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2008年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛


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中 等 数 学

2008 年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛
2 008

1. 设

3 x + i 2 2

= f ( x) + i g ( x)

( f ( x ) , ( x ) 均为实系数多项式 ) . 则 f ( x ) 的

g 系数之和是 ( ) .

(A ) -

3 3 1 1 (B ) ( C ) - (D ) 2 2 2 2 6 = x 的根的个数为

2. 方程 10 sin x +
( ) .

(A ) 8 (B ) 7 (C) 6 (D ) 5 3. 六个家庭依次编号为 1, , , , ,. 2 3 4 5 6

每家三人 , 大家一起聚会做游戏 , 游戏按每组 三人依次进行 . 那么 , 同一组的成员来自不同 家庭的概率为 ( ) . 5 15 45 5 (A ) (B ) (C) (D ) 68 68 68 204 3 2 4. 已知 f ( x ) = ax + x + x + d 满足 a, d 为实数 , 当 | x | ≤1 时 , | f ( x ) | ≤1. 则 a, 一 d 定属于 ( ) . (A ) [ - 2, 0 ] (B ) [ 0, 2 ] ( C ) [ - 1, 0 ] (D ) [ 0, 1 ] 5. 设 A = { x | 1 ≤x ≤9, x Z} ,
11 ≤ ( a + 39 d ) < a + 26 d, 18

矛盾 . 因此 , 只有 b = m - 1, c = n - 1, 即 a + 26 d, a + 27 d, …, a + 39 d 中至多有一个不能 m l k n 表示成 2 + 3 或者 2 + 3 的形式 . 所以 , 这 14 个数中至少有 13 个可以写 m l k n 成 2 + 3 或者 2 + 3 的形式 . 由抽屉原理 , 至少有 7 个数可表示为同 一种形式 . 下面分两种情形 . m l ( 1 ) 有 7 个数可表示成 2 + 3 的形式 . m l m l m l 设它们为 2 + 3 1 , 2 + 3 2 , …, 2 + 3 7 l1 l2 l7 ( l1 < l2 < … < l7 ) . 则 3 , 3 , …, 3 是某个公 差为 d 的 14 项等差数列中的 7 项 . 但

B = { ( a, b) | a, b A}, 定义 B 到 Z 的映射 f: ( a, b) ab - a - b .
f

则满 足 ( a, b ) 11 的 有 序 数 对 共 有 ( ) 对 . (A ) 4 (B ) 6 ( C) 8 (D ) 12 6. 若实数 x, 满足 y 2 2 ( x - 3 ) + 4 ( y - 1 ) = 4, x +y - 3 则 的最大值和最小值是 ( ) . x - y +1 (A ) 1, 0 (B ) 0, - 1 1 1 ( C ) 1, - 1 (D ) , 2 2 二, 填空题 (每小题 9 分 ,共 54 分 ) 7. 设 S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和 , S17 = 170, a2 000 = 2 001. 则 S2 008 = . 2 8. 设 z是复数 ,且 | z | = 1. 则 u = | z - z + 1 | 的最大值与最小值是 . 9. 已知函数 2 f ( x ) = cosθ + cos θ ·sin θ 的最小正 x x x 周期为
2
. 则 θ ( x ) 的最大值是 f .

13 d ≥3 7 - 3 1 ≥ 3 l l l l

5

1 3

×2 3
l

> 13 ( 3 2 - 3 1 ) ≥13 d,

矛盾 .

( 2 ) 有 7 个数可表示成 2 + 3 的形式 .
k n k n k n

k

n

设它们为 2 1 + 3 , 2 2 + 3 , …, 2 7 + 3 k k k ( k1 < k2 < … < k7 ) . 则 2 1 , 2 2 , …, 2 7是某个 公差为 d 的 14 项等差数列中的 7 项 . 但 1 5 k k k 13 d ≥2 7 - 2 1 ≥ 2 × 2 2 2 k k > 13 ( 2 2 - 2 1 ) ≥13 d, 矛盾 . 综上 , 假设不成立 . 故原题得证 . (朱华伟 提供 )

2009 年第 7 期

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x

10. 已知 x 为正整数 , 3 的末两位数构成 一个质数 . 则最接近 2 008 的 x 的两个值是
.

