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南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案


南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案 南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案
一、 单项选择题(每题 3 分,共 15 分) 1、B. 2、D. 3、A. 4、A. 5、C.

二、 选择题(每空 3 分,共 15 分)

1、1.

2、 xf x 2 .

( )

3、 ∫π3 dθ ∫
4

π

2 sec θ

0

f (r )rdr .

4、8 π .

5、 a .

三、求由方程 x 2 + y 3 xy = 0 所确定的函数 y = y ( x ) 在 (0,+∞ ) 内的极值,并判断是极大值 还是极小值.

对 x 2 + y 3 xy = 0 两边求导得 2 x + 3 y 2 y′ ( y + xy′ ) = 0 ,

y′ =

y 2x , 3y2 x
1 8 1 . 4

令 y′ = 0 得 y = 2 x ,代入原方程解得 x = , y =

y′′

1 1 x= , y= 8 4

=

( y′ 2 ) ( 3 y 2 x ) ( y 2 x )( 6 yy′ 1)

(3 y

2

x)

2

1 1 x = , y = , y′ = 0 8 4

= 32<0. 故当 x =

1 1 时, y 取极大值 . 8 4

第 1 页 共 6页

x+ y u 2 u 四、 设 u = arctan ,求 , . 1 xy x x 2

u = x

1 x+ y 1+ 1 xy
2

1 xy + ( x + y ) y

(1 xy )

2

=

1 , 1+ x2

2x 2u = 2 x 1+ x2

(

)

2

.

五、 计算曲线积分 I = ∫

L

xdy ydx ,其中 L 是以点(1,0)为中心, R 为半径的圆周 4x2 + y 2

R > 0, R ≠ 1 ,取逆时针方向.

P ( x, y ) =

y x P y 2 4x 2 Q , Q ( x, y ) = , 当 ( x, y ) ≠ (0,0) 时, = = 2 2 2 2 2 y x 4x + y 4x + y 4x 2 + y 2

(

)

当 0 < R < 1 时 (0,0 ) D ,由格林公式知, I = 0 .

ε x = cos θ 当 R > 1 时, (0,0 ) ∈ D ,作足够小的椭圆曲线 C : , θ 从 0 到 2π . 2 y = ε sin θ
当 ε > 0 充分小时, C 取逆时针方向,使 C D ,于是由格林公式得 ∫
L +C

xdy ydx = 0, 4x2 + y 2

因此 ∫

xdy ydx xdy ydx = ∫C 2 2 L 4x + y 4x2 + y 2


=∫

0

1 2 ε 2 dθ

ε2



第 2 页 共 6页

六、设函数 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 内具有连续的导数,且满足

f (t ) = 2 ∫∫ x 2 + y 2 f
D
2π t

(

)

(

x 2 + y 2 dxdy + t 4 ,

)

其中 D 是由 x + y = t 所围成的闭区域,求当 x ∈ (0,+∞ ) 时 f ( x ) 的表达式.
2 2 2

f ( t ) = 2∫ dθ ∫ r 2 f ( r ) rdr + t 4
= 4π 两边对 t 求导得

∫ r f ( r ) dr + t
3 0

0 t

0

4

,

f ′ ( t ) = 4π t 3 f ( t ) + 4t 3 ,且 f ( 0 ) = 0 ,

这是一个一阶线性微分方程,解得

f (t ) =


(e π
1

π t4

1 .

)

七、设 a n = ∫

0

∞ 1 1 x sin x dx ,求级数 ∑ a n+1 n =1 a n nπ

的和.

令 x = nπ t , 则 a n = ∫

0

(nπ t ) sin t dt
nπ 0

= nπ ∫

sin t dt a n .

an =

nπ 2





0

sin t dt

=

n 2π 2



π

0

sin t dt =

n 2π 2



π

0

sin tdt = n 2π .
1 1 . n n +1
1 1 , n +1

1 1 1 = an an +1 π

n 1 1 n 1 1 1 1 Sn = ∑ =∑ = a ak +1 k =1 π k k +1 π k =1 k 1 1 1 S = lim 1 = n →∞ π π n +1

第 3 页 共 6页

八、设 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上连续且单调增加,试证:对任意正数 a , b ,恒有

∫a xf (x )dx ≥ 2 b ∫0 f (x )dx a ∫0 f (x )dx .
b

1

[

b

a

]

