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2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案


2006 年全国高中数学联赛试题 第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知△ABC,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则△ABC 一定为 A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 ( )

2. 设 log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1

,则 x 的取值范围为 A.

1 ? x ?1 2

B. x ?

1 ,且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

【答】 (



3. 已知集合 A ? x 5x ? a ? 0 , B ? x 6x ? b ? 0 , a, b ? N ,且 A ? B ? N ? ?2,3, 4? ,则整数 对 ?a, b ? 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 ( )

?

?

?

?

4. 在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, ?BAC ?

?
2

, AB ? AC ? AA ? 1 . 已知G与E分别为 A1B1 和 1

CC1 的中点,D与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点). 若 GD ? EF ,则线段 DF
的长度的取值范围为 A. ?

? 1 ? , 1? ? 5 ?

B. ? , 2 ?

?1 ?5

? ?

C. ?1,

?

2

?

D. ?

? 1 , ? 5

? 2? ?

【答】 (



5. 设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 ,则对任意实数 a , b , a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的 A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 6. B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 ( )

?

?

数码 a1 , a2 , a3 ,?, a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2a3 ?a2006 的个数为 A. (10

1 2

2006

1 ? 82006 ) B. (10 2006 ? 82006 ) 2

C.10

2006

? 82006 D.102006 ? 82006 【答】 (



二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
4 4 7. 设 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos x ,则 f (x) 的值域是



8. 若对一切 ? ? R,复数 z ? (a ? cos ? ) ? (2a ? sin ? )i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围为 . 9. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 ,点 P 在直线 l: x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 当 16 4

?F1PF2 取最大值时,比

PF1 PF2

的值为

.

1

10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

1 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层 2
cm3.

两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 11. 方程 ( x2006 ? 1)(1 ? x2 ? x4 ? ? ? x2004 ) ? 2006 x2005 的实数解的个数为 .

12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取 完所有红球的概率为 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 给定整数 n ? 2 ,设 M 0 ( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? nx ? 1 与直线 y ? x 的一个交点. 试证明对于任 意正整数 m ,必存在整数 k ? 2 ,使 ( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点.
m m

14. 将 2006 表示成 5 个正整数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 之和. 记 S ?

1?i ? j ?5

?

xi x j . 问:

(1)当 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 取何值时,S 取到最大值; (2) 进一步地, 对任意 1 ? i, j ? 5 有 xi ? x j ? 2 , x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 当 明理由. 取何值时, 取到最小值. 说 S

15. 设 f ( x) ? x2 ? a . 记 f 1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n ? 2,3,? ,

1? ? M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证明: M ? ?? 2, ? . 4? ?

?

?

一试参考答案
一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1.【答】 ( C ) 【解】令 ?ABC ? ? ,过 A 作 AD ? BC 于 D。由 BA ? t BC ? AC ,推出

??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? BA ? 2tBA?BC ? t 2 BC ? AC

,



??? ??? ? ? BA?BC t ? ??? 2 ? BC















??? 2 ? ??? 2 ? ??? 2 ??? 2 ? ? BA ? 2 BA cos2 ? ? cos2 ? BA ? AC ,即
从而有 AD ? AC 。由此可得 ?ACB ?

??? ? ???? ??? 2 2 ? ???? 2 BA sin ? ? AC , 也即 BA sin ? ? AC 。

????

????

?
2



2

2. 【 答 】 (

B

)【 解 】 因 为 ?

, ? x?0 x? 1 , 解 得 2 ? ?2 x ? x ? 1 0

1 x ? ,x ?1 . 2



log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1 ? log x (2x3 ? x2 ? x) ? log x 2
x ?1 ? ? 3 2 ?2 x ? x ? x ? 2

? 0 ? x ?1 ?? 3 2 ?2 x ? x ? x ? 2
1 , 且 x ?1. 2

解得

0 ? x ? 1 ;或

解得

x ? 1 ,所以 x 的取值范围为 x ?

