+2π

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=x ﹣2x,设 a 为实数,若存在实

2

数 m,使 f(m)﹣2g(a)=0,则实数 a 的取值范围为() A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) ∞,3]

C. [﹣1,3] D. (﹣

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的图象,得出值域为[﹣2,6],利用存在实数 m,使 f(m)﹣2g(a) 2 =0,得出 2g(a)的值域满足﹣2≤2a ﹣4a≤6,即可. 2 解答: 解:∵g(x)=x ﹣2x,设 a 为实数, 2 ∴2g(a)=2a ﹣4a,a∈R, 2 ∵y=2a ﹣4a,a∈R, ∴当 a=1 时,y 最小值=﹣2, ∵函数 f(x)=
﹣2

,[来源:学科网 ZXXK]

f(﹣7)=6,f(e )=﹣2, ∴值域为[﹣2,6] ∵存在实数 m,使 f(m)﹣2g(a)=0, 2 ∴﹣2≤2a ﹣4a≤6,

即﹣1≤a≤3, 故选;C

点评: 本题综合考查了函数的性质,图象,对数学问题的阅读分析转化能力,数形结合的 能力,属于中档题. 10. (5 分)已知点 A 是抛物线 x =4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛 物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲 线的离心率为() A. B. C. +1 D. ﹣1
2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 过 P 作准线的垂线,垂足为 N,则由抛物线的定义,结合|PA|=m|PB|,可得 = ,

设 PA 的倾斜角为 α,则当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,求出 P 的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论. 解答: 解:过 P 作准线的垂线,垂足为 N, 则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|, ∵|PA|=m|PB|, ∴|PA|=m|PN| ∴ = 设 PA 的倾斜角为 α,则 sinα= , 当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切, 2 2 设直线 PM 的方程为 y=kx﹣1,代入 x =4y,可得 x =4(kx﹣1) ,

即 x ﹣4kx+4=0, 2 ∴△=16k ﹣16=0, ∴k=±1, ∴P(2,2 ) , ∴双曲线的实轴长为 PA﹣PB=2( ∴双曲线的离心率为 故选 C. =

2

﹣1) +1.

点评: 本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能 力,当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,是解题的关键. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计;排列组合. 分析: 根据题意,先由分步计数原理计算 4 个人选 3 门课的全部情况数目,再分 2 步来计 算其中恰有 2 人选修课程甲的情况数目, 具体为只需先从 4 人中选出 2 人选修课程甲, 再让剩 余 2 人选乙、丙两门;由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解:根据题意, 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,4 个人每人都有 3 种选法, 则 4 个人选 3 门课,有 3×3×3×3=81 种情况, 要使恰有 2 人选修课程甲,只需先从 4 人中选出 2 人选修课程甲,有 C4 =6 种选法, 再让剩余 2 人选乙、丙两门,有 2×2=4 种选法, 则恰有 2 人选修课程甲的情况有 6×4=2 4 种; 则恰有 2 人选修课程甲的概率为 故答案为: . = .
2

点评: 本题考查等可能事件的概率计算,注意题干中并没有要求必须每一门课程必须有人 选,应采用分步计数原理来计算.

12. (5 分)阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于 37,则输入的整数 i 的最大值为 5.

考点: 程序框图. 专题: 常规题型. 分析: 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,据题目对输出 s 的要求, 求出 n 的最大 值,据判断框中 n 与 i 的关系求出 i 的最大值. 解答: 解:经过第一次循环得到 s=2,n=1, 经过第二次循环得到 s=5,n=2, 经过第三次循环得到 s=10,n=3, 经过第四次循环得到 s=19,n=4, 经过第五次循环得到 s=36,n=5, 经过第六次循环得到 s=69,n=6, ∵输出的结果不大于 37 ∴n 的最大值为 4 ∴i 的最大值为 5 故答案为:5 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律. 13. (5 分)2014 年足球世界杯赛上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列 座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得 旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 45°, 若旗杆的高度为 30 米, 则且座位 A、 B 的距离为 10 ( ﹣ ) 米.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形.

