tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第5章§5.4


§5.4 数列求和

§ 5.4 数 列 求 和

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理 1.公式法 (1)等差数列的前n项和公式 n?a1+an? n?n-1? na1+ d Sn=_______

__ = ___________. 2 2

(2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q=1 时,Sn=na1; n a1?1-q ? a1-anq ②当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1- q
n?n+1??2n+1? (3)12+22+…+n2= ______________ ; 6
n2?n+1?2 4 13+23+ …+n3=2__________ .

2.错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘

所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过
程的推广.

3.分组转化法
把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等差、

等比数列,再求解.

4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩 下首尾若干项. 5.倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和

公式的推导过程的推广).

思考感悟 你认为非等差、非等比数列求和的思路是什么?
提示:非等差、非等比数列的一般数列求和,主要 有两种思路:①是转化思想,即将一般数列求和问 题转化为等差或等比数列的求和问题,这一思想方 法往往通过通项分解或分组等方法来转化完成,像 乘公比错位相减法最终就是转化为等比数列求和; ②对于不能转化为等差或等比数列的特殊数列,往 往通过裂项相消法,倒序相加法,分组求和或并项 求和等方法来求和.

课前热身
1 . 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 an = 1 ,则 S8 等于( ) ?n+1??n+2? 2 1 A. B. 5 30 7 5 C. D. 30 6

答案:A

2.数列{an}的通项公式是 an=

,若 n+ n+1 数列的前 n 项和为 10,则项数为( ) A.11 B.99 C.120
答案:C

1

D.121

3. 设 f(n)=2+2 + 2 +2 + …+2 (n∈ N), 则 f(n)等于 ( ) 2 n 2 n+ 1 A. (8 -1) B. (8 - 1) 7 7 2 n+ 3 C. (8 -1) 7 2 n+ 4 D. (8 -1) 7

4

7

10

3n+ 10

答案:D

4.(教材习题改编)已知等比数列{an}中,an=

2×3n-1,则由此数列的奇数项所组成的新数列的
前n项和为________. 答案:1(9n-1) 4 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n· 2n,则

Sn=________.
答案:(n-1)· 2n+1+2

考点探究?挑战高考

考点突破 分组转化法与公式法求和 分组转化法就是把一个数列的通项拆成若干个

数列的通项的和,分别求出每个数列的和,从
而求出原数列的和.

例1

求下面数列的前 n 项和: 1 1 1 1+1,a+4, 2+7,…, n-1+3n-2,… a a
分组分别求和,然后相加

【思路点拨】

1 1 1 【解】 Sn= (1+ 1)+( + 4)+ ( 2+ 7)+…+ ( n-1+ 3n a a a - 2) 1 1 1 = (1+ + 2+…+ n-1)+ [1+4+ 7+…+(3n-2)]. a a a 1 1 1 令 Bn= 1+ + 2+…+ n-1, a a a an-1 ∴当 a= 1 时, Bn= n;当 a≠ 1 时, Bn= n n- 1, a -a ?3n-1? n Cn= 1+ 4+ 7+…+(3n- 2)= . 2

?3n-1?n ∴当 a = 1 时, Sn = Bn + Cn = n + = 2 ?3n+1?n , 2 an-1 ?3n-1?n 当 a≠1 时,Sn=Bn+Cn= n n-1+ . 2 a -a

【名师点评】 非等差、非等比数列求和的最 关键步骤是“转化”,即根据通项公式的特点, 利用拆项分组的方法,拆分为等差或等比数列 的和或差,再进行求和运算.

错位相减法求和 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比 数列,求数列{an· bn}的前n项和时,可采用错位 相减法.

例2

知数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an

-an-1,…是首项为1,公比为a的等比数列.
(1)求an;

(2)如果a=2,bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项
和 S n.

【解】 (1)a1=1,当 n≥2 时, n-1 an-an-1=a , ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) 2 n-1 =1+a+a +…+a ?n ?a=1? ? n =?1-a . ? ?a≠1? ? 1-a (2)bn=(2n-1)an=(2n-1)· 2n-(2n-1), 令 Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n,① 则 2Tn=1×2 +3×2 +…+(2n-3)2 +(2n-1)2 ②
2 3 n n+ 1



①-②得- Tn= 1× 2+ 2× (22+ 23+…+ 2n)- + (2n-1)2n 1 - 22? 1-2n 1? + = 2+ 2× - (2n- 1)2n 1 1-2 + =-6- (2n- 3)2n 1, + ∴ Tn= (2n- 3)2n 1+ 6, ∴ Sn=b1+ b2+…+ bn = Tn- [1+3+5+…+ (2n-1)] + = (2n- 3)2n 1- n2+ 6.

【名师点评】

利用错位相减法求和时,转化为

等比数列求和.若公比是参数(字母),则应先对参

数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和.

裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差,通过

求和相互抵消,从而达到求和的目的.

例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中, a1= 1,

当 n≥ 2 时,其前 n 项和 Sn 满足

1 2 Sn= an(Sn- ). 2

(1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求 {bn}的前 n 项和 Tn. 2n+ 1
【思路点拨】 把 1 2 Sn=an(Sn- )化为只含有 2 Sn 的

式子, 可求出 Sn; 把 Sn 代入 bn 用裂项法可求出 Tn.

【解】

1 2 ∵Sn=an(Sn- ),an=Sn-Sn-1(n≥2), 2

1 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)(Sn- ),

2 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn① 由题意知 Sn-1· Sn≠0,①式两边同除以 Sn-1· Sn, 1 1 得S - =2 Sn-1 n 1 1 1 ∴数列{ }是首项为 = =1,公差为 2 的等差 Sn S1 a1 数列. 1 ∴S =1+2(n-1)=2n-1, n

1 ∴Sn= . 2n-1 Sn 1 (2)又 bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1? 1 1 1 = ( - ), 2 2n-1 2n+1 ∴Tn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+…+( - )] 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 1 n = (1- )= . 2 2n+1 2n+1

【方法总结】

利用裂项相消法求和时,应注

意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,
也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是

将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系
数,使裂开的两项之差与系数之积与原通项公

式相等.

数列求和的综合应用

有关数列的通项、求和及综合问题在近几年高
考中考查力度非常大,常以解答题形式出现,

同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证
明问题相结合更是高考考查的重点.

(2009 年高考江西卷)数列{an}的通项 an 2 2nπ 2nπ =n (cos -sin ),其前 n 项和为 Sn. 3 3 (1)求 Sn; S3n (2)令 bn= n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n· 4 2 nπ 2 nπ 【 思 路 点 拨 】 (1) 由 已 知 得 : cos - sin = 3 3
2nπ cos 是以 3 为周期的周期函数, 从而分情况求解. 3 (2)利用结论 (1)求 bn,再错位相减求和.

例4

2nπ 【解】 (1)由于 cos -sin =cos , 3 3 3 故 S3k = (a1 + a2+ a3)+ (a4 + a5+ a6)+…+ (a3k - 2+ a3k-1+a3k) 2 2 12+22 4 + 5 = (- +32)+(- +62)+…+ 2 2 ?3k-2?2+?3k-1?2 [- +(3k)2] 2 18k-5 k?9k+4? 13 31 = + +…+ = , 2 2 2 2 k?4-9k? S3k-1=S3k-a3k= , 2 k?4-9k? ?3k-1?2 S3k-2=S3k-1-a3k-1= + 2 2

2nπ

2nπ

3k-2 1 1 = -k=- - , 2 3 6
? n 1 ?- - , ? 3 6 ??n+1??1-3n? , 故 Sn? 6 ? ?n?3n+4? ? , ? 6

n=3k-2 n=3k-1 ?k∈N+? n=3k .

9n+4 S3n 9n+4 1 13 22 (2)bn= n= + 2 +…+ n ), n ,Tn= ( n· 4 2· 4 2 4 4 4 9n+4 1 22 4Tn= (13+ +…+ n-1 ), 2 4 4

9n+4 1 9 9 两式相减得 3Tn= (13+ +…+ n-1- n ), 2 4 4 4 9 9 - 4 4n 9n+4 1 1 9n = [13+ - n ]=8- 2n-3- 2n+1, 2 1 4 2 2 1- 4 8 1 3n 故 Tn= - 2n-3- 2n+1. 3 3· 2 2

【名师点评】

数列求和与函数、三角、不等

式等知识相结合命题是近几年高考考查的热点, 也是考查的重点,与三角相结合要明确三角函 数自身的性质,如周期性,单调性等,尤其周 期性是题目中的隐含条件,要善于挖掘,这也 是解决三角与数列综合问题的关键.

方法感悟 方法技巧 1.求数列通项的方法技巧:(1)通过对数列前若 干项的观察、分析,找出项与项数之间的统一对 应关系,猜想通项公式;(2)理解数列的项与前n 项和之间满足an=Sn-Sn-1(n≥2)的关系,并能灵 活运用它解决有关数列问题.

2.an 的两种常见变形(如例 3) an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(累 加法); a 2 a3 a4 an an=a1 · · · · …· (累乘法). a 1 a2 a3 an - 1

3.数列求和的方法技巧

(1)倒序相加:用于等差数列与二项式系数相关联
的数列的求和.

