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高中数学新人教版A必修二全部教案


【中学数学教案】

高中数学新人教版 A 必修二全部教案 第一章:空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会

表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 (2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观 察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些 建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的, (展示具有柱、锥、台、球结构特 征的空间物体) ,你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习 的内容。 (二) 、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特 点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的 主要结构特征。 (1)有两个面互相平行; (2)其余各面都是平行四边形; (3)每相邻两上四边 形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体, 并说出组成这些物体的几何结构特征?它 们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概 念,分类以及表示。 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关 的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助 实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合 而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征? 它们由哪些基本几何体组成的?

(三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例说明,如 图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? 3.课本 P8,习题 1.1 A 组第 1 题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋 转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 四、巩固深化 练习:课本 P7 练习 1、2(1) (2) 课本 P8 习题 1.1 第 2、3、4 题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业 课本 P8 练习题 1.1 B 组第 1 题 课外练习 课本 P8 习题 1.1 B 组第 2 题

1.2.1
一、教学目标 1.知识与技能 (1)掌握画三视图的基本技能 (2)丰富学生的空间想象力 2.过程与方法

空间几何体的三视图(1 课时)

主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用。 3.情感态度与价值观 (1)提高学生空间想象力 (2)体会三视图的作用 二、教学重点、难点 重点:画出简单组合体的三视图 难点:识别三视图所表示的空间几何体 三、学法与教学用具 1.学法:观察、动手实践、讨论、类比 2.教学用具:实物模型、三角板 四、教学思路 (一)创设情景,揭开课题

“横看成岭侧看成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真 实反映出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。 在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、 俯视图) ,你能画出空间几何体的三视图吗? (二)实践动手作图 1.讲台上放球、长方体实物,要求学生画出它们的三视图,教师巡视,学生画完后可交流 结果并讨论; 2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图 (1)画出球放在长方体上的三视图 (2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图 学生画完后,可把自己的作品展示并与同学交流,总结自己的作图心得。 作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图。 3.三视图与几何体之间的相互转化。 (1)投影出示图片(课本 P10,图 1.2-3) 请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么? (2)你能画出圆台的三视图吗? (3)三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会? 教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看法。 4.请同学们画出 1.2-4 中其他物体表示的空间几何体的三视图,并与其他同学交流。 (三)巩固练习 课本 P12 练习 1、2 P18 习题 1.2 A 组 1 (四)归纳整理 请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图 (五)课外练习 1. 自己动手制作一个底面是正方形, 侧面是全等的三角形的棱锥模型, 并画出它的三视图。 2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形,侧面是全等的等腰梯形的棱台模型,并 画出它的三视图。 (六)教学反思:

1.2.2

空间几何体的直观图(1 课时)

一、教学目标 1.知识与技能 (1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 (2) 采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的 各自特点。 2.过程与方法 学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3.情感态度与价值观 (1)提高空间想象力与直观感受。 (2)体会对比在学习中的作用。 (3)感受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点 重点、难点:用斜二测画法画空间几何值的直观图。 三、学法与教学用具 1.学法:学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2.教学用具:三角板、圆规 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.我们都学过画画,这节课我们画一物体:圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2.学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效果更好,思考怎样才能画好物 体的直观图呢?这是我们这节主要学习的内容。 (二)研探新知 1.例 1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思考斜二测 画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评。 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一 旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可 以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 练习反馈 根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师检查。 2.例 2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 教师引导学生与例 1 进行比较,与画水平放置的多边形的直观图一样,画水平放置的圆的 直观图,也是要先画出一些有代表性的点,由于不能像多边那样直接以顶点为代表点,因此需 要自己构造出一些点。

教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点,与学生共同完成例 2 并详细 板书画法。 3.探求空间几何体的直观图的画法 (1)例 3,用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD-A’B’C’D’ 的直观图。 教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生按部就班地画好每一步,不 能敷衍了事。 (2)投影出示几何体的三视图、课本 P15 图 1.2-9,请说出三视图表示的几何体?并用斜 二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考,讨论和交流完成,教师巡视帮不懂的同学解疑, 引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。 4.平行投影与中心投影 投影出示课本 P17 图 1.2-12,让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影 下画空间图形的各自特点。 5.巩固练习,课本 P16 练习 1(1) ,2,3,4 三、归纳整理 学生回顾斜二测画法的关键与步骤 四、作业 1.书画作业,课本 P17 练习第 5 题 2.课外思考 课本 P16,探究(1) (2) (五)教学反思:

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转 换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 (1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。 (2)让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响。从而 增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点:台体体积公式的推导

三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何 体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:实物几何体,投影仪 四、教学设想 1、创设情境 (1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法 及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆,互相交流,教师归类。 (2)教师设疑:几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧 面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节内容。 2、探究新知 (1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图

(2)组织学生分组讨论:这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求? (3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 (1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式:

S圆台表面积 ? ?(r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl )
r 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 (2)组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
1

(3)教师引导学生探究:如何把一个三棱柱分割成三个等体积的 棱锥?由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。 如图:

(4)教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系。

(s’,s 分别我上下底面面积,h 为台柱高) 4、例题分析讲解



(课本)例 1、 例 2、 例 3 5、巩固深化、反馈矫正 教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径 2 (答案: 3a? m ) 。 3?

2、棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡,截得这个棱台的棱锥的高为 35cm,求 3 这个棱台的体积。 (答案:2325cm ) 6、课堂小结 本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关 点看待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。 7、评价设计 习题 1.3 A 组 1.3 (五)教学反思:

§1.3.2
一. 1. 教学目标 知识与技能

球的体积和表面积

错误!未找到引用源。通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数 学思想方法: “分 割——求和——化为准确和” ,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 错误!未找到引用源。能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 错误!未找到引用源。培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 2. 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=

4 π R3 和面积公式S 3

=4π R2 的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极 限思想。 3. 情感与价值观 通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能 力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 2. 教学用具:投影仪 四. 教学设计 (一) 创设情景 错误!未找到引用源。教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样

展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 错误!未找到引用源。教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的 体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。 (二) 探究新知 错误!未找到引用源。 .球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”“小圆片”的体积的 , 体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状, 所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为 准确和”的方法来进行。 步骤: 第一步:分割 如图:把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分,过这些等分点, 用一组平行于底面的平面把半球切割成 n 个“小圆片”“小圆片”厚度 , 近似为

R ,底面是“小圆片”的底面。 n

如图:

得 Vi ? ? ? r i ?
2

R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]  ? 1、2 ? n) (i ? n n n

第二步:求和

V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ?
第三步:化为准确的和

(1 ? 1 )( 2 ? 1 ) n n ] 6

当 n→∞时, n →0 (同学们讨论得出) 所以

1

V半球=?R 3 (1 ?