分析: 过 B 作 BD∥AM 交 MN 与 D,由三角形的边角关系可得 AN,进而在△ ABN 中由正 弦定理可得. 解答: 解:如图过 B 作 BD∥AM 交 MN 与 D, 则由题意可得∠NAM=60°,∠NBD=45°, ∠ABD=∠CAB=15°,MN=30, ∴∠ABN=45°+15°=60°,∠ANB=45°﹣30°, 在△ AMN 中可得 AN= 在△ ABN 中 ∴AB= = = , , =10( ﹣ )

×sin(45°﹣30°)÷ ﹣ )

故答案为:10(

点评: 本题考查解三角形的实际应用,涉及正弦定理的应用和三角形的边角关系,属中档 题. 14. (5 分)直线 l 的方程为 y=x+2,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x ﹣4y =3 的 焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为 .
2 2

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出椭圆方程,P 的坐标,使椭圆与直线相切.由此入手能够求出具有最短长轴的椭 圆方程 解答: 解:设椭圆方程为: c=1,a ﹣b =c =1 设 P 的坐标为:﹙m,m+2﹚P 在椭圆上 ∴
2 2 2 2 2 2

(a>b>0)

=1,
2 2 2 2 2 2

∴﹙a ﹣1﹚m +a ﹙m +4m+4﹚=a ﹙a ﹣1﹚=﹙a ﹚ ﹣a 2 2 2 2 2 2 ﹙2a ﹣1﹚m +4a m+5a ﹣﹙a ﹚ =0 2 2 2 2 4 △ =﹙4a ﹚ ﹣﹙8a ﹣4﹚﹙5a ﹣a ﹚≥0 4 2 ∴2a ﹣11a +5≥0

∴﹙2a ﹣1﹚﹙a ﹣5﹚≥0 ∴a ≤ 或 a ≥5 ∵c =1,a >c 2 2 ∴a ≥5,长轴最短,即 a =5 2 2 b =a ﹣1=4 所以:所求椭圆方程为 .
2 2 2 2 2

2

2

故答案为:



点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细求解.

15. (5 分)若函数 f(x)在定义域的某子区间上满足 f(x)=

(λ 为正实数) ,

则称其为 λ﹣局部倍缩函数.若函数 f(x)在 x∈[0,2]时,f(x)=sinπx,且 x∈(2,+∞)时, f(x)为 λ=2 的局部倍缩函数.现有下列 4 个命题: ①任取 x1、x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立; * ②f(x)=2kf(x+2k) (k∈N ) ,对于一切 x∈[0,+∞)恒成立;③函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1) 有 5 个零点;④对任意 x>0,若不等式 f(x)≤ 恒成立,则 k 的最小值是 . 则其中所有真命题的序号是①③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑.

分析: 作出 f(x)=

的图象,利用图象可得结论.

解答: 解:f(x)=

的图象如图所示:[来源:Zxxk.Com]

①f(x)的最大值为 1,最小值为﹣1,∴任取 x1、x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1) ﹣f(x2)|≤2 恒成立,正确; ②f( )=2f( +2)=4f( +4)=8f( +6)≠8f( +8) ,故不正确; ③如图所示,函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1)有 3 个零点; ④把( , )代入,可得 k> . 故答案为:①③.

点评: 本题考查分段函数的应用,考查数形结合的数学思想,正确作出函数的图象是关 键.属于中档题 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) + 当 x=α 时,f(x)有最大值. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2,A=α﹣ 求△ ABC 的面积. 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用三角恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 f(x)=1+2sin(2x﹣ 利用正弦函数的增区间求得 f(x)的增区间. (2)由题意可得,当 2α﹣ 中,由于 a=2,A=α﹣ 的面积 bc?sinA 的值. 解答: 解: (1)函数 f(x)=(sinx+cosx) + cos2x=1+2sin(2x﹣ 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ) , ,k∈z,求得 kπ﹣ ,kπ+ ∈[ ≤x≤kπ+ ,
2 2





,且 sinBsinC=sin A,

2

) ,z 再

=

时,f(x)有最大值,求得 α 的值,可得 A 的值;在△ ABC
2 2

=

,且 sinBsinC=sin A,由正弦定理可得 bc=a =4,从而求得△ ABC

=1+sin2x﹣

≤2kπ+

故函数 f(x)的增区间为[kπ﹣ (2)∵ 可得 2α﹣ =

],k∈z, , ],再根据当 x=α 时,f(x)有最大值,

,可得 2x﹣ ,故 α= .

在△ ABC 中,由于 a=2,A=α﹣
2

=

,且 sinBsinC=sin A= , bc?sinA= ×4× = .

2

∴由正弦定理可得 bc=a =4,∴△ABC 的面积为

点评: 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的增区间和最值,正弦定理,属于中档题. 17. (12 分)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了 解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可分为三类车型,A: 80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲从 A,B,C 三类车型中挑选,乙从 B,C 两类 车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表:[来源:学_科_网] 车型 概率 人 A B C[来源:Z,xx,k.Com] 甲 乙 / . p q

若甲、乙都选 C 类车型的概率为

(Ⅰ)求 p,q 的值; (Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率; (Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:[来源:Zxxk.Com] 车型 A B C 补贴金额(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为 X,求 X 的分布列. 考点: 离散型随机变量及其分布列;概率的应用. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用已知条件列出方程组,即可求解 p,q 的值. (Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A,分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率. (Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10.分别 求解概率,即可得到分布列.

