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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第7章 立体几何 第7节1]


[课堂练通考点] 1.已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面,底面 ABCD 为直角梯形,AD ∥BC,AB⊥BC,AD=AB=AA1=2BC,E 为 DD1 的中点,F 为 A1D 的中点.

则直线 EF 与平面 A1CD 所成角的正弦值为( 1 A. 3 2 C. 3 B. D. 3 3 6 3

)

解析:选 C ∵AB,AD,AA1 两两垂直,故以 AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AA1 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示,设 BC=1, 则 A(0,0,0), A1(0,0,2), C(2,1,0), D(0,2,0), E(0,2,1), F(0,1,1),FE =(0,1,0), A1 D =(0,2,-2), CD =(-2,1,0). 设平面 A1CD 的一个法向量为 n=(1,y,z),

? A1 D 2y-2z=0, ?n· 则? 故 n=(1,2,2), ?n· CD =-2+y=0, ?
则 sin θ=|cos〈n, FE 〉|=| =| 1×0+2×1+2×0 | |n|· | FE |

FE n·

2 |= , 4+4+1× 0+1+0 3

2 故直线 EF 与平面 A1CD 所成的角 θ 的正弦值为 . 3 2.(2013· 江苏高考)如图,在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中,AB⊥AC, AB=AC=2,A1A=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值. 解:(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,0), A1(0, 0,4), C1(0,2,4),

所以 A1 B =(2,0,-4), C1 D =(1,-1,-4).

A1 B · C1 D 因为 cos〈 A1 B , C1 D 〉= | A1 B || C1 D |
= 18 3 10 = , 10 20× 18

3 10 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 . 10 (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z),因为 AD =(1,1,0), AC1 =(0,2,4),所以

AD =0,n1· n1· AC1 =0,即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2,所以,n1
=(2,-2,1)是平面 ADC1 的一个法向量.取平面 ABA1 的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ. n1· n2 ? 由|cos θ|=? ?|n ||n |?=
1 2

2 2 5 = ,得 sin θ= . 3 3 9× 1 5 . 3

因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.如图所示,已知正方体 ABCD

A1B1C1D1,E,F 分别是正方形 )

A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心,则 EF 和 CD 所成的角是( A.60° C.30° B.45° D.90°

解析:选 B 以 D 为原点,分别以射线 DA,DC,DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐系系 D-xyz,设正方体的棱长为 1 1 ? 1? ?1 1 , 则 D(0,0 , 0) , C(0,1,0) , E ? ?2,2,1? , F ?2,0,2? , EF =

?0,-1,-1?, DC =(0,1,0), 2 2? ?
EF · DC 2 ∴ cos〈 EF , DC 〉= =- , 2 | EF || DC |
∴ 〈 EF , DC 〉=135° , ∴ 异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45° . 2.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所 ) 2 B. 3

成的锐二面角的余弦值为( 1 A. 2

C.

3 3

D.

2 2

解析: 选 B 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 1? 设棱长为 1,则 A1(0,0,1),E? ?1,0,2?,D(0,1,0), ∴ A1 D =(0,1,-1), 1? A1 E =? ?1,0,-2?, y-z=0, ? ? ? ?y=2, ? 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z),则? 1 ∴ ?z=2. 1 - z = 0 , ? ? 2 ? ∴ n1=(1,2,2).∵ 平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1), 2 2 ∴ cos〈n1,n2〉= = . 3× 1 3 2 即所成的锐二面角的余弦值为 . 3 3.(2013· 安徽六校联考)在三棱锥 P ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90° ,D,E, F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正 弦值为( 1 A. 5 C. 5 5 ) 2 5 B. 5 2 D. 5

解析:选 C 以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由 AB=AC=1,PA=2,得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), 1 ? ?1 1 ? ? 1 ? D? ?2,0,0?,E?2,2,0?,F?0,2,1?, 1 ? ? 1 1 ? ∴PA =(0,0,-2), DE =? ?0,2,0?, DF =?-2,2,1?.设平面 DEF 的法向量为 n

? n· DE =0, =(x,y,z),则由? DF =0 ?n·
?y=0, ? 得? ?-x+y+2z=0, ?

| PA · n| 5 取 z=1,则 n=(2,0,1),设 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ,则 sin θ= = ,∴ PA | PA ||n| 5

与平面 DEF 所成角的正弦值为

5 ,故选 C. 5 ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,且 BC

4.(2014· 昆明模拟)如图,在四棱锥 P

⊥平面 PAB,PA⊥AB,M 为 PB 的中点,PA=AD=2.若 AB=1,则二面角 BACM 的余弦 值为( A. C. 6 6 2 6 ) B. 3 6

1 D. 6

解析:选 A ∵BC⊥平面 PAB,AD∥BC,∴AD⊥平面 PAB,PA⊥AD, 又 PA⊥AB,且 AD∩AB=A, ∴PA⊥平面 ABCD. 以点 A 为坐标原点,分别以 AD,AB,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A xyz.

