浙江省寿昌中学、新安江中学、严州中学2010届高三第二次联考试题 数学文 (绝对优秀)

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新安江中学、寿昌中学、严州中学（梅）2010 届高三第二次联考 文科数学
2010/05/06 15：00---17：00 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1．设 U ? R ， A ? {x | x ? 0} ， B ? {x | x ? 1} ，则 A∪ B=

( A． {x | 0 ? x ? 1} B． {x | 0 ? x ? 1} C． {x | x ? 0}

) D．R

2．设 x ? R, 则“x ? 1 的 ”是“x 3 ? x”

.

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3．设 ? , ? 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若 l ? ? , ? ? ? ，则 l ? ? C．若 l ? ? , ? / / ? . 则 l ? ? 4．复数 z ? B．若 l / /? , ? / / ? ，则 l ? ? D．若 l / /? , ? ? ? ，则 l ? ?

?1? i ? 1. 在复平面内，z 的共轭复数 z 所对应的点在（ ） 1? i
）

A．第一象限 B．第二象限. C．第三象限 D．第四象限 5．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ A 8 B 9 C 10 D 11 开始 k=0 s=0

否 s<1000? 是 s=s+2k 输出 k

k=k+1

结束

6．已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行，则实数 x 的值是（ A．-2 B．0 C．1 D．2

）

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7．若 x ? 0, y ? 0, 且 2 x ? y =2，则

1 1 ? 的最小值是 x y
D

A

2 B

3 2

C

2

3 ? 2 2

8．定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如左下图所示，则在区间 ? ?2,0 ? 上，下列函数中与

f ? x ? 的单调性不同的是
A． y ? x2 ? 1 B. y ?| x | ?1 C. y ? ?

?2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0

D． y ? ?

?e x , x ? o ? ?x ?e , x ? 0 ?

·

（第 9 题）

9．如右上图所示，一个半径为 2 的圆过一个半径为 2 的圆的圆心，则图中阴影部分的面积 为 A 1 B 2 C

? 2

D

4 ??

10． 已知数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n ? 3 ， 将数列中各项进行如下分组： 1 组 1 个数 a1 ） 第 （ ， 第 2 组 2 个数（ a2 , a3 ）第 3 组 3 个数（ a4 , a5 , a6 ） ，依次类推，??，则第 16 组的第 1 个 数是 A 239 B 269 C 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分）

699

D

2009

11．若函数 f ( x) ? sin ? x cos ? x ? 1 （其中 ? ? 0 ）的最小正周期为 2，则实数 ? =

。

12． 某高中共有 2100 名学生， 采用分层抽样的方法， 分别在三个年级的学生中抽取容量为 100 的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取 30，35 名学生，则该校高三年级的学生数 是 。 13．如图是一个几何体的三视图（单位；米） ，则它的体积是_______（米 3） 。

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2 2 侧视图

3 正视图 1 1 俯视图

14．一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，从中有放回地每次取一个 ．．． 球，共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 5 的概率为 。 ．．．

? y ? 2x ? 15．已知实数 x、y 满足 ? y ? ?2 x 则目标函数 z=x-2y 的最小值是________ . ?x ? 3 ?
16.. 双曲线

x2 y 2 6 ? ? 1 的离心率是 ，它的两条渐近线与圆 ( x ? 6)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 都 2 a 3 2
。
2

相切，则 r =

17．若存在 x0 ?[0, 2] ，使 x ? (1 ? a) x ? a ? 2 ? 0 成立，则实数 a 的取值范围是

。

三、解答题（写出必要的分析计算推理过程） 18． （本小题 14 分）已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角，且其对边分别为 a 、 b 、 c ，若

A A A A 1 , sin ) ， n ? (cos , sin ) 且 m ? n ? 2 2 2 2 2 b?c （1）求 A 的值 （2）求 的取值范围。 a m ? (? cos

19． （本题 14 分）已知四棱锥 C-ABDE 中，平面 ABDE⊥平面 ABC，底面 ABDE 是正方形， AB = 1, CD = （1）求证：平面 ACE⊥平面 ABC， 3 ，AB⊥BC，

（2）求 CD 与平面 BCE 所成角的正弦值。

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20． （本题 14 分）设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，对任意的正整数 n ，都有 an ? 5Sn ? 1 成立。 （1）求数列 ?an ? 的通项公式； （2）求证：

S2 n 3 ? , n ? N* Sn 4
1 3 ax ? bx 2 ? 3 x ? 2 ,其中 a ? 0 3

21． （本题 15 分）已知函数 f ( x) ?

