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吉林省白城一中2016届高三下学期4月阶段测试文数试题Word版含答案.doc


数学文科试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 z ? A. 1 ? 2i

2i ? i 3 (i 为虚数单位)的共轭复数为( ) i ?1
B. 1 ? 2i C. i ? 1 D. 1 ? i

2.已知集合 A ? ?0,1?, B ? z z ? x ? y, x ? A, y ? A ,则 B 的子集个数为( ) A. 8 B. 3 C. 4 D. 7

?

?

3.设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象向左平移 一个可能取值为( ) A.

? 个单位,所得的函数关于 y 轴对称,则 ? 的 8
D. ?

3? 4

B.

? 4

C. 0

?
4
m ?( ) n

5.已知向量 a ? (2,3),b ? (?1,2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线,则 A.

1 2

B. 2

C.-

1 2

D. ? 2

6.设函数 f ( x) ? ? A. 3

?1 ? log2 (2 ? x), x ? 1, f (?2) ? f (log2 12) ? ( ) 2 x?1 , x ? 1, ?
C. 9 D. 12

B. 6

7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A. a ? 13 B. a ? 12 C. a ? 11

23 ,则( ) 12
D. a ? 10

? x ? 2 y ? 0, ? 8.设 z ? x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 若 z 的最大值为 6 ,则 z 的最小值为( ) ? 0 ? y ? k, ?
A. ? 3 B. ? 2 C. ? 1 D. 0

9.如图为某几何体的三视图,则其体积为( ) A.

2? ?4 3

B.

2? ? 4 3

C.

?
3

?4

D. ? ?

4 3

10.已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 8) x ? a ? a ?12 ,且 f (a ? 4) ? f (2a ? 8) ,设等差数列
2 2 2

?an ?的前 n 项和为 Sn (n ? N ? ) ,若 Sn ? f (n) ,则 Sn ? 4a 的最小值为(
an ? 1
A.



27 6

B.

35 8

C.

14 3

D.

37 8

11.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若对任意 x ? [a, b] ,都有

f ( x) ? g ( x) ? 10成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 是 [a, b] 上的“密切函数”,区间 [a, b] 称为 f ( x)
和 g ( x) 的“密切区间”.若 f ( x) ? x ? 2 x ? 7, g ( x) ? x ? m 在 [2,3] 上是“密切函数” ,则
3

实数 m 的取值范围是( ) A. [15,??) B. (??,19] C. [15,19) D. [15,19]

12.已知点 A 是抛物线 x 2 ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点, P 在抛物线 上且满足 PA ? m PB ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A, B 为焦点的双曲线上,则双曲 线的离心率为( ) A.

5 ?1 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 1

D . 5 ?1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.在 ?ABC 中角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 3b sin A ? c cos A ? a cos C ,则

sin A ? ___.
14.圆 C 与圆 ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为_______. 15.已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) ? _______. 16.已知在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD, CD ? AD, AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 ,将直角梯形

1 2

ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 D ? ABC ,当三棱锥 D ? ABC 的体积取最大值时,其外接球
的体积为______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? k (2n ?1) ,且 a3 ? 8 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和的 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了验证这个结论, 从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20 ) , 给所有同学几何题和代数题各一题, 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位:人) 几何题 代数题 总计

男同学 女同学 总计

22 8 30

8 12 20

30 20 50

(1)能否据此判断有 97 .5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5-7 分钟,乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6-8 分钟,现甲、乙同时各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率; (3) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 求甲、 乙两名女生至少有一人被选中的概率. 附表及公式:

P(k 2 ? k )
k
2

0.15 2072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 k ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
19.(本小题满分 12 分) 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,沿平面 A1 ACC1 将正方体分成两部分,其中一部分如图所示, 过直线 A1C 的平面 A1CM 与线段 BB1 交于点 M . (1)当 M 与 B1 重合时,求证: MC ? AC1 ; (2)当平面 A1CM ? 平面 A1 ACC1 时,求平面 A1CM 分几何体所得两部分体积之比.

20.(本小题满分 12 分) 已知边长为 8 3 的正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线

C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 上.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)已知圆过定点 D(0,2) ,圆心 M 在抛物线 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A, B 两点, 设 DA ? DB ,求

DA DB

的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)当 a ? 2 时, ①讨论函数 f ( x) 的单调性; ②求证: 2 ln x ? x ? (2)证明: ( x ? 1)( e

1 1 ? 2. x 2x

x2 3 ?? ; 2 2
?x

? x) ? 2 ln x ?

2 . 3

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,AC 、BD 交于点 Q , AC 平分 ? DAB , AP 为梯形

ABCD 外接圆的切线,交 BD 的延长线于点 P .
(1)求证: PQ ? PD ? PB ;
2

(2)若 AB ? 3, AP ? 2, AD ?

4 ,求 AQ 的长. 3

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t , (t为参数) ,在以 O 为极点,x 轴 ? y ? ? 2 ? t,

的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ? ? (1)求曲线 C1 、 C2 的直角坐标方程;

2 1 ? 3 sin 2 ?

.