3.【答】 ( C ) 【解】

5x ? a ? 0 ? x ?

a b ; 6 x ? b ? 0 ? x ? 。要使 A ? B ? N ? ?2,3,4? , 5 6

? b ?1 ? 6 ? 2 ? 6 ? b ? 12 ? 1 1 则? ,即 ? 。所以数对 ?a, b ? 共有 C6C5 ? 30 。 a 20 ? a ? 25 ? ?4 ? ? 5 ? 5 ?
4.【答】 ( A ) 【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z

1 轴 , 则 F (t1 , 0 , 0( 0 ? t1 ? 1 ) E ( ,, ) , 0 )

1 1 , G ( , 0,1) , D(0, t2 ,0) ( 0 ? t2 ? 1 ) 所 以 。 2 2 ??? ? ???? 1 1 1 EF ? (t1 , ?1, ? ) , GD ? (? , t2 , ?1) 。因为 GD ? EF ,所以 t1 ? 2t2 ? 1 ,由此推出 0 ? t2 ? 。 2 2 2

又 DF ? (t1 , ?t2 ,0) ,DF ? t1 ? t2 ? 5t2 ? 4t2 ? 1 ? 5(t2 ? ) ?
2 2

????

????

2

2 5

2

1 , 从而有 5

1 ???? ? DF ? 1 。 5

5.【答】 ( A ) 【解】显然 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 为奇函数,且单调递增。于是 若 a ? b ? 0 ,则 a ? ?b ,有 f (a) ? f (?b) ,即 f (a) ? ? f (b) ,从而有 f (a) ? f (b) ? 0 . 反之,若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则 f (a) ? ? f (b) ? f (?b) ,推出 a ? ?b ,即 a ? b ? 0 。 6.
1 3 2005 【答】 B ) ( 【解】出现奇数个 9 的十进制数个数有 A ? C2006 92005 ? C2006 92003 ? ?? C2006 9 。

?

?

又由于 (9 ? 1)

2006

k k ? ? C2006 92006?k 以及 (9 ? 1)2006 ? ? C2006 (?1)k 92006?k ,从而得 k ?0 k ?0

2006

2006

1 3 2005 A ? C2006 92005 ? C2006 92003 ? ? ? C2006 9 ?

1 2006 2006 (10 ? 8 ) 。 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7.【解】

1 1 f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 2 x 。令 t ? sin 2 x ,则 2 2 1 1 9 1 1 9 1 9 f ( x) ? g (t ) ? 1 ? t ? t 2 ? ? (t ? ) 2 。因此 min g (t ) ? g (1) ? ? ? ? 0, ?1? t ?1 2 2 8 2 2 8 2 4 1 9 1 9 9 max g (t ) ? g (? ) ? ? ?0 ? 。 即得 0 ? f ( x) ? 。 ?1?t ?1 2 8 2 8 8

3

8. 【解】依题意,得 z ? 2 ? (a ? cos? )2 ? (2a ? sin ? )2 ? 4

? 2a(cos? ? 2sin ? ) ? 3 ? 5a2 ? ?2 5a sin(? ? ? ) ? 3 ? 5a2 ( ? ? arcsin
成立) ? 2 5 a ? 3 ? 5a 2

1 ) (对任意实数 ? 5

?a?

? 5 5 , . 故 a 的取值范围为 ? ? 5 ? 5

5? ?。 5 ?

9. 【解】 由平面几何知,要使 ?F PF2 最大,则过 F1 , F2 ,P 三点的圆必定和直线 l 相切于 P 点。 1 设 直 线 l 交 x 轴 于 A (?8 ? 2 3,0) , 则 ?APF ? ?AF2 P , 即 ?APF ? ?AF2 P , 即 1 1

PF1 PF2

?