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 [来源:学*科*网 Z*X*X*K] 解得 , . …(4 分)

(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A,分三种情况,甲选车型 A,甲选车型 B,甲选车型 C,满足题意的概率为:P(A)= 答:所以甲、乙选择不同车型的概率是 . (Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10. . …(7 分)

P(X=7)= P(X=9)=

=

,P(X=8)= = ; P(X=10)=

= , = .

所以 X 的分布列为: X 7 P

8

9

10

…(13 分) 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列的求法,概率的应用,考查分析问题解决问题的 能力. 18. (12 分)如图所示,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是边 CD, CB 的中点,EF∩AC=O,沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF,连接 PA,PB,PD,得到五棱锥 P﹣ ABFED,且 PB= . (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B﹣AP﹣O 的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 BD∥EF,BD⊥AC,从而 EF⊥AC,EF⊥AO,EF⊥PO,由此能证明 BD⊥平面 POA. (2)设 AO∩BD=H,连结 BO,则△ ABD 是等边三角形,从而 BD=4,BH=2,HA=2 , HO=PO= ,BO= ,进而 PO⊥BO,PO⊥平面 BFED,过 H 作 HG⊥AP,垂足为 G,连结 BG,∠BGH 为二面角 B﹣AP﹣O 的平面角,由此能求出二面角 B﹣AP﹣O 的正切值. 解答: (1)证明:∵点 E,F 分别是边 CD、CB 的中点, ∴BD∥EF, ∴菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴BD⊥AC,∴EF⊥AC, ∴EF⊥AO,EF⊥PO, ∵AO?平面 POA,PO?平面 POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面 POA,∴BD⊥平面 POA. (2)解:设 AO∩BD=H,连结 BO, ∵∠DAB=60°,∴△ABD 是等边三角形, ∴BD=4,BH=2,HA=2 ,HO=PO= , 在 Rt△ BHO 中,BO= = ,

在 PBO 中,BO +PO =10=PB , ∴PO⊥BO, ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面 BFED, ∴PO⊥平面 BFED, 过 H 作 HG⊥AP,垂足为 G,连结 BG, 由(1)知 BH⊥平面 POA,且 AP?平面 POA, ∴BH⊥AP, ∵HG∩BH=H,HG?平面 BHG,BH?平面 BHG, ∴AP⊥平面 BHG,BG?平面 BHG, ∵BG?平面 BHG,∴AP⊥BG, ∴∠BGH 为二面角 B﹣AP﹣O 的平面角, 在 Rt△ POA 中,AP= 在 Rt ∴△POA∽△HGA,∴ ∴HG= = = = ,

2

2

2

中,∠POA=∠HGA=90°,∠APO=∠HAG, , . = = .

在 Rt△ BHG 中,tan

∴二面角 B﹣AP﹣O 的正切值为



点评: 本题考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化 归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 19. (12 分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.
?

分析: (Ⅰ)由已知得{an}是等差数列, an+1= 公比的等比数列. (Ⅱ)由
1=

,bn+1﹣ 为首项,以 为

=

.由此能证明{bn﹣an}是以

.得当 n≥2 时,bn﹣bn﹣ .由此能证明{bn}是单调递增数列.

(Ⅲ)由已知得

,由此能求出 b1 的取值范围.
?

解答: 解: (Ⅰ)∵2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) , ∴{an}是等差数列. 又∵a1= ,a2= , ∴ ∵ ∴bn+1﹣an+1= = = 又∵ ∴{bn﹣an}是以 = . , 为首项,以 为公比的等比数列. , , (n≥2,n∈N ) ,
*

(Ⅱ)∵bn﹣an=(b1﹣ )?( ) ∴ 当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1= 又 b1<0,∴bn﹣bn﹣1>0. ∴{bn}是单调递增数列.

n﹣1

, .





(Ⅲ)∵当且仅当 n=3 时,Sn 取最小值.



,即



∴b1∈(﹣47,﹣11) . 点评: 本题考查等比数列的证明,考查增数列的证明,考查数列的首项的取值范围的求法, 解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.

20. (13 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 标准方程;

=1(a>b>0)的离心率为

,焦距为 4,定点 A(﹣4,0) .

