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江苏省南京市2013-2014学年度高二第一学期期末调研数学(理)试题(含答案)


南京市 2013-2014 学年度第一学期高二期末调研

数学卷(理科)
注意事项:

2014.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试 卷满分为 100 分,考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级

、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在 ... 答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.命题“?x∈N,x2≠x”的否定是 ▲ . ▲ ▲ . .

2.在平面直角坐标系 xOy 中,焦点为 F(5,0)的抛物线的标准方程是 3.已知 a,b∈R,a+bi=(1+2i)(1-i) (i 为虚数单位),则 a+b 的值为 x+1 4.记函数 f(x)= 的导函数为 f ?(x),则 f ?(1)的值为 x ▲ .

?x+y-4≤0, ? 5.已知实数 x,y 满足约束条件?x-y≥0, 则 z=x+2y 的最大值为 ? ?y≥0,





6.记命题 p 为“若?=?,则 cos?=cos?” ,则在命题 p 及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命 题的个数是 ▲ .

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 x±2y=0,则该双曲 线的离心率为 ▲ .

8.如图,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是矩形,AB=4,AA1=3, ?? ?BAA1=60?,E 为棱 C1D1 的中点,则 AB ? AE = ▲ .
A A1 D

D1

E B1 C B

C1

(第 8 题图)

9.已知函数 f(x)=ex-ax 在区间(0,1)上有极值,则实数 a 的取值范围是 ? 10. “a=1”是“函数 f(x)=x+acosx 在区间(0, )上为增函数”的 2 ▲





条件(在“充要” 、 “充

分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分又不必要”中,选择适当的一种填空) .

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11.已知圆柱的体积为 16? cm3,则当底面半径 r=



cm 时,圆柱的表面积最小.

x2 y2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x-y-1=0,x-y+1=0 4 3 与椭圆分别相交于点 A,B,C,D,则 AF+BF+CF+DF= ▲ .
y O x

13.定义在 R 上的函数 y=f(x)的图像经过坐标原点 O,且它的导函数 y=f ?(x)
(第 13 题图)

的图像是如图所示的一条直线,则 y=f(x)的图像一定不经过第 14.已知 A 是曲线 C1:y=



象限.

a (a>0)与曲线 C2:x2+y2=5 的一个公共点.若 C1 在 A 处的切线 x-2 ▲ .

与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 8 分) 已知 m∈R,设 p:复数 z1=(m-1)+(m+3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限, q:复数 z2=1+(m-2)i 的模不超过 10. (1)当 p 为真命题时,求 m 的取值范围; (2)若命题“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围.

16. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-2x-3 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 x+y+a=0 与圆 C 交于 A,B 两点,且 AB=2,求实数 a 的值.

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17. (本题满分 10 分) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2,AA1=a,E,F 分别为 AD,CD 的中点. (1)若 AC1⊥D1F,求 a 的值; (2)若 a=2,求二面角 E-FD1-D 的余弦值.
A1 D E A (第 17 题图) F B

D1 B1

C1

C

18. (本题满分 10 分) 已知某商品的进货单价为 1 元/件,商户甲往年以单价 2 元/件销售该商品时, 年销量为 1 万件, 今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为 x 元/件(1≤x ≤2),今年新增的年销量 (单位:万件)与(2-x)2 成正比,比例系数为 4. ...... (1)写出今年商户甲的收益 y(单位:万元)与今年的实际销售单价 x 间的函数关系式; (2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年 收益更多)?说明理由.

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19. (本题满分 10 分) 已知函数 f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中 a≥0. (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

20. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的顶点 B、C 的坐标为 B(-2,0),C(2,0),直线 AB,AC 1 的斜率乘积为- ,设顶点 A 的轨迹为曲线 E. 4 (1)求曲线 E 的方程; (2)设曲线 E 与 y 轴负半轴的交点为 D,过点 D 作两条互相垂直的直线 l1,l2,这两条直线与 S 曲线 E 的另一个交点分别为 M, N. 设 l1 的斜率为 k(k≠0), △DMN 的面积为 S, 试求 ∣k∣ 的取值范围.