1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3
V球 ? 4 ?R 3 3
3

得到定理:半径是R的球的体积

练习:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径(钢的密度是 7.9g/cm ) 错误!未找到引用源。 .球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以 不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和, 再由近似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 2 半径为 R 的球的表面积为 S=4π R 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上, 则这个球的表面积是 。 (答案 50 元) (三) 典例分析 课本 P47 例 4 和 P29 例 5 (四) 巩固深化、反馈矫正



错误!未找到引用源。正方形的内切球和外接球的体积的比为 。 (答案: 3 3 : 1

,表面积比

; 3 :1)
2

错误!未找到引用源。在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm 2 2 和 400π cm ,求球的表面积。 (答案:2500π cm ) 分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性质求球的 半径

(五) 课堂小结 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导, 以及利用公式解决相关的球的问题, 了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。 (六) 评价设计 作业 P30 练习 1、3 ,B(1) (七)教学反思:

第二章 直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成 本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、教学思想 (一)实物引入、揭示课题 师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你 们能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时,教师对学生的活动 给予评价。 师:那么,平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来 的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画) 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成一 0 个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) D α A B C

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边 形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出 投影片)

β

β

α

α

·B 课本 P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α ·A

α

2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解。

师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上,用 事实引导学生归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容,并加以解析) 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等?? 引导学生归纳出公理 2 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α · C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题,从而归纳出公理 3 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 P α · L 4、教材 P43 例 1 通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。 5、课堂练习:课本 P44 练习 1、2、3、4 6、课时小结: (师生互动,共同归纳) (1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么? 7、作业布置 (1)复习本节课内容; (2)预习:同一平面内的两条直线有几种位置关系? (五)教学反思:

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何一个 平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

2、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在 空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(投影片) 例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 (3)教材 P47 探究

让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P47 的思考题 (投影)

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 0 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)例 3(投影) 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识。 (三)课堂练习 教材 P49 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。 (四)课堂小结 在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? (五)课后作业 1、判断题: (1)a∥b c⊥a => c⊥b ( )

(1)a⊥c b⊥c => a⊥b ( ) 2、填空题: 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。 (五)教学反思:

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中直线与平面的位置关系; (2)了解空间中平面与平面的位置关系; (3)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考等,较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本 P49 的思考题为载体,提出了:空间中直线与平面有多少种位置 关系?(板书课题) (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α 例 4(投影)

a∩α =A

a∥α

师生共同完成例 4 例 4 的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有两种位置 关系: (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为 α L

β α ∥β

α

β

α ∩β = L

教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 教材 P51 探究 让学生独立思考,稍后教师作指导,加深学生对这两种位置关系的理解 教材 P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导 (三)归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识的层次。 (四)作业 1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。 2、教材 P52 习题 2.1 A 组第 5 题 (五)教学反思:

§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理; (2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力; 2、过程与方法 学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行的判定定理。 3、情感、态度与价值观 (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。 二、教学重点、难点 重点、难点:直线与平面平行的判定定理及应用。 三、学法与教学用具

1、学法:学生借助实例,通过观察、思考、交流、讨论等,理解判定定理。 2、教学用具:投影仪(片) 四、教学思想 (一)创设情景、揭示课题 引导学生观察身边的实物,如教材第 55 页观察题:封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系?如何去确定这种关系呢?这就是我们本节课所要学习的内容。 a (二)研探新知 1、投影问题 α 直线 a 与平面α 平行吗? a

α 若α 内有直线 b 与 a 平行, 那么α 与 a 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面α 平行?

b

学生思考后,师生共同探讨,得出以下结论 直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面 平行。 简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2、例 1 引导学生思考后,师生共同完成 该例是判定定理的应用,让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。 (三)自主学习、发展思维 练习:教材第 57 页 1、2 题 让学生独立完成,教师检查、指导、讲评。 (四)归纳整理 1、同学们在运用该判定定理时应注意什么? 2、在解决空间几何问题时,常将之转换为平面几何问题。 (五)作业 1、教材第 64 页 习题 2.2 A 组第 3 题; 2、预习:如何判定两个平面平行?

§2.2.2 平面与平面平行的判定

一、教学目标: 1、知识与技能 理解并掌握两平面平行的判定定理。 2、过程与方法 让学生通过观察实物及模型,得出两平面平行的判定。 3、情感、态度与价值观 进一步培养学生空间问题平面化的思想。 二、教学重点、难点 重点:两个平面平行的判定。 难点:判定定理、例题的证明。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,得出两平面平行的判 定。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、引入课题 引导学生观察、思考教材第 57 页的观察题,导入本节课所学主题。 (二)研探新知 1、问题: (1)平面β 内有一条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? (2)平面β 内有两条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? 通过长方体模型,引导学生观察、思考、交流,得出结论。 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P β ∥α a∥α b∥α 教师指出:判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、例 2 引导学生思考后,教师讲授。 例子的给出,有利于学生掌握该定理的应用。 (三)自主学习、加深认识 练习:教材第 59 页 1、2、3 题。 学生先独立完成后,教师指导讲评。 (四)归纳整理、整体认识 1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 2、在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方,请向老师提出。 (五)作业布置

第 65 页习题 2.2 A 组第 7 题。 (六)教学反思:

§2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用; (2)掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 2、过程与方法 学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质及应用。 3、情感、态度与价值观 (1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力; (2)进一步体会类比的作用; (3)进一步渗透等价转化的思想。 二、教学重点、难点 重点:两个性质定理 。 难点: (1)性质定理的证明; (2)性质定理的正确运用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过类比、交流等,得出性质及基本应用。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、引入新课 1、思考题:教材第 60 页,思考(1) (2) 学生思考、交流,得出 (1)一条直线与平面平行,并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行; (2)直线 a 与平面α 平行,过直线 a 的某一平面,若与平面α 相交,则直线 a 就平行于这条交 线。 在教师的启发下,师生共同完成 该结论的证明过程。 于是,得到直线与平面平行的性质定理。

定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β α ∩β = b

a∥b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、例 3 培养学生思维,动手能力,激发学习兴趣。 例 4 性质定理的直接应用,它渗透着化归思想,教师应多做引导。 3、思考:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置 关系? 学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。 再问:平面 AC 内哪些直线与 B'D'平行?怎么找? 在教师的启发下,师生 共同完成该结论及证明过程, 于是得到两个平面平行的性质定理。

定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 教师指出:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 4、例 5 以讲授为主,引导学生共同完成,逐步培养学生应用定理解题的能力。 (三)自主学习、巩固知识 练习:课本第 63 页 学生独立完成,教师进行纠正。 (四)归纳整理、整体认识 1、通过对两个性质定理的学习,大家应注意些什么? 2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法? (五)布置作业 课本第 65 页 习题 2.2 A 组第 6 题。 (六)教学反思:

§2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括 结论。

2、过程与方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 1、教师首先提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如: “旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系” ,你能举出一些类似的例子吗?然后让学生回 忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、接着教师指出:一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地面上 的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知,可再借助长方体模型让 学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题:从直线 与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发,能否用一条直线垂直于一个平面内的直 线来定义这条直线与这个平面垂直呢?并组织学生交流讨论,概括其定义。 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记作 L ⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图 2.3-1,直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L p α 图 2-3-1 2、老师提出问题,让学生思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没有 比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图 2.3-2 试验:过△ABC