1 ? 则 A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),M? ?0,2,1?, 1 ? ∴ AC =(2,1,0), AM =? ?0,2,1?, 求得平面 AMC 的一个法向量为 n=(1,-2,1), 又平面 ABC 的一个法向量 AP =(0,0,2), ∴cos〈n, AP 〉= 2 1 6 = = = . 6 6 1+4+1· 2 |n|· | AP | 6 . 6 A1B1C1, CA=CC1

AP n·

∴ 二面角 BACM 的余弦值为

5.如图所示, 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC

=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为________. 解析: 不妨令 CB=1, 则 CA=CC1=2.可得 O(0,0,0), B(0,0,1), C1(0,2,0), A(2,0,0),B1(0,2,1), ∴ BC1 =(0,2,-1), AB1 =(-2,2,1),

BC1 · AB1 ∴cos〈 BC1 , AB1 〉= | BC1 || AB1 |
= 4-1 1 5 = = >0. 5 5× 9 5

∴ BC1 与 AB1 的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角, ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 5 . 5

答案:

5 5

6.如图,在正四棱锥 S ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点, 且 SO=OD, 则直线 BC 与平面 PAC 所成角为________. 解析:如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O 设 OD=SO=OA=OB=OC=a, a a? 则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P? ?0,-2,2?. a a? 则 CA =(2a,0,0), AP =? ?-a,-2,2?, CB =(a,a,0). 设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1), n CB · a 1 则 cos〈 CB ,n〉= = = . 2 2a · 2 2 | CB ||n| ∴〈 CB ,n〉=60° , ∴直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90° -60° =30° . 答案:30° 7.(2013· 全国课标卷Ⅰ)如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 解:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° ,故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交 线为 AB,所以 OC⊥平面 AA1B1B,故 OA,OA1,OC 两两相互垂直. 以 O 为坐标原点, | OA |为单位长, OA 的方向为 x 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0). xyz.

则 BC =(1,0, 3), BB1 = AA1 =(-1, 3,0), A1C =(0,- 3, 3). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,

? BC =0, ?n· ?x+ 3z=0, 则? 即? ?x+ 3y=0. BB1 =0. ? ?n·

可取 n=( 3,1,-1). 故 n, A1C = 10 =- . 5 |n|| A1C | 10 . 5 n· A1C

所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

8.(2013· 合肥一模)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是直角 梯形,其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求二面角 EBDA 的余弦值. 解:(1)证明:如图 1,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF 綊 CD, 所以四边形 BCDF 为平行四边形, 所以 DF∥BC. 在△PAB 中,PE=EA,AF=FB, 所以 EF∥PB. 因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, 所以平面 DEF∥平面 PBC. 因为 DE?平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC. (2)取 AD 的中点 O,BC 的中点 N,连接 ON,OP,则 ON∥AB. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2,所以 PO⊥AD,PO= 3. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 如图 2,以 O 为坐标原点,分别以 OA,ON,OP 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0, 0, 3),B(1,4,0),所以 DB =(2,4,0). 1 3 3 3 因为 E 为 PA 的中点,所以 E? ,0, ?,故 DE =? ,0, ?. 2? 2? ?2 ?2 易知 PO =(0,0,- 3)为平面 ABD 的一个法向量. 设平面 EBD 的法向量为 n=(x,y,z), 2x+4y=0, ? ?n⊥ DB , ? 由? 得?3 3 ? ?n⊥ DE , ?2x+ 2 z=0, 令 y=-1,则 x=2,z=-2 3,

所以 n=(2,-1,-2 3)为平面 EBD 的一个法向量. n 2 51 PO · 所以 cos〈 PO ,n〉= = . 17 | PO |· |n| 设二面角 E π? BD A 的大小为 θ,由图可知 θ∈? ?0,2?, 2 51 A 的余弦值为 . 17

2 51 所以 cos θ= ,即二面角 E BD 17 第Ⅱ卷:提能增分卷

π π 1.(2013· 湖北八校联考)如图, 在△AOB 中, 已知∠AOB= , ∠BAO= , 2 6 AB=4,D 为线段 AB 的中点.△AOC 是由△AOB 绕直线 AO 旋转而成,记 二面角 B AO C 的大小为 θ.

