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龙桂仲 全等三角形判定定理SAS第一课时


衡阳县中科实验学校 龙桂仲

一、温故知新:
回顾:1、什么样的两个三角形叫全等三角形?

答:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 2、全等三角形有哪些性质? 答:1.全等三角形的对应边相等 2.对应角相等。
想想:

3、下列两个三角形是否全等?
A A′

B<

br />
C

B′

C′

( 通过图形的平移可知两个三角形是全等的 )

再想:4、再看下列两个三角形是否全等? B' A A' A'


O

B B'

( 通过图形的旋转可知两个三角形是全等的 ) 回顾: 5、图形在平移和旋转的变换过程中有什么共 同性质? (图形的形状和大小都没有发生改变)

下面我们就利用平移和旋转的知识来探讨 三角形全等的判定方法㈠:边角边定理!

二、讲授新课:
问题: 如果在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',∠B=∠B', BC=B'C',那么△ABC和△A'B'C'全等吗?
探究㈠:
⑴、如果△ABC和△A'B'C'的位置关系如图①所示,则两个三 角形全等吗? A A'

旋转演示:
C'

(B')

. B

C C'

思考: 能否通过图 形旋转试试



A'

(图①)

探究㈡: ⑵、如果△ABC和△A'B'C'的位置关系如图②所示,则两个三 角形全等吗? A A' C'

变换演示: 变换演示:

B' B



C C'

A'

B'

思考:

能否通过图形的 平移和旋转试试


(图②)

1、如图,已知两条线段和一个角,以这两条线段为边,以这个角为

这两条边的夹角,画一个三角形.
3cm 4cm 45°

把你所画的三角形剪下来与其他同学所画的三角形进行比较,我 们能发现什么? 画法: 1.画∠MAN= 45° 2.在射线AM上截取AB= 4cm 3.在射线AN上截取AC=3cm
A 3cm 45° 4cm C N

4.连接BC
∴△ABC就是所求的三角形

B

M

结论:三角形全等

三角形全等的判定方法(1):

这是一个 公理。

边角边定理; 有两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。简记为SAS(或边角边).

几何语言:
在△ABC与△DEF中 ∵ AB=DE ∠B=∠E BC=EF
A B D E F C

∴△ABC≌△DEF(SAS)

1、根据题目条件,判断下面的三角形是否全等. (1)AC=DF,∠C=∠F, BC=EF (全等)

(2)BC=BD,∠ABC=∠ABD
B A C (1)
E

(全等) C

F D A B

(2)

D

例1 如图,在△ ABC中,AB=AC,AD平分∠ BAC,
求证: △ABD ≌ △ACD
证明: ∵AD平分∠BAC (已知) (角平分线的定义) ∴∠BAD=∠CAD 在△ABD与△ACD中, AB=AC (已知) ∠BAD=∠CAD (已证) AD=AD (公共边) ∴△ABD≌△ACD (S.A.S.)
B D C A

例 2: 如右图,AB和CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO,求证:
△ACO ≌ △BDO。

分析: 在 △ ACO 和 △ BDO 中 :

A

D

A O = B O (已知) ∠AOC=∠BOD ( 从图上 o 可知: 它们是对顶角, 且 我们又知道对顶角相等 ) C B C O = D O (已知) 所以, △ACO与△BDO全等。 可见: 该题中的两个三角形满足边角边定理所叙述的内容,即有两边 全等。 在△ACO和△BDO中: 证明: 和它们的夹角对应相等,因此这两个三角形 AO = BO (已知) ∵ ∠AOC =∠BOD (对顶角相等) CO = DO (已知)



△ACO ≌ △BDO

(SAS)

自主探究
⑵边-边-角 剪一个三角形,使它的两边长分别为6cm、10cm, 且6cm所对的角为45°,情况又怎样?

M D
6cm 10cm

C A

45°

6cm

6cm

10cm

B

结论:两边及其一边所对的角相等,两 个三角形不一定全等.

如图,下列哪组条件不能判定△ABC≌△DEF( D )

AB=DE
A、∠A=∠D AC=DF AC=DF C、∠C=∠F BC=EF

AB=DE
B、∠B=∠E BC=EF AC=DF B

A

C D

D、∠B=∠E
BC=EF

E

F

三、学以致用
例 3:如右下图,正在修建的某高速公路要通过一座大山,现要从这座山中挖一条隧道,
为了预算这条隧道的造价,必须知道隧道的长度,即这座山 A、B两处的距离,你能想 出一个办法,测出AB的长度吗? 分析: 要想直接测出AB的长度是不可能的,怎么办? 我 们应在大山外的开阔地选择一合适的地点O,使得从点 O可以到达A 、B两处,并测出AO与BO的长度。 连结 AO并延长AO至A' ,使OA'=OA ; 连结BO并延长BO 至B',使OB'=OB ,再连结A'B',然后只需证 A'B'=A B,问题就解决了。显然我们根据边角边定理易证 △A' B'O≌△ABO,再根据全等三角形的性质可得出 : A B A'B'=AB。





如右图,确定点O,使点O可以到达A与B两点。 解:

连结AO并延长AO至A' ,使OA'=OA;连结B O并延长BO至B', 使OB'=OB;再连结A'B'。 B' 在△AOB和△A'OB'中: OA=OA' ∵ ∠AOB=∠A'OB' OB=OB' ∴ △AOB≌△A'OB' (SAS) ∴ A'B'=AB (全等三角形的对应边相等) 因此,测出A'B'的长度就是这座大山A处与B处的距离。

O .



. A'

练习
如下图,已知AB=AC,其中E,F分别是AC,AB的中点。小明说:“线段 BE和CF相等。” 你认为他说得对吗?为什么?

A

F B

E C

四、课堂小结:
1、本节课我们主要运用了平移、旋转和轴对称等知识推导出了判 定三角形全等的一种方法:边角边定理(SAS); 2、边角边定理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三
角形全等;

3、证明时的每一个步骤要做到有根有据,特别注意的是全等三角
形的对应顶点一定要书写在对应的位置上。

五、课堂练兵:
1、如下图,用两根钢条AA'和BB' , 在中点O处连在一起做成的工具(卡 钳)测量工件内槽的宽度(或齿轮的厚度)。 只要量出A'B'的长,就得出 工件内槽宽度(或齿轮的厚度)AB 。这是根据什么道理呢?

A
O B

B'

A'

先根据边角边定理可证得△AOB≌△A'OB'后,再根据全等三角形对 应边相等的性质得出A'B'=AB 。 2、如下图,已知AD∥BC,AD=BC,那么△ADC和△CBA是全等三角形 吗?

A

D

B

C

谢谢!!!


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