的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) , 问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直? A

B

D

C

图 2.3-2 (3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面) ,进行 合情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 老师特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 (三)实际应用,巩固深化 (1)课本 P69 例 1 教学 (2)课本 P69 例 2 教学 (四)归纳小结,课后思考 小结:采用师生对话形式,完成下列问题: ①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定 定理,体现的教学思想方法是什么? 课后作业: ①课本 P70 练习 2 ②求证:如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。 思考题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和这个平面垂直,这 个结论对吗?为什么? (五)教学反思:

§2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互 、 、 相垂直”的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教学存在于观实生活周围,从中激发 学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。 重点:平面与平面垂直的判定; 难点:如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。 1、学法:实物观察,类比归纳,语言表达。 2、教学用具:二面角模型(两块硬纸板) 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样定义的? 、 它们有什么共同的特征? 以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多问题 要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、发射人

造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察,研探。 (二)研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以上问 题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示)

角 A 图形 顶点 O 边 边 B A 梭 l B α

二面角

β

从平面内一点出发的两条射线(半直 从空间一直线出发的两个半平面所组成的 定义 线)所组成的图形 构成 表示 2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二面 角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先准备 好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 2.3-3) ,通 过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB 图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

(3)当二面角的平面角是直角时,这两个平 面的位置关系怎样? 承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 C O A β B

(三)应用举例,强化所学 例题:课本 P.72 例 3 图 2.3-3

α

做法:教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽检学生掌握情况,教 师最后讲评并板书证明过程。 (四)运用反馈,深化巩固 问题:课本 P.73 的探究问题 做法:学生思考(或分组讨论) ,老师与学生对话完成。 (五)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? (六)课后巩固,拓展思维 1、课后作业:自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平 面角互补。 2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥L”?为什么∠AOB 的大小与点 O 在 L 上的位置无关? (七)教学反思:

§2、3.3 直线与平面垂直的性质 §2、3.4 平面与平面垂直的性质
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题;

(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 2、过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识; (2)性质定理的推理论证。 3、情态与价值 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推 理能力。 二、教学重点、难点 两个性质定理的证明。 三、学法与用具 (1)学法:直观感知、操作确认,猜想与证明。 (2)用具:长方体模型。 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 问题:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直 呢? 让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们一起 来观察、研探。 (自然进入课题内容) (二)研探新知 1、操作确认 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图 2.3—4,在长方体 ABCD— 1 1 1 1 1 1 1 1 A B C D 中,棱 AA 、BB 、CC 、DD 所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间是有什么位置关系? (显然互相平行) 然后进一步迁移活动:已知直线 a⊥α 、b⊥α 、 那么直线 a、b 一定平行吗? (一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?
D
1

C B
1

1

a A
1

b

D C

α

A

图 2.3-4

B

图 2.3-5

2、推理证明 引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法, 然后师生互动共同完成该推理过程 ,最后归纳得出: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 (三)应用巩固

例子:课本 P.74 例 4 做法:教师给出问题,学生思考探究、判断并说理由,教师最后评议。 (四)类比拓展,研探新知 类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如何在 黑板面上画一条与地面垂直的直线? 引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在黑板上 画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完成性质定理 的确认与证明,并归纳性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (五)巩固深化、发展思维 思考 1、设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平面α 具有什么位置关系? (答:直线 a 必在平面α 内) 思考 2、已知平面α 、β 和直线 a,若α ⊥β ,a⊥β ,a α ,则直线 a 与平面α 具有什 么位置关系? (六)归纳小结,课后巩固 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? 作业: (1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直; (2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 (七)教学反思:

本章小结
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识; (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法 利用框图对本章知识进行系统的小结, 直观、 简明再现所学知识, 化抽象学习为直观学习,

易于识记;同时凸现数学知识的发展和联系。 3 情态与价值 学生通过知识的整合、梳理,理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系,进一步培养 学生的空间想象能力和解决问题能力。 二、教学重点、难点 重点:各知识点间的网络关系; 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教学设计 (一)知识回顾,整体认识 1、本章知识回顾 (1)空间点、线、面间的位置关系; (2)直线、平面平行的判定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

(二)整合知识,发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑推理 的基础。 公理 1——判定直线是否在平面内的依据; 公理 2——提供确定平面最基本的依据; 公理 3——判定两个平面交线位置的依据; 公理 4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题; 3、空间平行、垂直之间的转化与联系: 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。

(三)应用举例,深化巩固 1、P.82 A 组第 1 题 本题主要是公理 1、2 知识的巩固与应用。 2、P.82 A 组第 8 题 本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。 (四)课后作业 1、阅读本章知识内容,从中体会知识的发展过程,理会问题解决的思想方法; 2、P.83 B 组第 2 题。 (五)教学反思:

第三章

直线与方程

3.1.1 直线的倾斜角和斜率
教学目标: 知识与技能 (1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观 (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、 探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树 立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: (一) 直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定 吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, ?易见,答案是否定的.这些直线有什么联系 呢?

Y

a

b

c

O

P

X

(1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. ... 问: 倾斜角α 的取值范围是什么? 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可 以用倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

Y a b c

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角α . .......... . (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就 是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α =45°时, k = tan45°= 1; α =135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1.

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90°, 直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分 P2 母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是 钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα <0 时, 倾斜角α 是钝角; 而当 k = tanα >0 时, 倾斜角α 是锐角; 而当 k = tanα =0 时, 倾斜角α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以根据直线 a 的 斜率确定; 或者 k=tanα =1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y-0)/(x-0) 所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a. 同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 直线的斜率公式.

(七)课后作业: P94 习题 3.1 (八)板书设计:

1. 3.

1.直线倾斜角的概念 练习 1 2. 直线的斜率 3.1.2 两条直线的平行与垂直() 4.例 2?? 练习 2

§3.1.1?? 3.例 1??

练习 3 练习 4

(九)教学反思:

两条直线的位置关系
教学目标 (一)知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合 能力. (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发 学生的学习兴趣. 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 难点: 启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问 题. 注意: 对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好 这个问题. 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表 示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过 两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角

都为 90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一 条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方 向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题 是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜角相等: α 1=α 2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tgα 1=tgα 2. 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°, ∴α 1=α 2. 又∵两条直线不重合, ∴L1∥L2. 结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们 的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并 ........ 不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 L1 与 L2 的交 点在 x 轴下方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2. 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

, 可以推出 : α 1=90°+α 2. L1⊥L2. 结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们 ........