AP AF2

(1) ,又由圆幂定理, AP ? AF1 ? AF2 (2) ,而 F (?2 3,0) , F2 (2 3,0) , 1
2

A (?8 ? 2 3,0) , 从 而 有

AF1 ? 8 , AF2 ? 8 ? 4 3 。 代 入 ( 1 ),( 2 ) 得

PF1 ? PF2

AF1 8 ? ? 4 ? 2 3 ? 3 ?1 。 AF2 8? 4 3

10. 【解】设四个实心铁球的球心为 O1 , O2 , O3 , O4 ,其中 O1 , O2 为下层两球的球心, A, B, C , D 分

别为四个球心在底面的射影。则 ABCD 是一个边长为

2 2 的正方形。所以注水高为 1 ? 。故应注 2 2

水 ? (1 ?

1 2 2 4 ?1? )? 。 ) ? 4? ? ? ? = ( ? 3 2 2 3 ?2?
2006

3

11.【解】 ( x

? 1)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006x 2005
)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006 1 x
2005

? (x ?

1 x
2005

? x ? x3 ? x5 ? ? ? x 2005 ? ? 2006 ? x ?

?

1 x
2003

?

1
2001

1 1 ? x3 ? 3 ? ? ? x 2005 ? 2005 ? 2? 1003 ? 2006 x x x 1 3 1 1 2005 ? 2005 ,即 x ? ?1 。 要使等号成立,必须 x ? , x ? 3 ,? , x x x x 但是 x ? 0 时,不满足原方程。所以 x ? 1 是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。
12. 【解】第 4 次恰好取完所有红球的概率为

x 1

???

1 ? 2006 x

2 ?9? 1 8 2 9 1 ?8? 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =0.0434. 10 ? 10 ? 10 10 10 10 10 ? 10 ? 10 10
4

2

2

三. 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

n ? n2 ? 4 1 13. 【证明】 因为 y ? nx ? 1 与 y ? x 的交点为 x0 ? y0 ? .显然有 x0 ? ? n 。…(5 x0 2
2

分)
m 若 ( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点,则 k ? x0 ?

m

m

1 . x0 m

…(10 分)

记 km ? x0 ?
m

1 ,则 x0 m

km?1 ? km ( x 0 ?

1 ) ? km? 1? nkm ? km? , 1 x0

(m ? 2)

(13.1)

由于 k1 ? n 是整数, k2 ? x0 ?
2

1 1 ? ( x0 ? )2 ? 2 ? n2 ? 2 也是整数,所以根据数学归纳法,通过 2 x0 x0
m

(13.1)式可证明对于一切正整数 m , km ? x0 ?

1 是正整数. 现在对于任意正整数 m ,取 x0 m
………………… (20 分)

k ? x0 m ?
14.

1 m m ,使得 y 2 ? kx ? 1与 y ? x 的交点为 ( x0 , y0 ) . m x0

【解】 (1) 首先这样的 S 的值是有界集,故必存在最大值与最小值。 若

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 2006 , 且使 S ?

1?i ? j ?5

?

xi x j 取到最大值,则必有
( 1? i ,j ? 5 )
………(5 分) (*)

xi ? x j ? 1,

? ? 事实上,假设(*)不成立,不妨假设 x1 ? x2 ? 2 。则令 x1 ? x1 ?1 , x2 ? x2 ? 1 , xi? ? xi ( i ? 3, 4,5 ) ? ? ? ? 有 x1 ? x2 ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? x1 x2 。将 S 改写成

S?

