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辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学下学期第四次模拟考试试题 理


沈阳二中 2015-2016 学年度下学期第四次模拟考试 高三(16 届)数学理科试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上. 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 若复数 z 满足 ? 3 ?

4i ? z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( A. ?4 B. ? ) D.

4 5

C. 4

4 5

2 2. 已知集合 M ? x x ? 1 ? 1 , N ? x y ? log 2 ( x ? 1) ,则 M ? N ? (

?

?

?

?



A. ?1, 2?

B. (??,?1) ? ?0,???

C. ?? ?,0? ? (1,??)

D. (??,?1) ? ?0 ,2? )

3. 已知向量 a , b 满足 | b |? 4 , a 在 b 方向上的投影是

A. ?2 B. 2 C. 0 2 2 4. 命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否命题为( A.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0
2 2

1 ,则 a ?b = ( 2 1 D. 2
)

B.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 D.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 )

C.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0
2 2

5. 已知 log 1 a ? log 1 b ,则下列不等式一定成立的 是(

A.

1 1 ? a b

B. ? ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b

C. ln ? a ? b? ? 0

a ?b D. 3 ? 1

6. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有女不善织,日减功迟, 初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天 少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( ) A. 30 尺 B. 90 尺 C. 150 尺 D. 180 尺 7. 已 知 l 是 双 曲 线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的 一 条 渐 近 线 , P 是 l 上 的 一 点 , F1 , F2 是 C 的 两 个 焦 点 , 若 2 4
)

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 0 ,则 P 到 x 轴的距离为(
A.

2 3 3

B.

2

C. 2

D.

2 6 3

8.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( ) m / / ? , n ? ? , m ? n m / / ? , n ? ? , m ? n ? ? ? A. 若 ,则 B. 若 ,则 ? / / ? C. 若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ? ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ? 9. 设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 的图像在点 (t , f (t )) 处切线的斜率为 k ,则函数 k ? g (t ) 的 图像为
-1-

A B C 10. 用随机模拟的方法估计圆周率π 的近似值的程序框图如右图 所示, P 表示输出的结果, 则图中空白处应填( )

D

M 100 N C. P ? 100
A. P ?

B. P ?

M 600 N D. P ? 100
(第 10 题图)

11. 设集合 M ? {( x, y) | ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1, x, y ? R},

N ? {( x, y) | x ? y ? c ? 0, x, y ? R} , 则 使 得
的实数 c 的取值范围是( A. [? 2 ?1, ??) 12.定义在 (0, ) C. [ 2 ? 1,??) D. (??,? 2 ? 1]

M ?N ?M

B. (??, ? 2 ?1]

?
2

) 上的函数 f ( x) , f ?( x ) 是它的导函数,恒有 f ( x) ? f ?( x)tanx 成立,则( )
?
B. f (1) ? 2 f ( ) ? sin1 6

A. 3 f ( ) ? 2 f ( ) 4 3 C. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

D. 3 f ( ) ? f ( ) 6 4 6 3 第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. 已知的展开 (1 ? 2 x) 式中所有项的系数和为 m ,则
5

?

?

?

?

?

2

1

xm dx ?

.

P 、 Q 分别是棱 A1B1 和 B1C1 的中点,则点 A1 到平面 APQ 的 14. 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 8 ,
距离为 . 15.以下命题正确的是 ① 函数 y ? 3sin(2 x ? ② 函数 f ( x) ? x ? .

?

? ) 的图象向右平移 个单位,可得到 y ? 3sin 2 x 的图象; 3 6

a ( x ? 0) 的最小值为 2 a ; x

③某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门, 则不同的选法共有 30 种;
2 ④ 在某项测量中,测量结果ξ 服从正态分布 N(2, ? ) (? ? 0 ) .若ξ 在 ? ??,1? 内取值的概率为 0.1,

则ξ 在(2,3)内取值的概率为 0.4. 16. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , S1 ? 6,S2 ? 4,Sn ? 0, 且 S2n , S2n?1, S2n?2 成 等 比 数 列 ,