的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1 ⊥L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α 1 为锐角,钝角等). 例题 例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明 你的结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形,再通 过计算加以验证) 解同上. 例3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再通 过计算加以验证.(图略) 课堂练习 P94 练习 1. 2. 课后小结 (1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. 布置作业 P94 习题 3.1 5. 8. 板书设计

3.2.1

直线的点斜式方程

一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; (2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础 上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 3、情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想, 渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: (1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 (2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直线,应 使 学 生 在 已 有 知 识 学生回顾,并回答。然后教师指出, 知道哪些条件? 和经验的基础上,探索 直线的方程,就是直线上任意一点的坐 新知。 标 ( x, y ) 满足的关系式。 培 养 学 生 自 主 探 索 学生根据斜率公式,可以得到,当 2、 直线 l 经过点 P0 ( x0 , y 0 ) , 且斜率为 的能力,并体会直线的 y ? y0 x ,即 方程,就是直线上任意 ? x0 时, k ? k 。设点 P( x, y ) 是直线 l 上的任意一 x ? x0 一 点 的 坐 标 ( x, y ) 满

y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) 点, 请建立 x, y 与 k , x0 , y 0 之间的关系。 (1) 足的关系式,从而掌握 根 据 条 件 求 直 线 方 程 教师对基础薄弱的学生给予关注、引 的方法。 导,使每个学生都能推导出这个方程。

y P P0

O

x

使 学 生 了 解 方 程 为 学生验证,教师引导。 3、 (1)过点 P0 ( x0 , y 0 ) ,斜率是 k 的 直线方程必须满两个 条件。 直线 l 上的点,其坐标都满足方程(1) 吗? 问 题 设计意图 师生活动 (2)坐标满足方程(1)的点都在经过 使 学 生 了 解 方 程 为 学生验证,教师引导。然后教师指出 直 线 方 程 必 须 满 两 个 (1) 方程 由直线上一定点及其斜率确定, P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 l 上吗? 条件。 所以叫做直线的点斜式方程,简称点斜 式(point slope form). 4、直线的点斜式方程能否表示坐标平 学 生 理 解 直 线 的 点 学生分组互相讨论,然后说明理由。 使 面上的所有直线呢? 斜式方程的适用范围。 5、 (1) x 轴所在直线的方程是什么? 进 一 步 使 学 生 理 解教师学生引导通过画图分析, 求得问题 直线的点斜式方程的 的解决。 y 轴所在直线的方程是什么? 适用范围,掌握特殊直 y 线方程的表示形式。 (2)经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 x 轴
P0

(即垂直于 y 轴)的直线方程是什么? (3)经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 y 轴 (即垂直于 x 轴)的直线方程是什么?
O x

y P0

O

x

6、例 1 的教学。

学 会 运 用 点 斜 式 方 程 教师引导学生分析要用点斜式求直 线方程应已知那些条件?题目那些条件 解决问题,清楚用点斜 已 式公式求直线方程必 经直接给予,那些条件还有待已去 须 具 备 的 两 个 条 件求。在坐标平面内,要画一条直线可以 : (1)一个定点; 怎样去画。 (2) 有斜率。同时掌握已知 直线方程画直线的方 法。

7、已知直线 l 的斜率为 k ,且与 的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程。

y轴

引入斜截式方程,让 学生独立求出直线 l 的方程: 学生懂得斜截式方程 y ? kx ? b (2) 源于点斜式方程,是点 斜 式 方 程 的 一 种 特 殊 再此基础上,教师给出截距的概念, 引导学生分析方程(2)由哪两个条件确 情形。
定,让学生理解斜截式方程概念的内 涵。

8、观察方程 y
有什么特点?

? kx ? b ,它的形式具


深 入 理 解 和 掌 握 学生讨论,教师及时给予评价。 斜截式方程的特点? 设计意图 师生活动

问 9、直线 y
什么?

? kx ? b 在 x 轴上的截距是

学生思考回答,教师评价。 使学生理解“截 距”与“距离”两个概 念的区别。

学 10、 你如何从直线方程的角度认识一次 体 会 直 线 的 斜 截 式 生 思 考 、 讨 论 , 教 师 评 价 、 归 纳 概 括。 方程与一次函数的关 函数 y ? kx ? b ?一次函数中 k 和 b 的 系. 几何意义是什么?你能说出一次函数

y ? 2 x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3 图 象
的特点吗?

11、例 2 的教学。

掌 握 从 直 线 方 程 的 教师引导学生分析:用斜率判断两条 角度判断两条直线相 直线平行、垂直结论。思考(1) l1 // l 2 互平行,或相互垂直; 进一步理解斜截式方
时,

k1 , k 2 ; b1 , b2 有 何 关 系 ? ( 2 )

程中 k, b 的几何意义。

l1 ? l2 时, k1 , k 2 ; b1 , b2 有何关系?在 l1 // l2 ? k1 ? k 2 , 且 b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1

此由学生得出结论:

学生独立完成,教师检查反馈。 12、 课堂练习第 100 页练习第 1, 3,固 本 节 课 所 学 过 的 2, 巩 4 题。 知识。

13、小结

教师引导学生概括:(1)本节课我们学 使学生对本节课所学 的知识有一个整体性 过那些知识点; (2) 直线方程的点斜式、 的认识,了解知识的来 斜截式的形式特点和适用范围是什么? 龙去脉。 (3) 求一条直线的方程, 要知道多少个 条件? 学生课后独立完成。

14、 布置作业: 106 页第 1 题的 巩固深化 第 (1) 、 (2)(3)和第 3、5 题 、 (五)教学反思:

3.2.2

直线的两点式方程

一、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获 得新知识的特点。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: 1、 重点:直线方程两点式。 2、难点:两点式推导过程的理解。 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1、利用点斜式解答如下问 遵循由浅及深, 由特殊到 教师引导学生:根据已有的知识,要求直 题: 一般的认知规律。 使学生 线方程,应知道什么条件?能不能把问题 转化为已经解决的问题呢?在此基础上, (1)已知直线 l 经过两点 在已有的知识基础上获 得新结论, 达到温故知新 学生根据已知两点的坐标,先判断是否存 P1 (1,2), P2 (3,5) ,求直线 l 的 的目的。 在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求 方程. 出直线方程: (2)已知两点

P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 求通过这
两点的直线方程。

(1) y

3 ? 2 ? ( x ? 1) 2

(2) y

? y1 ?

y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

教师指出:当 y1

? y 2 时,方程可以写成

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
由于这个直线方程由两点确定,所以我们 把它叫直线的两点式方程,简称两点式 (two-point form). 使学生懂得两点式的适 教师引导学生通过画图、观察和分析,发 2、 若点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y 2 ) 1 用范围和当已知的两点 现当 x1 ? x 2 时,直线与 x 轴垂直,所以 不满足两点式的条件时 中有 x1 ? x 2 ,或 y1 ? y 2 ,此 它的方程形式。 直线方程为: x ? x1 ;当 y1 ? y 2 时,直 时这两点的直线方程是什么?