(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列
的求和.(如例2)

(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和数
列的求和.(如例1)

失误防范 1.直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公 式的推导过程. 2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律, 在分析数列通项的基础上,判断求和类型,寻找 求和的方法,或拆为基本数列求和,或转化为基 本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确 判断. 3.含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论

考向瞭望?把脉高考

考情分析
数列求和的众多方法中,错位相减法求和是高考 的热点,题型以解答题为主,往往与其他知识结 合考查,在考查基本运算、基本概念的基础上, 又注重考查学生分析问题、解决问题的能力,考 查较为全面. 预测2012年高考,错位相减法仍是高考的重点, 同时应重视裂项相消法求和.

规范解答


(本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)

设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3· 22n-1. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

【解】 (1)由已知得,当n≥1时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22n+1. …….3分 而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=22n-1. …4分 (2)由bn=nan=n· 22n-1, ……6分 知Sn=1· 2+2· 23+3· 25+…+n· 22n-1.① ……7分 从而22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+…+n· 22n+1.② …8分 ①-②得,(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n· 22n+ 1. ……10分 1 即 Sn= [(3n-1)22n+1+2]. ……12 分 9

【名师点评】 (1)本题易失误的是:①对an的常见 形式an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+ a1等不熟或不知,致使第一步不知从何下手;②第 (2)问作差后弄不清项数,处理不当,导致漏掉项或 添加项. (2)处理数列求和问题的方法是将陌生数列转化为等 差数列或等比数列的求和问题,有时也将陌生数列 转化为已知求和公式的其他数列,对于不是等差数 列、等比数列的数列进行求和,其常用的方法要熟 练掌握,特别是错位相减法.

名师预测 1 1 已知数列{an}是首项为 a1= ,公比 q= 的等 4 4
比数列, 设 bn+2=3 满足 cn=an· bn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn. (n∈N+), 数列{cn}

1n 解:(1)由题意,知 an=( ) (n∈N+), 4 又 bn=3= -2,故 bn=3n-2(n∈N+). (2)由(1)知 an 1n =( ) ,bn=3n-2(n∈N+), 4 1n ∴cn=(3n-2)×( ) (n∈N+). 4 1 12 13 ∴Sn=1× +4×( ) +7×( ) +…+(3n-5)× 4 4 4 1 n- 1 1n ( ) +(3n-2)×( ) , 4 4

1 12 13 14 于是 Sn=1×( ) +4×( ) +7×( ) +…+(3n- 4 4 4 4 1n 1 n+ 1 5)×( ) +(3n-2)×( ) , 4 4 3 两式相减,得 Sn 4 1 12 13 1n 1 n+ 1 = +3[( ) +( ) +…+( ) ]-(3n-2)×( ) 4 4 4 4 4 1 1 n+ 1 = -(3n+2)×( ) , 2 4 2 3n+2 1 n ∴Sn= - ×( ) (n∈N+). 3 3 4

本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放 点此进入课件目录

谢谢使用


推荐相关:

2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)课时卷(6-8章)

2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)课时卷(6-8章)_数学_高中教育_教育专区。作业 34 第 6 章 不等式与推理证明 § 6.1 不等关系与不等式 1 1 ...


2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)课时卷(3-5章)

作业17 第 3 章 三角函数 § 3.1 任意角与弧度制、任意角的三角函数 1. (2011 年蚌埠质检)已知角 A 同时满足 sinA>0 且 tanA<0, 则角 A 的终边一定落...


【优化方案】2012高考数学总复习_9-11章算法与程序框图课时卷_北师大版

优化方案2012高考数学总复习_9-11章算法与程序框图课时卷_北师大版_高考_...? ?7x+10y=5.4 ,由此解得 y=0.4. 答案:0.4 7.设服从二项分布 B(n,...


2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)第八章第2讲知能训练轻松闯关

2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)第章第2讲知能训练轻松闯关_数学_高中教育_教育专区。1.已知直线 l1:k1x+y+1=0 与直线 l2:k2x+y-1=0,...


2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)第四章第4讲知能训练轻松闯关

2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)第章第4讲知能训练轻松闯关_数学_高中教育_教育专区。i2 017 1.(2016· 西安地区八校联考)已知 i 是虚数单位,...


2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)选修4

2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)选修4_高考_高中教育_教育专区。1.求不等式|x+3|-|x-2|≥3 的解集. ?x≤-3, ? 解:原不等式等价于? ?...


学案与评测2012高考总复习数学理考点演练北师大版第五单元 数列(解析版))

学案与评测2012高考总复习数学理考点演练北师大版第五单元 数列(解析版))_高中...方案每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万元,以 后每年比前一年增加利润 5 千...


高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 5.4 平面向量的应用

高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 5.4 平面向量的应用_数学_高中教育_教育...2012高考数学总复习 第4... 54页 免费 2015届高三数学北师大版... 暂无...


2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 5.4 平面向量的应用

2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 5.4 平面向量的应用_高考_高中教育...高考中以向量为背景的创新题 α·β 典例:(1)(5 分)对任意两个非零的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com