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用数轴标根法解一元二次不等式


数学教学论文

用数轴标根法解一元二次不等式

用数轴标根法解一元二次不等式
摘要:解一元二次不等式是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题,它对于我们 整个职业高中数学来说,既是基础又是工具。同集合、函数、数列、三角函数、直线 与圆和圆锥曲线等内容都有很大的联系。因此解一元二次不等式就成了我们的重中之 重。本文就是在这个基础上探索

讨论用数轴标根法来解一元二次不等式。通过教学的 几个例子来阐述数轴标根法能及取得的效果。 关键词:一元二次不等式;数轴标根法; 我参加工作已有六年了,在这六年中,前两年是教计算机,这几年就一直教数学。 而在这几年的数学教学中,我发现数学是学生很难掌握的一门学科。因为一来学生的 数学基础差;二来数学对于大多数学生来说是一门比较枯燥的学科,就不愿意学,更 不要说掌握的很好了。所以我就一直在思考如何提高学生学习数学的兴趣,知识不能 因为难而就不用学了,我发现再难的题你只要有方法就行了。比如解一元二次不等式 是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题,它对于我们整个职业高中数学来说,既是 基础又是工具。对集合、函数、数列、三角函数、直线与圆和圆锥曲线等内容都有很 大的联系。因此解一元二次不等式就成了我们的重中之重。我就谈一谈我在教学生解 一元 二次不等式的教学体会——用数轴标根法解一元二次不等式。 一、 传统方法解一元二次不等式 我们拿到一个一元二次不等式,首先就是判断它有没有根,所以先用一元二次方 程根的判别式来判断根的情况, (1)△>0 方程有两个不相等的实数根. (2)△=0 方程有两个相等的实数根. (3)△<0 方程没有实数根. 若有根,就求出它的根。下面我就举例说明一下:解不等式:x -x-6>0 △=1-4×(-6)=25>0,所以这个方程 x -x-6=0 有两个不相等的实根。我们一般用因式 2 分解法(十字相乘法)求根。所以,x -x-6>0 等价于(x-3) (x+2)>0,因为不等号为大 2 2 于号,所以不等式 x -x-6>0 的解集为{x|x>3 或 x<-2}。若不等式为 x -x-6<0 那么它 2 2 的解题过程同 x -x-6>0 基本相同, 通过因式分解法求根, -x-6<0 等价于 x (x-3) (x+2) 2 <0,因为不等号为小于号,所以不等式 x -x-6>0 的解集为{x|-2<x<3}。这种两种题型 2 2 我们的学生大部分都容易掌握, 但是比如: -x+6>0 或 x -x+6<0 这两种不等式学生就 x 2 很难理解:方程 x -x+6=0,这个方程△<0 方程没有实数根.那么解集为什么会是空 集还是全体实数呢?学生怎么教都很难理解,除了个别成绩好点的还能掌握一下,其 它学生就是靠死记硬背。所以这种解不等式的解法的弊端就在这了,那能不能找到一 种通用的方法,让学生更容易理解的。 二、数轴标根法解一元二次不等式 我也是在不停的思考,如何让学生在解一元二次不等式上有个通用的方法,这两 年在教高三升大的数学,学生是愿意学的,关键是如何教好它,使得学生就更容易理 解。刚开学不久,我同往常一样,教学生解一元二次不等式,用传统的方法教,慢慢 2 2 2 地教。但是像 x -x+6>0 或 x -x+6<0 这两种不等式中方程 x -x+6=0,这个方程△<0 方 程没有实数根的情况我先不讲,看看有什么好的方法给他们。有一天上课,我在讲高 次不等式如:a1<a2<a3<?<an,则不等式(x-a1) (x-a2) (x-a3)?(x-an)>0 或(x-a1)
2 2

(x-a2) (x-a3)?(x-an)<0 的解法如下图(即“数轴标根法” )

例如:不等式(x-1)(x+1)(x-2)>0 的解集 解:-1<1<2 用数轴法为:

所以它的解集为:{x|-1<x<1 或 x>2}这种问题我们的学生很容易掌握并且很快能够写 出它的解集。我就想,我们的一元二次不等式可不可以也用这种方法来解决呢?在一 次课堂上,我就用这种方法讲。将一元二次不等式,如果是有根的都要写成几个因式 2 相乘的式子。例 1:x -x-6<0 解:先用十字相乘法或公式法分解因式得到: (x-3) (x+2)<0 数轴标根法:-2<3