(1)当平面 COD⊥平面 AOB 时,求 θ 的值; 2π (2)当 θ= 时,求二面角 B OD 3 C 的余弦值.

解:(1)如图,在平面 AOB 内过 B 作 BE⊥OD 于 E, ∵平面 AOB⊥平面 COD,平面 AOB∩平面 COD=OD, ∴BE⊥平面 COD,∴BE⊥CO. 又∵CO⊥AO, ∴CO⊥平面 AOB,∴CO⊥BO. ∵BO⊥AO,CO⊥AO, ∴二面角 BAOC 的平面角为∠BOC, π 即 θ= . 2 (2)如图,以 O 为原点,在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x 轴, OB, OA 所在的直线分别为 y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 O 则 A(0,0,2 3),B(0,2,0),D(0,1, 3),C( 3,-1,0). 设 n1=(x,y,z)为平面 COD 的法向量, 由? xyz,

?n1· OC =0,

? 3x-y=0, 得? ?y+ 3z=0. OD =0, ?n1·

取 z=1,则 n1=(-1,- 3,1). 又平面 AOB 的一个法向量为 n2=(1,0,0),设二面角 BODC 的大小为 α, -1 5 n 1· n2 则 cos α= = =- . |n1|· |n2| 5 1+3+1 故二面角 BODC 的余弦值为- 5 . 5

2.(2013· 郑州模拟)如图,正三棱柱 ABC ∈R) 1 (1)当 λ= 时,求证:AB1⊥平面 A1BD; 2 (2)当二面角 A

A1B1C1 的所有棱长都为 2, CD =λ CC1 .(λ

π A1D B 的大小为 时,求实数 λ 的值. 3

解:(1)证明:取 BC 的中点为 O,连接 AO, 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 CBB1C1,且△ABC 为正三角形,所 以 AO⊥BC,AO⊥平面 CBB1C1. 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz, 则 A(0,0, 3),B1(1,2,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3),B(1,0,0). 所以 AB1 =(1,2,- 3),

DA1 =(1,1, 3), DB =(2,-1,0).
因为 AB1 · DB =2-2=0, DA1 =1+2-3=0, AB1 · 所以 AB1⊥DA1,AB1⊥DB,又 DA1∩DB=D, 所以 AB1⊥平面 A1BD. (2)由(1)得 D(-1,2λ,0),所以 DA1 =(1,2-2λ, 3), DB =(2,-2λ,0), DA =(1, -2λ, 3). 设平面 A1BD 的法向量 n1=(x,y,z),平面 AA1D 的法向量 n2=(s,t,u),

? DA1 =0, ?n1· λ-2 由? 得平面 A1BD 的一个法向量 n1=(λ,1, ); 3 ? DB =0, ?n1·
同理可得平面 AA1D 的一个法向量 n2=( 3,0,-1), n1· n2 ? 1 1 由|cos〈n1,n2〉|=? = ,解得 λ = ,即为所求. |n2|? 2 ?|n1|· 4 3.(2014· 天津十二区县联考)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB ⊥AC,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB=AC=A1B=2. (1)证明:平面 A1AC⊥平面 AB1B; (2)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (3)若点 P 为 B1C1 的中点, 并求出二面角 PABA1 的平面角的余弦 值. 解:(1)证明:∵A1B⊥平面 ABC,∴A1B⊥AC, 又 AB⊥AC,AB∩A1B=B,∴AC⊥平面 AB1B, ∵AC?平面 A1AC,∴平面 A1AC⊥平面 AB1B.

(2)以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则 C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),C1(2,2,2),

AA1 =(0,2,2), BC = B1C1 =(2,-2,0),
BC AA1 · -4 1 cos〈 AA1 , BC 〉= = =- , 2 8· 8 | AA1 |· | BC |
π 故 AA1 与棱 BC 所成的角是 . 3 (3)因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P(1,3,2). 设平面 PAB 的法向量为 n1=(x,y,z), 则?

?n1· AP =0,
AB =0, ?n1·

由?

? AP =?1,3,2?, ? AB =?0,2,0?,



? ?x+3y+2z=0, ? 令 z=1,则 n1=(-2,0,1 ), ?2y=0, ?

而平面 ABA1 的法向量 n2=(1,0,0), n1· n2 2 2 5 则 cos〈n1,n2〉= =- =- . |n1||n2| 5 5 由图可知二面角 PABA1 为锐角, 2 5 故二面角 PABA1 的平面角的余弦值是 . 5



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