(Ⅱ)已知 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)是椭圆 C 上的两点,向量 ,且 (θ∈R) ,求 x0 +3y0 的值; (Ⅲ)如图所示,直线 MN 经过椭圆 C 右焦点 F.当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,试判断 ×tan∠MAN 是否有最大值, 若存在求出最大值, 并求出这时 M、 N 两点所在直线方程, 若不存在,给出理由.
2 2

.设 B(x0,y0) ,且

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 函数思想;方程思想;向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线 中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)根据椭圆的标准方程与几何性质,求出 c、a 与 b 的值即可; (Ⅱ)根据 (Ⅲ)由 ? ,以及点 M 满足的条件,求出 +3 的表达式并化简即可;

×tan∠MAN=2S△ AMN=|AF||yM﹣yN|,利用直线 MN 的方程 y=k(x﹣2)与椭

圆方程联立, 求出|yM﹣yN|的表达式与最大值,以及对应的直线 MN 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0) ,

且离心率 e= = ∴c=2,a= ;

,焦距 2c=4,

∴b =a ﹣c =6﹣4=2, 椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)∵ ∴ ? =x1x2+3y1y2=0; 又 +3 =6, +3 =6,点 M(x0,y0) , + =1; , ,

2

2

2

∴(x0,y0)=(x1cosθ,y1cosθ)+(x2sinθ,y2sinθ) =(x1cosθ+x2sinθ,y1cosθ+y2sinθ) , ∴ =( +3 +3
2 2

= )cos θ+(
2

+3 +3 )sin θ+2sinθcosθ(x1x2+3y1y2)
2

=6(sin θ+cos θ)=6; (Ⅲ)∵ ? ×tan∠MAN=2S△ AMN=|AF||yM﹣yN|,

设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) ;
2 2 2

联立

,消去 x 得(1+3k )y +4ky﹣2k =0,

∴|yM﹣yN|=



设 t=

,s=1+3k ,

2

则 t= ∴t≤ ,当 s= 4,即 k=±1 时取等号. ?

=

?

并且,当 k=0 时

×tan∠MAN=0, < , ,

当 k 不存在时|yM﹣yN|= 综上, ?

×tan∠MAN 有最大值,最大值为 6

此时,直线 MN 方程为 x﹣y﹣2=0,或 x+y﹣2=0. 点评: 本题考查了直线与椭圆的综合应用问题,也考查了平面向量的应用问题,考查了构 造函数以及求函数的最值问题,是综合性题目.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

的图象在点(﹣1,f(﹣1) )处

的切线方程为 5x+y+3=0. (I)求实数 a,b 的值及函数 f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值; (Ⅱ)曲线 y=f(x)上存在两点 M、N,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角 形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;分段函数的应用. 专题: 分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (I)求出当 x<1 时的 f(x)的导数,由切线方程可得斜率和切点,即有 f(﹣1) =2,且 f′(﹣1)=﹣5,解方程即可得到 a,b;再由导数,求得单调区间,对 c 讨论,即可得 到最大值; 3 2 (Ⅱ)根据条件可得,M,N 的横坐标互为相反数,不妨设 M(﹣t,t +t ) ,N(t,f(t) ) , (t>0) .讨论 t,运用向量垂直的条件:数量积为 0,即可求得 c 的范围. 解答: 解: (I)当 x<1 时,f(x)的导数 f′(x)=﹣3x +2ax+b, 由 f(x)在点(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程为 5x+y+3=0, 可得 f(﹣1)=2,且 f′(﹣1)=﹣5,即有 1+a﹣b=2,且﹣3﹣2a+b=﹣5, 解得 a=1,b=0; 3 2 当 x<1 时,f(x)=﹣x +x , 令 f′(x)=﹣3x +2x=0 可得 x=0 或 x= , f(x)在(﹣1,0)和( ,1)上单调递减,在(0, )上单调递减, 此时 f(x)在[﹣1,1)上的最大值为 f(﹣1)=2; 当 c<0 时, 令 所以当 当 当 c≥0 时, ,则 在[1,2]上单调递增,且 , ; .
2 2

时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 f(﹣1)=2. 在[1,2]上单调递减,且 f(1)=0,

所以 f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 f(﹣1)=2. 综上可知,当 当 时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 2; 时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 .

(Ⅱ)函数 f(x)=



根据条件可得,M,N 的横坐标互为相反数, 3 2 不妨设 M(﹣t,t +t ) ,N(t,f(t) ) , (t>0) . 3 2 若 t<1,则 f(t)=﹣t +t , 由∠MON 是直角得, 即 t ﹣t +1=0.此时无解; 若 t≥1,则 .
4 2

=0,即﹣t +(t +t ) (﹣t +t )=0,

2

3

2

3

2

由于 MN 的中点在 y 轴上,且∠MON=90°,所以 N 点不可能在 x 轴上,即 t≠0. 同理有 由于函数 =0,即 , (t>1)的值域是(﹣∞,0) , .

实数 c 的取值范围是(﹣∞,0)即为所求. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间及极值、最值,考查分类讨论的思想 方法,运用向量垂直的条件即数量积为 0 是解题的关键.[来源:学_科_网 Z_X_X_K]


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