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南京市 2013-2014 学年度第一学期高二期末调研 数学参考答案及评分标准(理科)
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1.?x∈N,x2=x 6.2 11.2 2.y2=20x 7. 5 2 3.4 8.14 13.1 4.-1 9.(1,e) 14.2 5.6 10.充分不必要.

2014.01

12.8

二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解(1)因为复数 z1=(m-1)+(m+3)i 在复平面内对应的点在第二象限,
?m-1<0, 所以? ?m+3>0.

解得-3<m<1,即 m 的取值范围为(-3,1). (2)由 q 为真命题,即复数 z2=1+(m-2)i 的模不超过 10, 所以 12+(m-2)2≤ 10,解得-1≤m≤5. 由命题“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题

?????? 3 分

?????? 5 分

?p为真命题, ?p为假命题, ?-3<m<1, ?m≤-3或m≥1, 得? 或 ? 所以? 或? ?q为假命题, ?q为真命题. ?m<-1或m>5, ?-1≤m≤5,

即-3<m<-1 或 1≤m≤5. 所以 m 的取值范围为(-3,-1)∪[1,5]. ?????? 8 分

16.解 (1)曲线与 y 轴的交点是(0,-3).令 y=0,得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. 即曲线与 x 轴的交点是(-1,0),(3,0). 设所求圆 C 的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ?????? 2 分

?9-3E+F=0, ? 则?1-D+F=0, 解得 D=-2,E=2,F=-3. ?9+3D+F=0, ?
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所以圆 C 的方程是 x2+y2-2x+2y-3=0. (2)圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=( 5)2, 所以圆心 C(1,-1),半径 r= 5. |1+(-1)+a| |a| 圆心 C 到直线 x+y+a=0 的距离 d= = . 2 2 所以( |a| 2 ) +12=( 5)2,解得 a=±2 2 . 2

?????? 5 分

?????? 7 分 1 由于 d2+( AB)2=r2, 2 ?????? 10 分

17.解 如图,以 D 为坐标原点,DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴,建立坐标系. (1)由题意得 A(2,0,0),D1(0,0,a),C1(0,2,a),F(0,1,0). A1 故AC1=(-2,2,a),D1F=(0,1,-a).
? ? ? ?

z D1 D B F1

C
1

?? 2 分
x A

E

C

y

B ( 第 17 题

因为 AC1⊥D1F,所以AC1·D1F=0,即(-2,2,a)·(0,1,-a)=0. 图) 从而 2-a2=0,又 a>0,故 a= 2. ?????? 5 分

(2)平面 FD1D 的一个法向量为 m=(1,0,0). 设平面 EFD1 的一个法向量为 n=(x,y,z), 因为 E(1,0,0),a=2,故EF=(-1,1,0),D1F=(0,1,-2). 由 n⊥EF,n⊥D1F,得-x+y=0 且 y-2z=0,解得 x=y=2z. 故平面 EFD1 的一个法向量为 n=(2,2,1). ?????? 8 分
? ? ? ?

m·n (1,0,0)·(2,2,1) 2 因为 cos<m,n>= = = ,且二面角 E-FD1-D 的大小为锐角, |m|·|n| 3 1×3 2 所以二面角 E-FD1-D 的余弦值为 . 3 ?????? 10 分

18.解 (1)由题意知,今年的年销售量为 1+4(x-2)2 (万件). 因为每销售一件,商户甲可获利(x-1)元,所以今年商户甲的收益 y=[1+4(x-2)2](x-1) =4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2). ?????? 4 分 (2)由(1)知 y=4x3-20x2+33x-17,1≤x≤2, 从而 y′=12x2-40x+33=(2x-3)(6x-11). 3 11 令 y′=0,解得 x= ,或 x= .列表如下: 2 6 x f ′(x) f(x) 3 (1, ) 2 + 递增 3 2 0 极大值 3 11 ( , ) 2 6 - 递减 11 6 0 极小值 11 ( ,2) 6 + 递增 ?????? 7 分

