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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(六)附答案


湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(六) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 ) 1.已知复数 m 满足 m ? 2 . 设 f ( x) ? 为 . 3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 的是 . 4 .已知 O 是锐角△ ABC 的外心, AB ? 6, AC ?

10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且 1 1 ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m . ? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f ( x) 的 值 域 6 4 2 2 S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15 2 x ? 10y ? 5 ,则 cos ?BAC ? . 5.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别 是棱 A1D1 和 CC1 的中点.则四面体 O ? MNB1 的体积为 . 6.设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} ,且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件 的 ( A, B, C ) 共有 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. ) 7 . 设 y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 则 | y | 的 最 小 值 为 . 8.设 p 是给定的正偶数,集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2 p p ?1 , x ? 3m, m ? N}的所有元素的 和是 . 二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 ) 9 . 设 数 列 {an }(n ? 0) 满 足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? 1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2 m, n ? N, m ? n . (1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明: 1 1 1 ? ??? ?1. a1 a2 a2009 10.求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21的正整数解的组数. 11.已知抛物线 C: y ? 1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点, 2 过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; 12.设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明: a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(六) 详细解答 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 ) 1.已知复数 m 满足 m ? 2 . 设 f ( x) ? 1 1 ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m 0 . ? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f ( x) 的 值 域 为 6 4 2 2 3 [2, 2 ] 4 . 3.

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