1?i ? j ?5

?

xi x j ? x1x2 ? ? x1 ? x2 ?? x3 ? x4 ? x5 ? ? x3 x4 ? x3 x5 ? x4 x5

? ? ? ? ? ? 同时有 S ? ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? x3 ? x4 ? x5 ? ? x3 x4 ? x3 x5 ? x4 x5 。 于是有 S ? ? S ? x1 x2 ? x1 x2 ? 0 。 这
与 S 在 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 时 取 到 最 大 值 矛 盾 。 所 以 必 有 xi ? x j ? 1, 取到最大值。 x1 ? 4 0 2 ,x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 4 0 1 (2)当 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 2006 且 xi ? x j ? 2 时,只有 (I) 402, 402, 402, 400, 400;
5

(1 ? i, j ? 5) . 因 此 当

……………………(10 分)

(II) (III)

402, 402, 401, 401, 400; 402, 401, 401, 401, 401; ……………………(15 分)

三种情形满足要求。

而后面两种情形是在第一组情形下作 xi? ? xi ?1 , x?j ? x j ? 1 调整下得到的。根据上一小题的证 明可以知道,每调整一次,和式 S ? 形取到最小值。

1?i ? j ?5

?

xi x j 变大。 所以在 x1 ? x2 ? x3 ? 402, x4 ? x5 ? 400 情
…………………(20 分) ………………………(5 分)

1 15. 【证明】 (1)如果 a ? ?2 ,则 f (0) ?| a | ? 2 , a ? M 。

(2)如果 ?2 ? a ?

1 ,由题意 f 1 (0) ? a , f n (0) ? ( f n?1 (0))2 ? a , n ? 2,3,? . 则 4 1 1 1 n 1 ① 当 0 ? a ? 时, f (0) ? ( ?n ? 1 ). 事实上,当 n ? 1 时, f (0) ? a ? , 设 4 2 2
k k ?1

n ? k ? 1 时成立( k ? 2 为某整数) ,则对 n ? k , f (0) ? f

?1? 1 1 (0) ? a ? ? ? ? ? . ?2? 4 2
2

2

n 1 ② 当 ?2 ? a ? 0 时, f (0) ? a ( ?n ? 1 ).事实上,当 n ? 1 时, f (0) ? a , 设 n ? k ? 1

k k ?1 时成立( k ? 2 为某整数) ,则对 n ? k ,有 ? | a |? a ? f (0) ? f (0)

?

?

2

? a ? a 2 ? a .注意到 当

?2 ? a ? 0 时 , 总 有 a 2 ? ?2a , 即 a2 ? a ? ?a ?| a | . 从 而 有 f k ( 0 ) ? |a . 由 归 纳 法 , 推 出 |

? 1? ? ?2, 4 ? ? M 。 ? ?
( 3 ) 当 a?

……………(15 分)

1 1 时 , 记 an ? f n (0) , 则 对 于 任 意 n ? 1 , an ? a ? 且 4 4
。 对 于 任 意

2 an?1 ? f n?1 (0) ? f ( f n (0)) ? f (an ) ? an ? a

n ?1



1 1 1 1 2 an ?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? ) 2 ? a ? ? a ? , 则 an ?1 ? an ? a ? 。 2 4 4 4 1 1 2?a an ?1 ? a ? an ?1 ? a1 ? n(a ? ) 。 当 n ? ( ? 2 时 , an ?1 ? n a ) ? a ? 1 4 4 a? 4

所 以 ,

? a ? a,? 即 2

f n?1 ( 0 ? )

。 2 因 此 a?M

。 综 合 ( 1 )( 2 )( 3 ), 我 们 有

1? ? M ? ?? 2, ? 。 4? ?

…………………………(20 分)

6

2006 年全国高中数学联合竞赛加试试卷
(考试时间:上午 10:00—12:00) 一、以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△AB0B1 的边 ABi 交于 (i=0,1) 。在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆 B0P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 圆心, 1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1; C 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1P′0 ,交 AB0 的延长 P′0。试证: (1)点 P′0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切 (2)四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。 二 、 已 知 无 穷 数 列 {an} 满 足 a0=x , a1=y , Ci 心 , C1 为 以 B1 Q1; 以 线 于 于 P0;

an ?1 ?

an an ?1 ? 1 ,n=1、2、…。 an ? an ?1

(1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0≥n 时 an 恒为常数? (2)求数列{an}的通项公式。

?x ? y ? z ? w ? 2 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? z ? w ? 6 三、解方程组 ? 3 。 x ? y 3 ? z 3 ? w3 ? 20 ? ? x 4 ? y 4 ? z 4 ? w4 ? 66 ?