令 F ( x) = x 则 F ′( x) =
x 0

∫ f ( t )dt ,
x 0
b x

∫ f ( t )dt + xf ( x ) , F ( b ) F ( a ) = ∫ F ′ ( x )dx = ∫ ∫ f ( t )dt + xf ( x ) dx
b a
a 0

≤ ∫ xf ( x ) + xf ( x ) dx a
b

=2 于是



b

a

xf ( x )dx ,



b

a

xf ( x )dx ≥

b a 1 1 F ( b ) F ( a ) = b ∫ f ( x ) dx a ∫ f ( x ) dx . 2 0 0 2

九、设 (u, v ) 具有连续偏导数,由方程 ( x az, y bz ) =0 确定隐函数 z = z ( x, y ) ,求

a

z z +b . x y

z z + 2′ i b = 0 , x x z z 两边对 y 求偏导得 1′ i a + 2′ i 1 b = 0 , y y z 1′ z 2′ = , = , x a1′ + b 2′ x a1′ + b 2′
两边对 x 求偏导得 1′ i1 a

a

z z + b =1. x y

第 4 页 共 6页

十、设 x n = 2 n

1 1



1 2



1 n
k

,判别数列 {xn }的敛散性.

定义 x0 = 0 ,令 uk = xk xk 1 ,则

∑u
k =1

n

= xn ,

当 n ≥ 2 时, un = xn xn 1 = 2 n

1 2 n 1 , n

=

2 n + n 1



1 n n 1 = = n n n + n 1 n

(

)

(

1 n + n 1

)

2

.

un 1 = , n →∞ 1 4 n n ∞ ∞ 1 由∑ 可知 ∑ un 收敛,从而 {xn }收敛. n =1 n n n =1 十一、设半径为 r 的球面 Σ 的球心在球面 Σ 0 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R > 0 ) 上,问当 r 为何 lim
值时,球面 Σ 在球面 Σ 0 内部的那部分面积最大?
2

由对称性可设 Σ 的方程为 x 2 + y 2 + ( z R ) = r 2 ,球面 Σ 被球面 Σ 0 所割部分的方程为

z = R r 2 x2 y2 , z x z y = , = , x r 2 x 2 y 2 x r 2 x2 y2
z z 1+ + = x 2
2 2

r r 2 x2 y2

.

球面 Σ 与球面 Σ 0 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程为 x 2 + y 2 = r 2

r4 ,令 4R2

r4 l= r 2 4R
2

所求曲面面积为 S ( r ) =

∫∫
D

2π l rρ z z 1 + + dxdy = ∫ dθ ∫ dρ , 0 0 x 2 r2 ρ 2 2 2

= 2π r r



r2 . 2R

令 S ′ ( r ) = 0 得驻点 r = 容易判断当 r =

4 R, 3

4 R 时,球面 Σ 在球面 Σ 0 内部的那部分面积最大. 3

第 5 页 共 6页

十二、 (本题满分 8 分) 注:科技学院考生只作第 1 题, 其他考生只作第 2 题. 1.计算 I = ∫

L

( x 1)

x2 + y2
2

+y

2

ds ,其中曲线弧 L 为: x 2 + y 2 = 2 x , y ≥ 0 .
(1)

y = 2x x2 , 1 x y′ = , 2 2x x

ds = 1 + y′2 dx =
将(1)、(2)代入 I = ∫

1 2x x2

dx ,

(2)

L

( x 1)2 + y 2
2

x2 + y2

ds 得 dx

I = ∫0 2 x
= 2∫ =4. 2.计算曲面积分 I =
2 0

1 2x x 2

1 dx 2 x
3 3 2

被平面 z = 0 所截出部分的上侧. 记 Σ 1 为 xoy 平面上被园 x 2 + y 2 = 1 所围成的部分的下侧, 为由 Σ 与 Σ 0 围成的空间闭 区域.由高斯公式知
3

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ

1) dxdy ,其中 ∑ 是曲面 z = 1 x 2 y 2

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ Σ
3

2

+

1) dxdy = ∫∫∫ 6 ( x 2 + y 2 + z ) dv

1 1 r
2

1

=6





0 1

dθ ∫ dr ∫
0

0

( z + r ) rdz
2

= 12π

2 1 r (1 r 2 ) + r 3 (1 r 2 ) dr ∫0 2

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ
3 3
1

=2 π .

2

1) dxdy =

∫∫
x 2 + y 2 ≤1

3dxdy =3 π

I = 2π 3π = π

第 6 页 共 6页



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