S2n-1 , S2n?2,S2n?1 成等差数列,则 a2016 等于

.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) , C所 对 的 边 分 别 为 a, b , c, 已 知 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B
-2-

a?b a?c ,b ? 3 . ? sin( A ? B ) sin A ? sin B
3 ,求 ?ABC 的面积. 3 18. (本小题满分 12 分) 根据某水文观测点的历史统计数 据, 得到某河流水位 X (单位: 米) 的频率分布直方图如下: 将 河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的概率,并假设每 年河流水位互不影响.
(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 sin A ? (Ⅰ)求未来三年,至多有 1 年河流水位 X ? [27,31) 的概率 (结果用分数表示) ; (Ⅱ)该河流对沿河 A 企业影响如下:当 X ? [23,27) 时, 不会造成影响;当 X ? [27,31) 时,损失 10000 元;当 X ? [31 ,35) 时,损失 60000 元,为减少损失,现 有三种应对方案: 方案一:防御 35 米的最高水位,需要工程费用 3800 元; 方案二:防御不超过 31 米的水位,需要工程费用 2000 元; 方案三:不采取措施;试比较哪种方案较好,并说理由. 19. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示,E 是侧棱 PC 上的动点.

(Ⅰ)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (Ⅱ)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.

x2 y 2 3 20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 ? : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 离 心 率 为 ,若 ? 与圆 E: a b 2
2 3? ? 2 ? x ? ? ? y ? 1 相交于 M,N 两点,且圆 E 在 ? 内的弧长为 3 ? . 2? ?
(I)求 a , b 的值; (II)过 ? 的中心作两条直线 AC,BD 交 ? 于 A,C 和 B,D 四点,设直线 AC 的斜率为 k1 ,BD 的斜率为 k2 , 且 k1k 2 ?
2

1 .(1)求直线 AB 的斜率; (2)求四边形 ABCD 面积的取值范围. 4
2x

21. (本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? e

? x2 ? ax , a , b 为常数,函数

? x? 1 g ? x ? ? f ? ? ? x 2 ? ?1 ? b ? x ? b ,若函数 f ? x ? 在 x ? 0 处的切线与 y 轴垂直. ?2? 4
-3-

(I)求函数 f ? x ? 的解析式; (II)求函数 g ? x ? 的单调区间; (III) 若 s , t , r 满足 s ? r ? t ? r 恒成立, 则称 s 比 t 更靠近 r.在函数 g ? x ? 有极值的前提下, 当 x ? 1 时,

e x ?1 比 e ? b 更靠近 ln x ,试求 b 的取值范围. x
请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题记分 22. (选修 4—1;几何证明选讲 本小题满分 10 分) 如图过圆 E 外一点 A 条直线与圆 E 交于 B、C 两点,且 AB ? 作一 F, 连

1 AC ,作直线 AF 与圆 E 相切于点 3
?

结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2, ?EBC ? 30

(Ⅰ)求 AF 的长; (Ⅱ)求证: AD ? 3ED 23. (选修 4-4;坐标系与参数方程选讲 本小题满分 10 分) 在平面直角 系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为 ?

坐标 以原

? x ? t cos? ( t 为参数,0 ? ? ? ? ) , ? y ? t sin ?
p ( p ?0) 1 ? cos ?

点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标 方程为 ? ? (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求

1 1 的值. ? OA OB

24. (选修 4—5;不等式选讲 本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 . (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 f ( x) ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围. 沈阳二中 2015-2016 学年度下学期第四次模拟考试 高三(16 届)数学理科试题参考答案 (6)~(10)BCCBA (11)~(12)BB

(1)~(5)DBBDD (13) ln 2 (14)

8 3

(15)①③④

(16)-1009

(17)解: (Ⅰ)?
2 2 2

a?b a?c ? sin( A ? B ) sin A ? sin B

?

a?b a?c ? c a ?b

?????2 分

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ????????????5 分 ? a ? b ? ac ? c ? cos B ? 2ac 2ac 2 ? ??????????????????????6 分 ? B ? (0, ? ) ,? B ? 3 a b 3 ? (Ⅱ)由 b ? 3 , sin A ? , ,得 a ? 2 ??????????7 分 sin A sin B 3 6 由 a ? b 得 A ? B ,从而 cos A ? , ???????????????9 分 3 3 ?3 2 故 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ???????10 分 6

-4-

所以 ?ABC 的面 积为 S ?