（1） 若 a ? 1 ，且 f ( x ) 的导函数的图象关于直线 x=2 对称时.试求 f ( x ) 在区间[0，2]上的 最小值。 （2） 若 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

22． （本题 15 分）已知直线 L 与抛物线 C： x ? 4 y 相切于点 P（2，1） ，且与 x 轴交于点 A，
2

O 为坐标原点，定点 B（2，0） （1） 求点 A 的横坐标。

（2）设动点 M 满足 AB ? BM ? 2 AM ? 0 ，点 M 的轨迹 K。若过点 B 的直线 L1（斜率不等 于 0）与轨迹 K 交于不同的两点 E、F（E 在 B、F 之间） ，试求Δ OBE 与Δ OBF 面积之比的取值 范围。

??? ???? ? ?

???? ?

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选择题 题序 答案 填空题 （11） 1 D 2 A 3 C 4 C 5 C 6 D 7 D 8 C 9 B 10 A

? 2
?? ?

（12） 735 （16）
2

（13） 6

（14）

19 25

（15） -9

2 3

（17） (2 2 ?1, ??) 所以 cos A ? ?

18．解： m ? n ? ? cos

A A ? sin 2 ? ? cos A ， 2 2 2? 角，即 A ? (0, ? ),? A ? ---------7` 3 ?B ?C ?

1 ，又因为 A 是三角形的内 2

?

3

,

s i n ? s iC ? B n

sB n i?

?

s? n B? i ( 3

3 )? s i n B 2

1 1 3 ?B c o s ?B s i n B ? sin B ? 2 2 2

?c Bs o 3

?

sin

? ? ?2 ? ? 3 ?B?( 0 , ?B ? ? ( , ) ? sB n ( ) ? ( ) i ? -------10`---12` , 1] 3 3 3 3 3 2
又

b ? c sin B ? sin C 3 ? ,sin A ? a sin A 2

,即

b?c 2 3 的取值范围是 (1, ] ---------------14` a 3

19．证明：在正方形 ABDE 中，EA⊥AB， 又 AB= 平面 ABDE∩平面 ABC，平面 ABDE⊥平面 ABC 所以，EA⊥平面 ABC，-----------------------------------------------4` 又 EA 在平面 ACE 内，所以，平面 ACE⊥平面 ABC。---------7` （2）同理，由 AB⊥BC 可知：BC⊥平面 ABDE，进而知，BC⊥AD 在正方形 ABDE 中，AD⊥BE，又 BC∩BE=B，知 AD⊥平面 BCE。-------10` 设 BE∩AD=O，连结 OC，则 CD 与平面 BCE 所成的角就是∠DCO，且 DO⊥CO---12` 在正方形 ABDE 中，由 AB=1 知，DO=

2 ， 2

在直角三角形 CDO 中，依前知，sin∠DCO=

DO 6 ? ， CD 6

即 CD 与平面 BCE 所成角的正弦值是

6 ---------------------------14` 6
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20． （I）当 n ? 1 时， a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

1 4

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

且 an ? 0, n ? N *

∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ?

1 1 ，公比为 q ? ? 的等比数列， 4 4

∴ an ? (? ) ，-----------------------7`
n

1 4

1 (? ) n ? 1 an ? 1 （2） Sn ? ? 4 5 5 1 1 1 ?| (? ) n |? ( ) n ? 1,? (? ) n ? 1 ? 0 ? Sn ? 0 4 4 4 1 (? ) 2 n ? 1 S 1 4 又 2n ? ? (? ) n ? 1 1 n Sn 4 (? ) ? 1 4 1 2m 1 m 3 * 当 n ? 2m, m ? N （偶数）时，比值= 1 ? (? ) ? 1 ? ( ) ? 1 ? 4 16 4 1 2 m ?1 1 2 m ?1 * ? 1? ( ) 当 n ? 2m ?1, m ? N （奇数）时，比值= 1 ? (? ) 关于 m 为递增数列， 4 4 1 3 当 m=1 时，取到最小值 1 ? ? 4 4
综上所述，对任何正整数 n,不等式