线与 y 轴垂直,直线方程为: y 问 题 设计意图 师生活动

? y1 。

使学生学会用两点式求 教师引导学生分析题目中所给的条件有什 理解截距式源 已知直线 l 与 x 轴的交点为 直线方程; 么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方 于两点式, 是两点式的特 程?那种方法更为简捷?然后由求出直线 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 殊情形。 方程: B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 , 求直线 l 的方程。

3、例 3 教学

x y ? ?1 a b
教师指出: a, b 的几何意义和截距式方程 的概念。

4、例 4 教学 让学生学会根据题目中 教师给出中点坐标公式,学生根据自己的 已知三角形的三个顶点 A(-5, 所给的条件, 选择恰当的 理解, 选择恰当方法求出边 BC 所在的直线 0) ,B(3,-3) ,C(0,2) ,求 直线方程解决问题。 方程和该边上中线所在直线方程。在此基 BC 边所在直线的方程,以及该 础上,学生交流各自的作法,并进行比较。 边上中线所在直线的方程。 5、课堂练习 第 102 页第 1、2、3 题。 6、小结 学生独立完成,教师检查、反馈。 增强学生对直线方种四 教师提出: (1)到目前为止,我们所学过 种形式 (点斜式、 斜截式、 的直线方程的表达形式有多少种?它们之 两点式、截距式)互相之 间有什么关系? 间的联系的理解。 (2)要求一条直线的方程,必须知道多少 个条件? 巩固深化, 培养学生的独 立解决问题的能力。 学生课后完成

7、布置作业 (五)教学反思:

3.2.3

直线的一般式方程

一、教学目标 1、知识与技能 (1)明确直线方程一般式的形式特征; (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距; (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法 学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点:

1、重点:直线方程的一般式。 2、难点:对直线方程一般式的理解与应用。 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1、 (1)平面直角坐标系中的每一条 使学生理解直线和 YI 教师引导学生用分类讨论的方法思考探 二元一次方程的关 究问题(1) ,即直线存在斜率和直线不存 直线都可以用一个关于 x, y 的二 系。 在斜率时求出的直线方程是否都为二元一 元一次方程表示吗? 次方程。对于问题(2) ,教师引导学生理 解要判断某一个方程是否表示一条直线, (2)每一个关于 x, y 的二元一次 只需看这个方程是否可以转化为直线方程 的某种形式。为此要对 B 分类讨论,即当 方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不 B ? 0 时和当 B=0 时两种情形进行变形。 同时为 0)都表示一条直线吗? 然后由学生去变形判断,得出结论: 关于 x, y 的二元一次方程,它都表示一 条直线。 教师概括指出:由于任何一条直线都可 以用一个关于 x, y 的二元一次方程表示; 同时,任何一个关于 x, y 的二元一次方程 都表示一条直线。 我们把关于关于 x, y 的二元一次方 程 Ax ?

By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

叫做直线的一般式方程,简称一般式 (general form). 2、 直线方程的一般式与其他几种形 学生理解直线方 学生通过对比、讨论,发现直线方程的 使 式的直线方程相比,它有什么优 方 程 的 一 般 式 的 的 一般式与其他形式的直线方程的一个不同 点? 与其他形 点是: 问 题 式 设计意图 师生活动 的不同点。 直线的一般式方程能够表示平面上的所有 直线,而点斜式、斜截式、两点式方程, 都不能表示与 x 轴垂直的直线。

3、在方程 Ax ?

A,B,C 为何值时,方程表示的直 项 对 直 线 的 位 置 数 线 的影响。 程的形式。然后由学生自主探索得到问题 的答案。 (1) 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; (2) (3)与 x 轴重合; (4)与 y 重合。 4、例 5 的教学 使学生体会把直 学生独立完成。然后教师检查、评价、反

使 By ? C ? 0 中, 学 生 理 解 二 元 一 教师引导学生回顾前面所学过的与 x 轴 次方程的系数和常 平行和重合、与 y 轴平行和重合的直线方

已知直线经过点 A(6,-4) 线 方 程 的 点 斜 式 转 ,斜 馈。指出:对于直线方程的一般式,一般 化为一般式,把握直 作如下约定:一般按含 x 项、含 y 项、常 4 线 率为 ? ,求直线的点斜式和一般 方 程 一 般 式 的 特 3 点。 数项顺序排列;x 项的系数为正;x , y 的 式方程。 系数和常数项一般不出现分数;无特加要 时,求直线方程的结果写成一般式。 5、例 6 的教学 使 学 生 体 会 直 线 方 先由学生思考解答,并让一个学生上黑 程 板板书。然后教师引导学生归纳出由直线 把 直 线 l 的 一 般 式 方 程 的一般式化为斜 截式,和已知直线方 方程的一般式,求直线的斜率和截距的方 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式,求 程的一般式求直线 法:把一般式转化为斜截式可求出直线的 的斜率和截距的方 斜率的和直线在 y 轴上的截距。求直线与 出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 法。 轴上的截距,并画出图形。 x 轴的截距,即求直线与 x 轴交点的横坐 标,为此可在方程中令 y =0,解出 x 值, 即为与直线与 x 轴的截距。 在直角坐标系中画直线时,通常找出 直线下两个坐标轴的交点。 6、 二元一次方程的每一个解与坐标 学 生 进 一 步 理 解 学生阅读教材第 105 页,从中获得对问 使 平面中点的有什么关系?直线与二 元 一 次 方 程 与 直 二 题的理解。 元一次方程的解之间有什么关系? 线的关系,体会直解 坐标系把直线与方 程联系起来。 7、课堂练习 巩 固 所 学 知 识 和 方 学生独立完成,教师检查、评价。 第 105 练习第 2 题和第 3(2) 法。 问 8、小结 题 设计意图 师生活动 使 学 生 对 直 线 方 程 (1)请学生写出直线方程常见的几种形 的理解有一个整体 式,并说明它们之间的关系。 的认识。 (2)比较各种直线方程的形式特点和适 用范围。 (3)求直线方程应具有多少个条件? (4)学习本节用到了哪些数学思想方 法?

9、布置作业 巩固课堂上所学的 学生课后独立思考完成。 第 106 页习题 3.2 第 10 题和第 知识和方法。 11 题。 (五)教学反思:

3.3-1 两直线的交点坐标
三维目标 知识与技能:1。直线和直线的交点

2.二元一次方程组的解 过程和方法:1。学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法。 2.掌握数形结合的学习法。 3.组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的 直线系方程。 情态和价值:1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内 的联系。 2.能够用辩证的观点看问题。 教学重点,难点 重点:判断两直线是否相交,求交点坐标。 难点:两直线相交与二元一次方程的关系。 教学方法:启发引导式 在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相 互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的 问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。 教具:用 POWERPOINT 课件的辅助式教学 教学过程: 一. 情境设置,导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果 两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 二. 讲授新课 1. 分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系 已知两直线 L1:A1x+B1y +C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系? 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。 几何元素及关系 点A 直线 L 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A 课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? 学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系? (1) 若二元一次方程组有唯一解,L 1 与 L2 相交。 (2) 若二元一次方程组无解,则 L 1 与 L2 平行。 (3) 若二元一次方程组有无数解,则 L 1 与 L2 重合。 课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系? 2. 例题讲解,规范表示,解决问题 例题 1:求下列两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 代数表示 A(a,b) L:Ax+By+C=0