11. 设 a,为正整数 , 且 ab + a - b - 5 = 0. b 2 2 2 2 若 M =max ( a + b ) , 则满足 3 x + 2 y ≤M 的 整点 ( x, y ) 的个数为 . 12. 在半径 为 R 的 球 的 所 有 外 切 圆 锥 中 , 全面积最小的圆锥的全面积是 . 三, 解答题 (每小题 20 分 , 共 60 分 ) 13. 斜率为 1 的直线交 x 轴于点 C, 与以 x 轴为对称轴 , 开口向右且过点 ( - 1, 1 ) 的抛

3. D. 从 18 个人中选出 3 人 , 不同的选法共有 18 × × 17 16 3 C18 = = 816 (种 ) . 3× × 2 1

物线交于点 A, , | AB | = 5 2, 点 C 与抛物线 B 4 顶点的距离为 . 求抛物线的方程 . 3 14. 若实数 x,,满足 x + 3 y + 2 z = 6, 解 y z 2 2 不等式 x + 9 y - 2 x - 6 y + 4 z≤8. 15. 一个 20 行若干列的 0, 1 数阵满足 : 各列互不相同且任意两列中同一行都取 1 的 行数不超过 2. 求当列数最多时 , 数阵中 1 的 个数的最小值 .

参考答案
, C. 一 1. 取 x = 1, 则
2 008

3 1 + i 2 2

= f ( 1) + i g ( 1)
2 008

2. B.

由正 弦 函 数 的 性 质 , 同 时 可 绘 出 y =
10 sin x + 6

注意到 3
6

可知 , 两条曲线有 7 个交点 .

] ]

cos cos

6 6

+ i sin + i sin

6
4

= f ( 1) + i g ( 1) = f ( 1) + i g ( 1)

6

] cos 2 + i sin 2 = f ( 1 ) + i g ( 1 ) 3 3 = 1 3 + i . 2 2

和 y = x 的示意图 .
6 < 10 < 3 -

+ 及 2 -3

-3

< 10 <

6

-

2

,

因为一个家庭的三个人编号是相同的 , 所以 , 为使所选的组员编号不同 , 应先从 6 个 3 编号中选取 3 个号 , 有 C6 种选法 , 而对每一 个编号再选人 , 又有 3 种选择 . 因此 , 选出的 小组成员来自不同家庭的选法种数为 6× × 5 4 3 3 3 3 C6· = 3 × = 5 × × = 540. 3 4 3 3× × 2 1 故一个小组的三个成员来自不同家庭的 概率为 3 2 540 5 × × 4 3 5× 3 45 = = = . 816 3 × × 17 16 17 × 68 4 4. A. 由条件 , 将 x = 1, - 1 分别代入 f ( x ) 得 | a + 1 + 1 + d | ≤1 和 | - a + d | ≤1, 即 - 1 ≤a + 2 + d ≤1 和 - 1 ≤ - a + d ≤1 或 - 3 ≤a + d ≤ - 1, ① - 1 ≤ - a + d ≤1. ② ① + ② - 4 ≤2 d ≤0, 即 - 2 ≤d ≤0. 得 类似可得 - 2 ≤a ≤0. 5. A. f ( a, b) = ab - a - b = 11 ] ab - a - b + 1 = 12 ] ( a - 1) ( b - 1) = 2 × = 3 × = 1 × 6 4 12 ] ( a - 1, b - 1 ) = (2, 6) , (6, 2) , (3, 4) , (4, 3) , (1, 12) , (12, 1). 解得符合题设条件的有序数对为 ( a, b) = ( 3, 7 ) , ( 7, 3 ) , ( 4, 5 ) , ( 5, 4 ) . 注意到 ( 2, 13 ) 和 ( 13, 2 ) 不符合题意 , 舍 去. 6. C. x = 3 + 2cosθ , 设 则 y = 1 + sin θ . x + y - 3 2cosθ + sin θ + 1 t= = . x - y + 1 2cosθ - sin θ + 3 上式可化为 ( 2 t - 2 ) cosθ - ( t + 1 ) sin θ + 3 t - 1 = 0. 由万能公式得 θ 2θ ( t + 1) tan - 2 ( t + 1) tan + 5 t - 3 = 0. 2 2 当 t≠ - 1 时 ,