2006 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
一、 (本题满分 50 分)以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1) 。在 AB0 的延长 线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;以 B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线 于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1P′0 ,交 AB0 的延长线于 P′0。试证: (1) P′0 与点 P0 重合, 点 且圆弧 P0Q0 与 P1 A P0Q1 相内切于 P0; S1 (2)四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。 证明: (1)显然 B0P0=B0Q0,并由圆 弧 Q1P′0 P0Q0 和 Q0P1 ,Q0P1 和 P1Q1 ,P1Q1 和 分 别 相 内 切 于 点 Q0 、 P1 、 Q1 , 得 T C1B0+B0Q0=C1P1 , Q1 C0 B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以 及 C1 C0Q1=C0B0+B0P′0 。 四 式 相 加 , 利 用 Q0 B0 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0 以及 P′0 在 B0P0 B1 或其 延 R1 长线上,有 B0P0=B0P′0。 P0 从而可知点 P′0 与点 P0 重合。由于圆 弧 Q1P0 的圆心 C0、圆弧 P0Q0 的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上,所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2)现在分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引相应相 切圆弧的公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1。连接 P0Q1 和 P1Q1,得等腰三角形 P0Q1R1 和 P1Q1S1。基于此,我们可由 ∠P0Q1P1=π?∠P0Q1R1?∠P1Q1S1=π?(∠P1P0T?∠Q1P0P1)?(∠P0P1T?∠Q1P1P0) 而 π?∠ 0Q1P1=∠ 1P0P1+∠ 1P1P0,代入上式后,即得 P Q Q

1 1 ?P0Q1 P ? ? ? (?P P0T ? ?P0 PT ) ,同理可得 ?P0Q0 P ? ? ? (?P P0T ? ?P0 PT ) 。所以四点 1 1 1 1 1 1 2 2
7

P0、Q0、Q1、P1 共圆。 二、 (本题满分 50 分)已知无穷数列{an}满足 a0=x,a1=y, an ?1 ?

an an ?1 ? 1 ,n=1、2、…。 an ? an ?1

(1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0≥n 时 an 恒为常数? (2)求数列{an}的通项公式。 解: (1)我们有 an ? an?1 ? an ?

an an?1 ? 1 a2 ?1 ,n=1、2、…。 ? n an ? an?1 an ? an?1

(2.1)

所以,如果对某个正整数 n,有 an+1=an,则必有(an)2=1,且 an+an?1≠0。 如果该 n=1,我们得|y|=1 且 x≠?y。

(2.2) (2.3) (2.4) (2.5)

an?1an?2 ? 1 (a ? 1)(an?2 ? 1) ,n≥2, ? 1 ? n?1 an?1 ? an?2 an?1 ? an?2 a a ?1 (a ? 1)(an?2 ? 1) 和 an ? 1 ? n ?1 n ?2 ,n≥2。 ? 1 ? n?1 an?1 ? an?2 an?1 ? an?2
如果该 n>1,我们有 an ? 1 ?
2 将式(2.3)和(2.4)两端相乘,得 an ? 1 ? 2 an?1 ? 1 a2 ?1 ,n≥2。 ? n?2 an?1 ? an?2 an?1 ? an?2

由(2.5)递推,必有(2.2)或|x|=1 且 y≠?x。 (2.6) 反之,如果条件(2.2)或(2.6)满足,则当 n≥2 时,必有 an=常数,且常数是 1 或-1。 (2)由(2.3)和(2.4) ,我们得到 记 bn ?

an ? 1 an ?1 ? 1 an ?2 ? 1 ,n≥2。 ? ? an ? 1 an?1 ? 1 an ?2 ? 1

(2.7)

an ? 1 ,则当 n≥2 时, an ? 1
(2.8) (2.9) (2.10)

2 3 2 bn ? bn?1bn?2 ? (bn?2bn?3 )bn?2 ? bn?2bn?3 ? (bn?3bn?4 )2 bn?3 ? bn?3bn?4 ? ? a ?1 y ? 1 Fn?1 x ? 1 Fn?2 由此递推,我们得到 n ?( ) ?( ) ,n≥2, an ? 1 y ?1 x ?1

这里 Fn=Fn?1+Fn?2,n≥2,F0=F1=1。 由(2.9)解得 Fn ?

