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《1.1.3导数的几何意义》教学案


《1.1.3导数的几何意义》教学案 教学目标: 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 教学重点: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点: 导数的几何意义. 教学过程: 新课讲授 ( 一)曲线的切线及切线的斜率:如图 3. 1-2 ,当 P n ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4)沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PPn 的变化趋势是什么? 我们发现,当点 P n 沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线 PP n 趋近于确定的位置,这 个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题:⑴割线 PP n 的斜率 kn 与切线PT的斜率 k 有什么关系? ⑵切线PT的斜率 k 为多少? k ? 容易知道,割线 PP n 的斜率是 n f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P n 沿着曲线无限接近点P时, xn ? x0 ?x ?0 kn 无限趋近于切线PT的斜率 k ,即 k ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x 说明:(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δ x→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的 切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. 2)要根据割线是否有极限位置来判断与 (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲 线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. (二)导数的几何意义: 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ?x ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. (二)导函数: 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么, 当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作: f ?( x ) 或 y? , 即: f ?( x) ? y? ? lim ?x ?0 f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x 注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (三)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数 之间的区别与联系。[来 源:Zxxk.Com] (1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) , 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的 极限,它是一个常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数. ' (3)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值, 这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法

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