1 3 ?3 2 . ab sin C ? 2 2

???????????12 分 (18)

(19) 解:(Ⅰ) 不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. 证明如下: 由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PC⊥ 底 面 ABCD,且 PC=2. ???????? ?1 分 连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC. ??????????2 分 ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD,∴BD⊥PC. ????????3 分 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ???????????????????4 分 ∵不论点 E 在何位置,都有 AE? 平面 PAC.∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. ???5 分 (Ⅱ) 解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DF⊥AE 于 F,连结 BF. ???6 分 ∵AD=AB=1,DE=BE= 12+12= 2,AE=AE= 3,∴Rt△ADE≌Rt△ABE,从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥ AE.∴∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角 ???????????9 分.

1 AD·DE 6 6 2π Rt△ADE 中,DF= = , ∴BF= .BD= 2,△DFB 中余弦定理得 cos∠DFB= ? ,∴∠DFB= , AE 3 3 3 2
2π 即二面角 D-AE-B 的大小为 . ???????????12 分 3 解法 2:如图,以点 C 为原点,CD,CB,CP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系. ???????????????????????????6 分 D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),从而 DA =(0,1,0),

??? ?

???? ??? ? ??? ? DE =(-1,0,1), BA =(1,0,0), BE =(0,-1,1). 设平面 ADE 和平面 ABE 的

-5-

?? ??? ? ?? ?? ? ?? ? y1 ? 0 ? n1 ? DA ? 0 ? ?? 法 向 量 分 别 为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? 由 ? ?? ???? , 取 n1 ? ?1, 0 ,?1由 ? ? x1 ? z1 ? 0 ?n ? DE ? 0 ?
1

?? ? ??? ? ? ? n2 ? BA ? 0 ? x2 ? 0 ,取 ?? ? n2 ? ? 0, ?1, ?1? ??????????10 分 ?? ? ??? ? ? ?? ?? y2 ? z2 ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0

?? ?? ? n1 ? n2 ?1 1 设二面角 D-AE-B 的平面角为 θ ,则 cos ? ? ?? ?? ? ? ,????11 分 ? ? 2 2? 2 n1 ? n2
2π 2π ∴θ = ,即二面角 D-AE-B 的大小为 3 3 ????????????????12 分 (20)

m2 ? ? 0, 2? ,且 m2 ? 1 ,所以 S? ABO ? ? 0,4? ???????????????12 分

-6-

-7-

? (22) 解: (Ⅰ) 延长 BE 交圆 E 于点 M , 连接 CM , 则 ?BCM ? 90 ,BM ? 2 BE ? 4 BM ? 2 BE ? 4 ,

?EBC ? 30? , 所 以 BC ? 2 3 , 根 据 切 割 线 定 理 得 : A F2 ? A B ,所以 ? AC ?3 3 ? 3 ?9
AF ? 3 .????5 分
(Ⅱ) 过 E 作 EH ? BC 于 H , 则△ EDH ∽△ ADF ,从而有 因此

ED EH 1 ? , EH ? MC ,所以 EH ? 1 , AD AF 2

ED 1 ? ,即 AD ? 3ED . ?????10 分 AD 3

(23) 解: ( Ⅰ) 由 ?

? x ? t cos? 得 , 直 线 l 是 过 原 点 且倾 斜 角 为 ? 的 直 线 . 故 直 线 l 的 极 坐 标方 程为 ? y ? t sin?

? ? ? ,? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ??????????????3 分
由? ?

P P? ? 2 得 y ? 2 p ? x ? ? ?????????????5 分 1 ? cos ? 2? ?
24 . 解:(Ⅰ)当

x?4

时 , f ? x ? ? 2x ?1 ? ? x ? 4? ? x ? 5 ? 0 , 得 x ? ?5 ,] 所 以 x ? 4 成 立 . 当 ?

1 ?x?4 时 , 2
成 立 .

f? x 4 ? 3x ? 3 ? 0 , ? ? 2 x?1 ? x ?
当x??



x ?1







1? x ? 4

1 时, f ? x ? ? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 ,所以 x ? ?5 成立. 2 综上,原不等式的解集为 ? x x ? 1, 或x ? ?5? ???????????????5分
(Ⅱ) f ? x ? ? 3 x ? 4 ? 2x ?1 ? 2 x ? 4 ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 当?

1 ? x ? 4时等号成立 2

所以 m ? 9

????????????? ??10分

-8-


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