1 1 ? 5 n?1 1 ? 5 n?1 [( ) ?( ) ]。 2 2 5

上式中的 n 还可以向负向延伸,例如 F?1=0,F?2=1。 这样一来,式(2.8)对所有的 n≥0 都成立。由(2.8)解得

an ?

( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1 ? ( x ? 1) Fn?1 ( y ? 1) Fn?2 ,n≥0。 ( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1 ? ( x ? 1) Fn?1 ( y ? 1) Fn?2

(2.11)

式(2.11)中的 F?1、F?2 由(2.10)确定。

?x ? y ? z ? w ? 2 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? z ? w ? 6 三、 (本题满分 50 分)解方程组 ? 3 。 3 3 3 ? x ? y ? z ? w ? 20 ? x 4 ? y 4 ? z 4 ? w4 ? 66 ?
解:令 p=x+z、q=xz,我们有 p2=x2+z2+2q,p3=x3+z3+3pq,p4=x4+z4+4p2q?2q2。同样,令 s=y+w、t=yw, 有 s2=y2+w2+2t,s3=y3+w3+3st,s4=y4+w4+4s2t?2t2。 在此记号系统下,原方程组的第一个方程为 p=s+2。 (3.1) 2 2 3 3 2 4 4 3 2 2 于是 p =s +4s+4,p =s +6s +12s+8,p =s +8s +24s +32s+16。现在将上面准备的 p 、p3、p4 和 s2、s3、 s4 的 表 达 式 代 入 , 得 x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4 , x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8 , x4+z4+4p2q?2q2=y4+w4+4s2t?2t2+8s3+24s2+32s+16。 利用原方程组的第二至四式化简,得 q=t+2s?1, (3.2)

8

pq=st+2s2+4s?4, 2p2q?q2=2s2t?t2+4s3+12s2+16s?25。 将(3.1)和(3.2)代入(3.3) ,得 t ? 将(3.5)代入(3.2) ,得 q ?

(3.3) (3.4)

s ?1 , 2

(3.5) (3.6)

5s ? 2, 2
2 2

将(3.1) (3.5) (3.6)代入(3.4) ,得 s=2。所以有 t=0,p=4,q=3。 这样一来,x、z 和 y、w 分别是方程 X ? 4 X ? 3 ? 0 和 Y ? 2Y ? 0 的两根,即

?x ? 3 ?x ? 1 ?y ? 2 ?y ? 0 或? ,且 ? 或? 。详言之,方程组有如下四组解:x=3,y=2,z=1,w=0;或 ? ?z ? 1 ?z ? 3 ?w ? 0 ?w ? 2
x=3,y=0,z=1,w=2;或 x=1,y=2,z=3,w=0;或 x=1,y=0,z=3,w=2。 注:如果只得到一组解,或者不完整,最多得 40 分。

2006 年全国高中数学联赛加试试题的另解
杜伟杰 (广东仲元中学 511400)

2006 年全国高中数学联赛加试第一题 以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与 ?AB0 B1 的边 ABi 交于 Ci (i

? 0,1) 。在 AB0 的延长线上任取点

? P0 ,以 B0 为圆心, B0 P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0 ;以 C1 为圆心,C1Q0 为半
? P 径作圆弧 Q0 P1 交 B1 A 的延长线于 P ;以 B1 为圆心, B1 P 为半径作圆弧 ?1Q1 交 B1C0 的延长线 1 1
于 Q1 ;以 C0 为圆心, C0Q1 为半径作圆弧 Q1 P0 ,交 AB0 的延长线于 P0 。 试证:

?