解:解方程组

? ?3x ? 4y ? 2 0 ? ? ?2 x ? 2y ? 2 0

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) ,如图 3。3。1。
6

y
4

2

-5

5

x
-2

-4

教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然后才 进行讲解。 同类练习:书本 110 页第 1,2 题。 例 2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1) L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0 (2) L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0 (3) L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。 三. 启发拓展,灵活应用。 课堂设问一。当 ? ? 变化时,方程 3x+4y-2+ ? (2x+y+2)=0 表示何图形,图形 有何特点?求出图形的交点坐标。 (1) 可以一用信息技术,当 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让 学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。 (2) 找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。 (3) 结论,方程表示经过这两条直线 L1 与 L2 的交点的直线的集合。 例 2 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求 证交点不可能在第一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围. 解:解方程组若

a2 ?1 a ?1 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二象限内. a ?1 a ?1

又因为 a 为任意实数时,都有 a 2 ? 1 ? 1>0,故

a2 ?1 ≠0 a ?1
a ?1 a2 ?1 ) , a ?1 a ?1

因为 a ≠1 (否则两直线平行, 无交点) , 所以, 交点不可能在 x 轴上 , 得交点(-
新疆

王新敞
学案

四. 小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数 问题来解决,并能进行应用。 五. 练习及作业: 1. 光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线 所在的直线方程。 2. 求满足下列条件的直线方程。 经过两直线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的交点,且和直线 3x-2y+4=0 垂直。 六板书设计:略 七、教学反思:

3.3.2 直线与直线之间的位置关系-两点间距离
三维目标 知识与技能:掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值:体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决几何问题 教学重点,难点:重点,两点间距离公式的推导。难点,应用两点间距离公式证明几何问题。 教学方式:启发引导式。 教学用具:用多媒体辅助教学。 教学过程: 一, 情境设置,导入新课 课堂设问一:回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点 P P2 ? ? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ? 7 ,分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足分别 1
2

0 为 N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, ?

直线 P N1与P2 N 2 相交于点 Q。 1 在直角 ? ABC 中, P P2 1
2

? PQ ? QP2 ,为了计算其长度,过点 P1 向 x 轴作垂线,垂足为 1
2 2

M 1 ? x1, ? 过点 向 y 轴作垂线,垂足为 N 2 ? 0,y2 ? 0
PQ ? M 2 M 1 ? x2 ? x1 , 2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 QP 1
2 2 2 2 2 2

,于是有

所以, P P2 1

2

? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1
2 2 2 2

由此得到两点间的距离公式

PP2 ? 1

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。 二,例题解答,细心演算,规范表达。例 1 :以知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在 x 轴上求 一点,使 PA ? PB ,并求

PA 的值。

解:设所求点 P(x,0) ,于是有

? x ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2



PA ? PB 得

x2 ? 2 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 11 解得 x=1。
所以,所求点 P(1,0)且 距离公式理解。应用。 解 法 二 : 由 已 知 得 , 线 段 AB 的 中 点 为 M ? , ?

PA ?

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2

通过例题,使学生对两点间

? 1 2+ 7? ? , 直 线 AB 的 斜 率 为 2 2 ? ? ?

k=

7 2+ 7 -2 3 1? 7 -2 2 2 ? = ? ?x- ? PA= ? 1+2 +? ? 0-2? =2 2 3 2 2? 3 2- 7 ? 2+ 7 3 1? ? = ? ?x- ? 2 2? 2- 7 ?

线段 AB 的垂直平分线的方程是 y-

在上述式子中,令 y=0,解得 x=1。 所以所求点 P 的坐标为(1,0) 。因此

PA= ? 1+2 +0-2 =22 ? ? ?
2 2

同步练习:书本 112 页第 1,2 题 三. 巩固反思,灵活应用。 (用两点间距离公式来证明几何问题。 ) 例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算“翻 译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代 数问题解决几何问题的基本步骤。 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系, 有A(0,0) 。 设B(a,0) ,D(b,c) ,由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c) ,因为

AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC
2 2 2

2

2, 2 AC ? ? a ? b ? +c BD =?b-a? +c 2






2 2 2 所以, AB +CD +AD +BC =2a+b+c









?

?

AC +BD =2a+b+c ? 所以, ?2 2 2
2 2

AB +CD +AD +BC =AC +BD













因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下: 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 思考:同学们是否还有其它的解决办法? 还可用综合几何的方法证明这道题。 课堂小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问题, 建立直角坐标系的重要性。 课后练习 1.:证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 2.在直线 x-3y-2=0 上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。 3. (1994 全国高考)点(0,5)到直线 y=2x 的距离是—— 。 板书设计:略。 (五)教学反思:

3.3.3 两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式
三维目标: 知识与技能:1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;?? 能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 情感和价值:1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法:学导式 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程 ?一、情境设置,导入新课: 前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式, 两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这 一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置
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关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生思考一直 线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导? 两条直线方程如下:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
. 二、讲解新课: 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,直线=0 或 B=0 时,以上公式

Ax0 ? By 0 ? C
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A2 ? B 2

l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?
学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念,即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线段的 长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己熟 悉的问题。 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ, 垂足为 Q, PQ⊥ l 可 由

B 知,直线 PQ 的斜率为 (A≠0) ,根据点斜式写出直线 A PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标;由此根 据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为
d
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y

R d Q o S

P(x0,y0)

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x l

此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一 种方法
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方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点

R( x1 , y 0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y 2 ) ,
由?

? A1 x1 ? By 0 ? C ? 0 ? By0 ? C ? Ax0 ? C 得 x1 ? . , y2 ? A B ? Ax 0 ? By 2 ? C ? 0
Ax 0 ? By 0 ? C A

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax 0 ? By 0 ? C B
A2 ? B 2 ×| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: AB
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| RS |=

PR 2 ? PS 2 ?
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d ·|RS|=|PR|·|PS|
所以 d ?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2
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可证明,当 A=0 时仍适用 这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。 例 1 求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。
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解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 3 ?0
2 2

?

5 3

例 2 已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。 解:设 AB 边上的高为 h,则 S ? ABC =

1 AB ? h 2
2

AB ?

?3 ?1? ? ?1 ? 3?
2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。 AB 边所在直线方程为

y ? 3 X ?1 ? 1 ? 3 3 ?1
即 x+y-4=0。 点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h h=

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

5 , 2

因此,S ? ABC =

1 5 ?2 2? ?5 2 2

通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代 数运算解决几何问题的优越性。 同步练习:114 页第 1,2 题。 4.拓展延伸,评价反思。 (1) 应用推导两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2
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A2 ? B 2

证明: P0 ( x0 , y0 ) 是直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 上任一点, 设 则点 P0 到直线 Ax ? By ? C1 ? 0 的 距离为 d ?

Ax0 ? By 0 ? C1
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A ?B
2

2

又 Ax0 ? By0 ? C 2 ? 0 即 Ax0 ? By0 ? ?C 2 ,∴d=

C1 ? C 2
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A2 ? B 2

2 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离.
解法一:在直线 l1 上取一点 P(4,0),因为 l1 ∥ l 2
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例 3 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l 2 : ,所以点 P 到 l 2 的距离等于 l1 与 l 2 的距离.于是

d?