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中 等 数 学

1 Δ = ( t + 1 ) 2 - ( t + 1 ) ( 5 t - 3 ) ≥0. 4 所以 , - 1 < t≤1. 当 t = - 1 时 , 解得 cosθ = - 1 有意义 . 二 , 12 019 044. 7 17 ( a1 + a17 ) 17 ( a9 + a9 ) 由 S17 = = 2 2 = 17 a9 = 170, 得 a9 = 10. 2 008 ( a1 + a2 008 ) 2 008 ( a9 + a2 000 ) 则 S 2 008 = = 2 2 2 008 ( 10 + 2 001 ) = = 2 019 044. 2 813, 0. 2 2 u = | z - z + 1 | = | z - z + zz | = | z ( z + z - 1) | = | z | | ( z + z - 1) | =1 × ( x + y i + x - y i - 1) | | = | 2 x - 1 |. 因为 | z | = 1, 所以 , - 1 ≤x ≤1. 故 u 的最大值是 3, 最小值是 0. 9. 1 + 2.
f ( x) =

注意到

1 1 ( 1 + cos 2 x ) + sin 2 x θ θ 2 2 1 1 θ θ = + ( cos 2 x + sin 2 x ) 2 2 = 1 2 θ + sin 2 x + . 4 2 2

因此 , f ( x ) 的最小正周期为 故有
2 = ] θ = 2. θ 2 2

2

.

于是 ,θ ( x ) 的最大值是 1 + 2. f 1012 008 和 2 009. 20 计算可知 3 ≡1 ( mod 100 ) . 故 2 008 20 100 8 3 = (3 ) × ≡61 ( mod 100 ) . 3 因为 61 是质数 , 所以 , x = 2 008 为符合 要求的一个数 . 2 007 20 100 7 由 3 = (3 ) × ≡87 ( mod 100 ) 及 3 2 009 20 100 9 3 = (3 ) × ≡83 ( mod 100 ) , 知 87 为 3 合数 , 83 为质数 , 因此 , x = 2 009 为符合要求 的另一个数 . 11117. 由 ab + a - b - 5 = 0

] b ( a - 1 ) + ( a - 1 ) - 4 = 0. 若 a = 1 ] b + 1 - b - 5 = 0 ] 1 - 5 = 0, 矛 盾 , 故 a ≠1. 当 a ≠1 时 , 由 4 4 b +1 = 0] b = - 1. a- 1 a- 1 考虑 a - 1 = ± , ± , ± , 即只能考虑 1 2 4 ( a, b) = ( 0, - 5) , ( 2, 3) , ( 3, 1) , ( 5, 0) . 从而 , 符合题意的有序数对 ( a, b ) 为 ( 2, 3 ) , ( 3, 1 ) . 故 M =m ax ( 13, 10 ) . 2 2 考虑椭圆 3 x + 2 y = 13 上及内部的整 点: x = 0, 共 5 个整点 . y = 0, ± , ± , 1 2 x = ±, ±, 1 2 共 4 个整点 . y = 0, 因此 , 椭圆内数轴上有 9 个整点 . 对于在椭圆内但不在数轴上的整点 , 只 需考虑第一象限的情况 . 由对称性即可求得全部 ( x, y ) = ( 1, 1 ) , ( 1, 2 ) , 有两个整点 , 于是 , 四个象限有 4 × 2 2 2 = 8 个整点 . 从而 , 椭圆 3 x + 2 y = 13 上及内 部共有 17 个整点 . 2 12. 8 R . 如 图 1, 设 x = AH 是外切圆锥的底 面圆半径 , CH 是它的 高 , S 是它的全面积 . 则 2 S = x + xAC 2 图 1 = x + x· ( CD + x ) . 2 2R x 由 △CDO △CHA ,得 CD = 2 2. 故 x - R 2 4 2R x 2 x S = x x +x + 2 = 2 2 2 x - R x - R 当 ] 1 = x - R = 1 2 1 - R2 4 S x 2 x 2 x
2 2 ] 2 R = R2 1 - R2 . 2 2 2 2