'

'

? ? (1) 点 P0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0 Q1 相切于点 P0 ;
'

(2) 四点 P0 、 Q0 、 Q1 、 P 共圆。 (原题图略) 1 第(1)问的证明略,下面着重讨论第 2 问的另一种证明方法: 构思:证明四点共圆,如果能找(或猜测)到该圆的圆心,转而证明圆心到四点距离相等,也 是一个常用的方法,那么圆心究竟在哪里? 试验:由题意可以知道: C1 B0 ? C1 B1 ? C0 B1 ? C0 B0 =常数(大于 B0 B1 ) 。 利用《几何画板》制作如图 1 所示的试验场景,其中圆 O 为四边形 P Q0Q1P 的外接圆。 0 1

9

C1B0 = C1B1 = C0B1 = C0B0 =

4.07852 厘 米 1.87466 厘 米 4.61694 厘 米 1.33625 厘 米
A

C1B0+C1B1 = 5.95318 厘 米 C0B1+C0B0 = 5.95318 厘 米
P1

O C1 C0

Q1

B1

B0

Q0 P0

拖 点 察 心 位 变 动 A观 圆 O的 置 化
图1 拖动点 A ,观察圆心 O 位置的变化,猜测点 O 可能是 ?AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的内心(这两 个三角形的内心可能是重合的) 。利用《几何画板》中的测量工具测得相关角的度数,可以验证这个 猜想是正确的! 所以我们就有了下面的另解: 证明:首先证明 ?AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的内心重合: 假设这两个三角形的内心不重合,并设 O 为 ?AC1B0 的内心, M 、 N 、 F 分别为切点。则可 从点 B1 引圆 O 的切线与圆 O 切于点 E 、与线段 AB0 交于点 D ,而且点 D 与点 C0 不重合,如图 2。 由切线性质,可以得到:
A

B1 E ? B1M , DE ? DN ………………….①

C1 F ? C1M , B0 F ? B0 N ………………..②
C1

M N O

分别将①、②中的等式相加,得到:

F

E

D C0

B1 D ? B1M ? DN ………………………..③

B1

B0

C1 B0 ? C1M ? B0 N ……………………. ④
③-④: B1 D ? C1 B0 ? B1M ? C1M ? ( B0 N ? DN ) ∴ DB1 ? DB0 ? C1 B1 ? C1 B0
10

图2

又因为

C0 B1 ? C0 B0 ? C1 B1 ? C1 B0 ,∴ DB1 ? DB0 ? C0 B1 ? C0 B0
A

P1

∴ DB1 ? DC0 ? C0 B1 ,这与点 D 与点 C0 不重合矛盾,所以 假设不成立,因此: ?AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的内心重合。
O

设 ?AC1B0 、 ?AC0 B1 的内心为 O ,如图 3。 由于直线 OC0 平分 ?AC0 B1 ,又 C0Q1 ? C0 P0' ,∴直线 OC0 垂直平分线段 P0'Q1 ,∴ OP' ? OQ1 0 同理: 直线 OB0 垂直平分线段 P0 Q0 ,∴ OP ? OQ0 0 直线 C1O 垂直平分线段 P Q0 ,∴ OP ? OQ0 1 1 直线 B1O 垂直平分线段 P Q1 ,∴ OP ? OQ1 1 1 ∴ OQ1 ? OQ0 ,∴ OP ? OP' 0 0
B1

Q1 C1 C0

B0 Q0

P0

图3

? ? 又点 P 、 P0' 都在 AB0 的延长线上,∴点 P0 、 P0' 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0 Q1 相切于点 P0 。
∴ OP ? OP ? OQ1 ? OQ0 1 0 所以四点 P0 、 Q0 、 P1 、 Q1 共圆

11


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