2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 10 2 2 ? 32

?

2 13

?

2 13 13

解法二: l1 ∥ l 2 又 C1 ? ?8, C 2 ? ?10 . 由两平行线间的距离公式得 d ?

? 8 ? (?10 ) 2 ?3
2 2

?

2 3 13

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四、课堂练习: 1, 已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直线过 点(2,3) ,求该直线方程。
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五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离 转化为点到直线的距离公式 六、课后作业: 13.求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 14.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值:
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15.已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
七.板书设计:略 (八)教学反思:
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C1 ? C 2
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A2 ? B 2

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第四章 圆与方程
错误!未找到引用源。4.1.1

圆的标准方程

三维目标:
知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的 标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的 能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和 兴趣。

教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程:
1、情境设置:
在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的 要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来 表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究:

2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。 (其中 a、b、r 都是 常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出)
2 2 P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r



化简可得: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2



6

4

A
2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为圆的方程,得出结论。
2 2 2

方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究
例(1) :写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M 1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是 否在这个圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

2 (1) ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) > r ,点在圆外
2 2

2 (2) ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) = r ,点在圆上
2 2

2 (3) ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) < r ,点在圆内
2 2

例(2) ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程 : 师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

可知,要确定圆的标准方

程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x ? y ? 1 ? 0 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上, 求圆心为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和

B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆
心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 (教师板书解题过程。 )

4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2) 、例(3)可得出 ? ABC 外接圆的标准 方程的两种求法: ①、 根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的 标准方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.

练习:课本 p127 第 1、3、4 题 提炼小结:
1、 2、 3、 圆的标准方程。 点与圆的位置关系的判断方法。 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业:课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题
(五)教学反思:

4.1.2 圆的一般方程
三维目标:
知识与技能 :
(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的 代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2 +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能

用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分 析解决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学 生创新,勇于探索。

教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知
条件确定方程中的系数,D、E、F.

教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教 具:多媒体、实物投影仪
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教学过程:
课题引入:
问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么 这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式—— 圆的一般方程。

探索研究:
请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a ? b ? r 得
2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
这个方程是圆的方程.



反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表

示圆?

2 2 (1)当 D +E -4F>0 时, 方程②表示 (1) D ? E ? 4F ? 0 时, 当 表示以 (2 2

E D , - ) 2 2

为圆心,

1 D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆; 2
2 2

(2) D ? E ? 4F ? 0 时, 当 方程只有实数解 x ? ? E ); 2

D E D ,y ? ? , 即只表示一个点 (- , 2 2 2

(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
2 2

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综上所述,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
2 2

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只有当 D ? E ? 4F ? 0 时, 它表示的曲线才是圆, 我们把形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的
2 2
2 2
2 表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y ? 4 2
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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数, 圆的方程就确定了. (3)、 与圆的标准方程相比较, 它是一种特殊的二元二次方程, 代数特征明显, 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心 及半径。

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一
2 2 般方程的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4 x ? 4 y ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 来说,这里的

9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4
例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条

件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
2 2

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解:设所求的圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵ A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的 方程,可以得到关于 D, E , F 的三元一次方程组,

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0
2 2
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∴所求圆的方程为: x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0

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r?

1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2
2 2

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得圆心坐标为(4,-3). 或将 x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程,( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ,从而求
2 2

出圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、 根据提议,选择标准方程或一般方程; ②、 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③、 解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。
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2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线段 AB 2

的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程

? x ? 1?

2

? y 2 ? 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条件,求出
M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

点 M 的轨迹方程。 解 : 设 点

3 ? x0 , y0 ? .由于点B的坐标是 ? 4,? 且M是线段AB的重点,所以
x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?
2



因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上 运 动 , 所 以 点 A 的 坐 标 满 足 方 程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 , 即
2

? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4 ? y0 2 ? 4


2

把①代入②,得

p130

? 2 x ? 4 ? 1?

2

? ? 2 y ? 3?

2

3? ? 3? ? ? 4, 整理,得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?

2

2

?3 3? 所以,点M的轨迹是以 ? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

课堂练习:课堂练习 p130 第 1、2、3 题 小结 : 1.对方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆)
2 2
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2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。
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课后作业: p130 习题 4.1 第 2、3、6 题 (五)教学反思:

4.2.1
一、教学目标 1、知识与技能

直线与圆的位置关系

(1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;

(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法 设 直 线 l : ax ? by ? c ? 0 , 圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆 的 半 径 为 r , 圆 心
(? D E , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: 2 2

(1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 3、情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想. 二、教学重点、难点: 重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 三、教学设想 问 题 设计意图 启发学生由图形 师生活动 师:让学生之间进行讨论、交流,

1.初中学过的平面几何中,直线 与圆的位置关系有几类?

获取判断直线与圆的 引导学生观察图形,导入新课. 位置关系的直观认 知,引入新课. 生:看图,并说出自己的看法.

2.直线与圆的位置关系有哪几种 呢?

得出直线与圆的

师:引导学生利用类比、归纳的思

位置关系的几何特征 想,总结直线与圆的位置关系的种类, 与种类. 问 题 设计意图 进一步深化“数形结合”的数学思想. 师生活动 生:观察图形,利用类比的方法, 归纳直线与圆的位置关系.

3.在初中,我们怎样判断直线与

使学生回忆初中

师: 引导学生回忆初中判断直线与

圆的位置关系呢?如何用直线与圆的 的数学知识,培养抽 圆的位置关系的思想过程. 方程判断它们之间的位置关系呢? 象概括能力. 生: 回忆直线与圆的位置关系的判 断过程.

4.你能说出判断直线与圆的位置 关系的两种方法吗?

抽象判断直线与

师: 引导学生从几何的角度说明判

圆的位置关系的思路 断方法和通过直线与圆的方程说明判 与方法. 断方法. 生:利用图形,寻找两种方法的数 学思想.

5.你能两种判断直线与圆的位置

体会判断直线与

师: 指导学生阅读教科书上的例 1. 生:新闻记者教科书上的例 1,并

关系的数学思想解决例 1 的问题吗?圆的位置关系的思想

方法,关注量与量之 完成教科书第 136 页的练习题 2. 间的关系. 6.通过学习教科书的例 1,你能 使学生熟悉判断 生:阅读例 1. 师;分析例 1,并展示解答过程;

总结一下判断直线与圆的位置关系的 直线与圆的位置关系 步骤吗? 的基本步骤.

启发学生概括判断直线与圆的位置关 系的基本步骤, 注意给学生留有总结思 考的时间. 生:交流自己总结的步骤. 师:展示解题步骤.

7.通过学习教科书上的例 2,你

进一步深化“数 指导学生阅读并完成教科书上的例 师:

能说明例 2 中体现出来的数学思想方 形结合” 的数学思想. 2,启发学生利用“数形结合”的数学 法吗? 思想解决问题. 生: 阅读教科书上的例 2, 并完成第 137 页的练习题. 问 题 设计意图 明确弦长的运算 师生活动 师: 引导并启发学生探索直线与圆

8.通过例 2 的学习,你发现了什 么?