(2)若 A、B 分别为曲线 C1 、 C2 上的任意点,求 AB 的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?1 ? 2x ?1 . (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若 ?x ? R ,不等式 f ( x) ? a x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年度下学期高三 4 月阶段测试 数学文科试题答案
一、选择题 BAABC 二、填空题 13. 三、解答题 17.(1) an ? 2n ; (2) Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 . 18.解: (1)由表中数据得 K 的观测值 K ?
2

CCADD

DC 15. 2 16.

1 3

14. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

4? 3

2

50? (22?12 ? 8 ? 8) 2 50 ? ? 5.556 ? 5.024 , 30? 20? 30? 20 9

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” ,则满足的区域为 x ? y ,

1 ? 1? 1 1 1 ∴ P( A) ? 2 ? ,即乙比甲先解答完的概率为 . 8 2? 2 8 13 (3) 28
19.(1)证明:连接 C1B ,在正方形 B1BCC1 中, BC1 ? B1C , 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 平面 B1BCC1 ,

B1C ? 平面 B1BCC1 ,∴ AB ? B1C ,∴ B1C ? 平面 ABC1 ,
∴ BC1 ? AC1 ,即 MC ? AC1 . (2)解:当 M 为 B1B 中点时,取 A1C , AC 中点分别为 N , P ,连接 MN , NP, PB ,

∵ MB ∥ A1 A ∥ NP ,且 MB ? NP ?

1 A1 A , 2

∴四边形 MBPN 为平行四边形,∵ MN ∥ PB , ∴平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC ,∵ PB ? AC , ∴ BP ? 平面 A1 ACC1 ,∴ MN ? 平面 A1 ACC1 , ∴平面 MA 1C ? 平面 A 1 ACC 1. 设 AB ? a ,∴ V三棱柱 A1B1C1 - ABC ? S ?ABC ? AA1 ? ∴ V四棱锥 A1 ? MCC1B1 ?

1 3 a , 2

1 1 ? S四边形 MCC1B1 ? A1 B1 ? a 3 , 3 4

∴ V四棱锥C-MBAA :V四棱锥A ?MCC B ? 1:1. 1 1 1 1 20.(1) x 2 ? 4 y ; (2) 2 ? 1 .

a 1 1 ax2 ? x ? 1 21.解: (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,又 f ?( x) ? ? 2 ? 3 ? , x x x x3
当 a ? 2 时, f ?( x) ?

(2 x ? 1)( x ? 1) , x3

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , ∴ f ( x) 在区间 (0,1) 内单调递减,在区间 (1,??) 内单调递增, ∴ f ( x ) min ? f (1) ?

3 1 1 3 1 x2 3 , 2 ln x ? ? 2 ? ,即 2 ln ? x ? ? , 2 x 2x 2 x 2 2

x2 3 x2 ?x ? ? .令 g ( x) ? ( x ? 1)e ? ? 2 x, x ? 0 , ∴ 2 ln x ? x ? 2 2 2
而 g ?( x) ? (2 ? x)(e ∴ ( x ? 1)e
?x

?x

g ( x) g ( x) 取得最大值, 易知 x ? 2 时, 即 g ( x) ? g (2) ? ? 1) ,

1 ?2. e2

?

x2 x2 1 3 2 ? 2 x ? 2 ln x ? x ? ? 2 ln x ? ( x ? 1)(e ? x ? x) ? 2 ? 2 ? ? . 2 2 e 2 3

22.解: (1)∵ PA 为圆的切线,∴ ?PAD ? ?ABD ,∵ AC 平分 ? DAB ,∴

?BAC ? ?CAD ,
∴ ?PAD ? ?DAC ? ?BAC ? ?ABC ,∴ ?PAQ ? ?AQP ,∴ PA ? PQ ,∴ PA 为圆的 切线,

∴ PA ? PD ? PB ,∴ PQ2 ? PD ? PB .
2

9 PA PB ? ,∴ PB ? , 2 AD AB 8 8 10 2 ∵ PA ? PD ? PB ,∴ PD ? ,∴ AQ ? DQ ? PA ? PD ? 2 ? ? . 9 9 9
(2)∵ ?PAD ~ ?PBA ,∴ 23.(1) C1 : x ? 2 y ? 3 2 ? 0, C2 :

x2 ? y2 ? 1. 4
2 cos? ? 2 sin ? ? 3 2 5 2 2 cos(? ? ) ? 3 2 4 , ? 5

?

(2)设 B(2 cos? , sin ? ) ,则 AB ?

当且仅当 ? ? 2k? ?

?
4

( k ? Z ) 时, AB min ?

2 10 . ? 5 5

24.(1) ? x x ? 0或x ?

? ?

4? ?. 3?

(2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 2, a x ? 0 ,原式恒成立; 当 x ? 0 时,原式等价转换为 1 ?

1 1 1 1 . ? 2 ? ? a 恒成立,即 a ? 1 ? ? 2 ? x x x x min

∵ 1? 立,

1 1 1 1 1 1 1 当且仅当 (1 ? )( 2 ? ) ? 0 即 ? x ? 1 时等号成 ? 2 ? ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? 1, x x 2 x x x x

∴ a ?1.


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