S

x

x

R R 2 R 取得 2 = 1 2 ,即 x = 2R 时 , S x x

2

2

2

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33

最大值

1 2 . 故 S 有最小值 8 R . 4

2z + 2d + 4z = 2 z - 12 z + 18 + 2 d - 12 + 8 z = 2z - 4z + 2d + 6 = 2 ( z - 1 ) + 2 d + 4.
2 2 因此 , 2 ≥ ( z - 1 ) + d . 2 故 | d | ≤ 2 - ( z - 1) , 1 - 2≤z≤ 2 + 1. 2 2 2 2 2 2

三 , 设所求的抛物线方程为 13. 2 y = p ( x - q) ( p > 0 ) . 则顶点是 ( q, 0 ) . 由抛物线过点 ( - 1, 1)有 1 = p ( - 1 - q). 设直线方程为 y = x - c. 则它与 x 轴的交 点为 C ( c, 0 ) . 从而 , 4 4 4 | c - q| = ] c = q + , c = q - . 3 3 3 4 4 若 c = q + , 将 x = y + q + 代入抛物 3 3 4 2 线方程得 y = p y + . 3 由此得到点 A, 的纵坐标为 B
y1, 2

x = 3 - z + d,

注意到

y =2 -

2 1 则有 zx. 3 3

1 - 2 ≤z≤ 2 + 1, 3 - zy =2 2 2 - ( z - 1 ) ≤x ≤3 - z + 2 2 - ( z - 1) ,

2 1 z - x. 3 3 2 1 z x, 3 - z 3 3
2 2 - ( z - 1) ,

因此 , 解集为
( x, y, z ) y =2 -

16 p± p + p 3 = . 2
2

于是 , A, 两点间的距离为 B
2 ( y1 - y2 ) =
2

2 2 - ( z - 1) ≤ x ≤ 3 - z +

5 2 = | AB | =
2

2 p +

2

16 p , 3

1 - 2 ≤z≤ 2 + 1 . 15. 对于满足条件的列数最大的一个数

即 3 p + 16 p - 75 = 0.

25 (舍去 ) . 解得 p = 3 或 p = 3

阵 , 如果这个数阵中某一列 1 的个数超过 3 个 , 那么 , 就保留其中任意 3 个 1, 其余的都 变成 0, 这样就会得到一个列数相同并且仍 然满足要求的一个新数阵 . 如果这个新数阵 中还有 1 的个数超过 3 的列 , 则重复上述过 程 , 最后可以得到一个列数最多 , 且每列中 1 的个数最多为 3 的满足要求的数阵 , 它的列 数最多为 1 + C20 + C20 + C20 . 另一方面 ,构造一个满足要求的数阵如 下 : 它包括没有 1 的列以及所有互不相同的 只有一个 1 的列 , 个 1 的列和 3 个 1 的列 . 2 由上可知这个数阵的列数是最多的 ,同时 ,在 满足要求的列数最多的所有数阵中 , 该数阵 中的 1 是最少的 . 此数阵的列数为 1 + C20 + C20 + C20 , 此 数阵中 1 的个数是
C20 + 2C20 + 3C20 = 20 + 380 + 3 420 = 3 820. (傅龙骧 提供 )
1 2 3 1 2 3 1 2 3

于是 ,所求抛物线的方程之一为 4 2 2 y =3 x + 或 y = 3 x + 4. 3 4 同样 ,对于 c = q , 可得 p = - 3 (舍 3 25 去 ) 或 p = . 得到满足要求的另一方程为 3 28 25 2 2 x+ y = 或 3 y = 25 x + 28. 25 3 14. 由 x + 3 y + 2 z = 6, 有 x + 3 y = 2 ( 3 - z) . 从而 x, - z, y 成等差数列 . 3 3 x = 3 - z + d, 设 则 3 y = 3 - z - d. 2 2 8 ≥x + 9 y - 2 x - 6 y + 4 z 2 2 = [ ( 3 - z) + d ] + [ ( 3 - z) - d ] 2 ( 3 - z + d) - 2 ( 3 - z - d) + 4z 2 2 = 2 ( 3 - z) + 2 d - 6 + 2 z - 2 d - 6 +

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