方法.

的相交弦的求法. 生:通过分析、抽象、归纳,得出 相交弦长的运算方法.

9.完成教科书第 136 页的练习题 1、2、3、4.

巩固所学过的知

师:引导学生完成练习题. 生: 互相讨论、 交流, 完成练习题.

识,进一步理解和掌 握直线与圆的位置关

系. 10.课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考: (1)通过直线与圆的位置关系的判断,你学到了什么? (2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何求出直线与圆的相交弦长? 作业:习题 4.2A 组:1、3. (五)教学反思:

4.2.2
一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解圆与圆的位置的种类;

圆与圆的位置关系

(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长; (3)会用连心线长判断两圆的位置关系. 2、过程与方法 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; 3、情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想. 二、教学重点、难点: 重点与难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系. 三、教学设想





设计意图 结合学生已有知

师生活动 教师引导学生回忆、举例,并对学

1.初中学过的平面几何中,圆与 圆的位置关系有几类?

识以验,启发学生思 生活动进行评价;学生回顾知识点时, 考,激发学生学习兴 可互相交流. 趣.

2.判断两圆的位置关系,你有什 么好的方法吗?

引导学生明确两

教师引导学生阅读教科书中的相

圆的位置关系,并发 关内容, 注意个别辅导, 解答学生疑难, 现判断和解决两圆的 并引导学生自己总结解题的方法. 位置





设计意图 关系的方法.

师生活动 学生观察图形并思考, 发表自己的解题 方法.

3.例 3

培养学生“数形

教师应该关注并发现有多少学生

你能根据题目, 在同一个直角坐标 结合”的意识. 系中画出两个方程所表示的圆吗?你 从中发现了什么? 4.根据你所画出的图形,可以直

利用“图形”求,对这些学生应该给予 表扬.同时强调,解析几何是一门数与 形结合的学科.

进一步培养学生

师:启发学生利用图形的特征,用

观判断两个圆的位置关系. 如何把这些 解决问题、分析问题 代数的方法来解决几何问题. 直观的事实转化为数学语言呢? 的能力. 生:观察图形,并通过思考,指出

利用判别式来探 两圆的交点, 可以转化为两个圆的方程 求两圆的位置关系. 联立方程组后是否有实数根, 进而利用 判别式求解. 5.从上面你所画出的图形,你能 进一步激发学生 师: 指导学生利用两个圆的圆心坐

发现解决两个圆的位置的其它方法 探求新知的精神,培 标、半径长、连心线长的关系来判别两 吗? 养学生 个圆的位置. 生:互相探讨、交流,寻找解决问 题的方法,并能通过图形的直观性,利 用平面直角坐标系的两点间距离公式 寻求解题的途径.

6.如何判断两个圆的位置关系 呢?

从具体到一般地

师:对于两个圆的方程,我们应当

总结判断两个圆的位 如何判断它们的位置关系呢? 置关系的一般方法. 引导学生讨论、交流,说出各自的

想法,并进行分析、评价,补充完善判 断两个圆的位置关系的方法. 7.阅读例 3 的两种解法,解决第 137 页的练习题. 巩固方法,并培 师:指导学生完成练习题.

养学生解决问题的能 生:阅读教科书的例 3,并完成第 137 力. 页的练习题. 设计意图 得出两个圆的相 师生活动 师: 引导并启发学生相交弦所在直





8.若将两个圆的方程相减,你发 现了什么?

交弦所在直线的方 线的方程的求法. 程. 生:通过判断、分析,得出相交弦 所在直线的方程.

9.两个圆的位置关系是否可以转

进一步验证相交

师:引导学生验证结论. 生:互相讨论、交流,验证结论.

化为一条直线与两个圆中的一个圆的 弦的方程. 关系的判定呢? 10.课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考: (1)通过两个圆的位置关系的判断,你学到了什么?

(2)判断两个圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系? 作业:习题 4.2A 组:4、7. (五)教学反思:

4.2.3
一、教学目标 1、知识与技能

直线与圆的方程的应用

(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.

2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何 问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 3、情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题 的能力. 二、教学重点、难点: 重点与难点:直线与圆的方程的应用. 三、教学设想 问 题 设计意图 启发并引导学生 师生活动 师: 启发学生回顾直线与圆的位置

1.你能说出直线与圆的位置关系 吗?

回顾直线与圆的位置 关系,导入新课. 关系, 从而引入新课. 生:回顾,说出自己的看法.

2.解决直线与圆的位置关系,你 将采用什么方法?

理解并掌握直线

师:引导学生通过观察图形,回顾

与圆的位置关系的解 所学过的知识,说出解决问题的方法. 决办法与数学思想. 生:回顾、思考、讨论、交流,得

到解决问题的方法. 问 题 设计意图 指导学生从直观 师生活动 师: 指导学生观察教科书上的图形

3.阅读并思考教科书上的例 4,

你将选择什么方法解决例 4 的问题?认识过渡到数学思想 特征,利用平面直角坐标系求解. 方法的选择. 生: 自学例 4, 并完成练习题 1、 2. 师:分析例 4 并展示解题过程,启 发学生利用坐标法求, 注意给学生留有 总结思考的时间. 4.你能分析一下确定一个圆的方 程的要点吗? 使学生加深对圆 教师引导学生分析圆的方程中, 若

的方程的认识.

横坐标确定,如何求出纵坐标的值.

5.你能利用“坐标法”解决例 5 吗?

巩固“坐标法” ,

师: 引导学生建立适当的平面直角

培养学生分析问题与 坐标系, 用坐标和方程表示相应的几何 解决问题的能力. 元素,将平面几何问题转化为代数问 题. 生:建立适当的直角坐标系,探求 解决问题的方法.

6.完成教科书第 140 页的练习题 2、3、4.

使学生熟悉平面

教师指导学生阅读教材, 并解决课

几何问题与代数问题 本第 140 页的练习题 2、3、4.教师要 的转化,加深“坐标 注意引导学生思考平面几何问题与代 法”的解题步骤. 数问题相互转化的依据.

7.你能说出练习题蕴含了什么思 想方法吗?

反馈学生掌握

学生独立解决第 141 页习题 4.2A

“坐标法”解决问题 8 题,教师组织学生讨论交流. 第 的情况,巩固所学知 识.

8.小结: (1)利用“坐标法”解决问 问 题

对知识进行归纳 师:指导学生完成练习题. 概括,体会利 设计意图 用“坐标法”解决实 生:阅读教科书的例 3,并完成第 师生活动 教师引导学生自己归纳总结所学

题的需要准备什么工作?

(2)如何建立直角坐标系,才能 际问题的作用. 易于解决平面几何问题? (3)你认为学好“坐标法”解决 问题的关键是什么? (4) 建立不同的平面直角坐标系, 对解决问题有什么直接的影响呢? 作业:习题 4.2B 组:1、2. (五)教学反思:

过的知识, 组织学生讨论、 交流、 探究.


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