它的解集为:{x|-2<x<3} 例 2:x -2x-8>0 先用十字相乘法或公式法分解因式得到: (x-4) (x+2)>0 数轴标根法:-2<4
2

它的解集为:{x|x>4 或 x<-2}。上了几堂课以后,发现学生对这种方法求解不等式比 较容易掌握,于是我就在课堂上就采取这种方法教学生求解不等式。如果是有两个根 的情况只要画这个图就可以了 x1<x2

x1

x2

这个图也很好画,以上两种方法对于有两个根的情况学生都能够掌握,但是对于只有 一个根或者是无根的情况,则用数轴标根法就更好些。 三、数轴标根法的探究交流 从传统方法到数轴标根法我们都作了研究,下面我就再进一步来探究数轴标根法 2 2 2 来解决对于不等式 x -2x+1>0、x -x+6>0 和 x -x+6<0 的效果。从特殊到一般是我们发 现问题、寻求规律、提示问题本质最常用的方法之一。我就让学生多练习,在学生熟 2 知数轴标根法的基础上,我同学生一起来探究交流对于这两种不等式 x -2x+1>0、 2 2 2 2 x -x+6>0 和 x -x+6<0。问题的关键在于这个图怎么画。方程 x -2x+1=0、x -x+6=0 和 2 x -x+6=0 是一个根或者无根怎么画图。 例 3:x -2x+1>0 通过解方程我们可以得到:方程 x -2x+1=0,求根得:x1= x2=1
2 2

它的解集为:{x|x>1 或 x<1}也就是{x|x≠1}。那么 x -2x+1<0,我就画了一个图给给 学生,让学生自己去判断,小于 0 也就是在 x 轴的下方,然后问学生下方有什么?

2

学生就回答说 x 轴的下方没有图像,我说这就对了,没有图像说明它的解集就是 ? 。 例 4:x -x+6>0 通过判断这道题,这个方程 x -x+6=0,△<0 方程没有实数根,图像我也给学生画好 了,
2 2

通过观察,大于 0 图像在 x 轴的上方,而无根的情况,这个图像是全部都在 x 轴的上

方,所以马上得出结论:解集为 R。随之不等式 x -x+6<0 它的图像也是这样画,小于 0 图像要在 x 轴的下方学生就回答说 x 轴的下方没有图像,我说这就对了,没有图像 说明它的解集就是 ? 。然后给学生相应的题型来练习。熟能生巧,学生自然而然地 就掌握画图的规律了。而多年来困在我心上的难题也得到了解决。 四、数轴标根法延伸和推广 学完这个一元二次不等式以后,我发现我忽视了一个问题,我讲的例题都是 x 2 的系数大于 0。 那么对于这种-x -x+6>0 怎么办呢?所以在这里说明一下, 我们的不等 2 2 式是这样的 ax -bx+c>0 和 ax -bx+c<0,在这里规定:a>0。如果你的不等式是 a<0 的 情况,你就要在不等式的左右两边同时乘以-1 还要变号。那么你的不等式就可以用我 们的数轴标根法来求解了。那么对于大于或等于、小于或等于的不等号,应该作如何 的改变呢? 例:x -x-6≤0 解:先用十字相乘法或公式法分解因式得到: (x-3) (x+2)≤0 数轴标根法:-2<3
2 2

2

它的解集为:{x|-2≤x≤3} 例:x -2x-8≥0 先用十字相乘法或公式法分解因式得到: (x-4) (x+2)≥0 数轴标根法:-2<4
2

它的解集为:{x|x≥4 或 x≤-2}。 因此,对于所有的不等号数轴标根法都可以应用, 以前总是同学生讲“数学不难” ,但学生就是很难掌握这个“不难” ,尤其是我们 职业高中的学生。通过这个例子,我确实体会不少,数学是不难,但是你要教会学生 就很难。重在方法。数轴标根法虽然取得了一些效果,但是在以后的数学教学中,我 们还是要善于发现问题,找出规律,及时总结,我想我们的数学教学一定会再上新台 阶。

[参 考 文 献 ] [1] 汪江松, 高中数学解题方法与技巧》 [M].湖 北 : 湖北教育出版社. 《 [2]张 一 民 , 中 学 数 学 教 法 研 究 》 [M]. 云 南 : 云 南 教 育 出 版 社 . 《 [3]宛军民, 高中数学基础知识及常见规律》 [M].广 州 : 中山大学出版社. 《


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