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3 又 f( )=1,f(2)=1,所以 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 1(万元). 2 而往年的收益为(2-1)×1=1(万元), 所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益. ?????? 10 分 19.解(1)当 a=0 时,f(x)=-2x+4lnx, 4 从而 f ′(x)=-2+ ,其中 x>0. x 所以 f ′(1)=2. 又切点为(1,-2), 所以所求切线方程为 y+2=2(x-1),即 2x-y-4=0. (2)因为 f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,
2 4 2ax -(4a+2)x+4 2(ax-1)(x-2) 所以 f ′(x)=2ax-(4a+2)+ = = ,其中 x>0. x x x

?????? 2 分

?????? 4 分

2(x-2) ①当 a=0 时,f ′(x)=- ,x>0. x 由 f ′(x)>0 得,0<x<2,所以函数 f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞); ?????? 6 分 1 1 1 ②当 0<a< 时,因为 >2,由 f ′(x)>0,得 x<2 或 x> . 2 a a 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,2)和( ,+∞);单调减区间为(2, ); a a ?????? 8 分 (x-2) 1 ③当 a= 时,f ′(x)= ≥0,且仅在 x=2 时,f ′(x)=0, 2 x 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,+∞); 1 1 1 ④当 a> 时,因 0< <2,由 f ′(x)>0,得 0<x< 或 x>2, 2 a a 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0, )和(2,+∞);单调减区间为( ,2). a a 综上, 当 a=0 时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞); 1 1 1 当 0<a< 时,f(x)的单调增区间是(0,2)和( ,+∞),减区间为(2, ); 2 a a 1 当 a= 时,f(x)的单调增区间是(0,+∞); 2
2

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1 1 1 当 a> 时,f(x)的单调增区间是(0, )和(2,+∞),减区间为( ,2). 2 a a ?????? 10 分 20.解(1)设顶点 A 的坐标为(x,y),则 kAB= y y ,k = , ???? 2 分 x+2 AC x-2 x2 即 +y2=1. (或 x2+4y2=4). 4 ?????? 4 分

1 y y 1 因为 kAB?kAC=- ,所以 ? =- , 4 4 x+2 x-2 所以曲线 E 的方程为 x2 2 +y =1(x≠±2) . 4

(2)曲线 E 与 y 轴负半轴的交点为 D(0,-1). 4k2-1 x2 8k 因为 l1 的斜率存在,所以设 l1 的方程为 y=kx-1, 代入 +y2=1,得 M( , ), 4 1+4k2 1+4k2 从而 DM=

(

2 8∣k∣ 1+k2 8k 2 4k -1 2 ) + ( + 1 ) = . ?????? 6 分 1+4k2 1+4k2 1+4k2

8 1+k2 1 用- 代 k 得 DN= . k 4+k2
2 2 1 8∣k∣ 1+k 8 1+k 所以△DMN 的面积 S= ? ? 2 2 2 1+4k 4+k

32(1+k2)∣k∣ = . (1+4k2)(4+k2) 则 32(1+k2) S = , ∣k∣ (1+4k2)(4+k2)

?????? 8 分

1 因为 k≠0 且 k≠± ,k≠±2,令 1+k2=t, 2 5 则 t>1,且 t≠ ,t≠5, 4 S 32t 32t 从而 = = 2 = ∣k∣ (4t-3)(t+3) 4t +9t-9 32 9 9+4t- t ,

9 9 11 9 91 因为 4t- >-5, ,且 4t- ≠- ,4t- ≠ . t t 5 t 5 9 9 34 9 136 所以 9+4t- >4 且 9+4t- ≠ ,9+4t- ≠ , t t 5 t 5 从而 即 S S 80 S 20 <8 且 ≠ , ≠ , ∣k∣ ∣k∣ 17 ∣k∣ 17 ?????? 10 分

S 20 20 80 80 ∈(0, )∪( , )∪( ,8). 17 17 17 17 ∣k∣

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