S2 n 3 ? , n ? N* Sn 4

恒成立。--------14`

21． f `( x) ? ax ? 2bx ? 3 ---------------------------------------------2`
2

（1）? a ? 1? f `( x) ? x ? 2bx ? 3 ? ( x ? b) ? 3 ? b ,
2 2 2

f ( x)

的

导

函

数

的

图

象

关

于

直

线

x=2

对

称

?b

? 2

,? f

`2 ( x

? )x

? x 4 ? --------------------4` 1 3x ? ( ?x
1 0

) ( ?

3

)
3 0

x
f `( x)
f ( x)

（0，1） + 递增

（1，3） 递减

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4 f ( x) 在区间[0，2]上的最小值=min{ { f (0), f (2)} ? min{?2, ? } ? ?2 ------7` 3
(2) 由 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增，知： ax2 ? 2bx ? 3 ? 0, ?x ? (0,1] 恒成立

2bx ? ?ax2 ? 3
3 3 ? x ? 0,? 2b ? ?(ax ? ) ? 2b ? ?(ax ? ) max -----------------------10` x x 3 为求最大值，先以下求函数 y ? ax ? 的最小值 x

3 ax 2 ? 3 y`? a ? 2 ? ? x x2
当

a( x ?

3 3 )( x ? ) a a x2

3 3 3 ? 1 时， y `( x ) 在 (0, ) 上为负，在 ( ,1) 为正， a a a
即 y ( x) 在 (0,

3 3 ) 上递减，在 ( ,1) 递增 a a 3 ) ? 2 3a a

y ( x) 的最小值是 y(

当

3 ? 1时， y `( x ) 在区间 (0,1] 上恒为负，即 y ( x) 在区间 (0,1] 上单调递减，所以 y ( x) 的最 a

小值是 y(1) ? a ? 3 -----------------------------------------13` 经检验，以上端点值也符合。 综上所述，当 a ? 3 时， b 的取值范围是 [? 3a , ??) 当 0 ? a ? 3 时 b 的取值范围是 [? 22．解（1）由 x2=4y 得 y=

a?3 , ??) ---------------15` 2

1 2 1 x , y′= x. ∴直线 l 的斜率为 y′|x=2=1. 4 2

故 l 的方程为 y=x-1，∴点 A 坐标为（1，0）. ----------------------------------------------4`

（2） 设 M （x,y） 则 AB = ， （1， ，BM = 0） （x-2,y） AM =(x- 1,y),由 AB ? BM ? 2 AM ? 0 ,

??? ?

???? ?

???? ?

??? ???? ? ?

???? ?

=0 得（x-2）+y·0+

x2 2 2 ? ( x ? 1) ? y =0, 整理，得 +y =1.轨迹 K 是椭圆。---9` 2
2 2

设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ), BE ? ? ? BF , x2 ? x1,0 ? ? ? 1

??? ?

??? ?

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从而得 ?

? x1 ? 2 ? ? ( x2 ? 2) ? x1 ? ? x2 ? (2 ? 2? ) ?? y1 ? ? y2 y1 ? ? y2 ? ?

?(? x2 ? (2 ? 2? ) 2 ? 2 ? (? y2 ) 2 ? 2 因为 E、F 都在椭圆上，所以满足椭圆方程： ? x2 2 ? 2 ? y2 2 ? 2 ?
消去 y2 ，并整理得

1 3 ? ? x2 2? 2

①-------------------------------------------11`

由题意，设过点 B 的直线方程： x ? ty ? 2 ，

当直线与椭圆相切时， ?

? x ? ty ? 2 ? (t 2 ? 2) y 2 ? 4ty ? 2 ? 0 ? ? y ? 0 x2 ? 2 y 2 ? 2 ?
取 t ? ? 2, ? y ?

即 (4t )2 ? 4 ? (t 2 ? 2) ? 2 ? 0 ? t 2 ? 2 ， 所以知 x2 ? (? 2,1) ?

2 2 ） ? x ? 1 得切点（1， 2 2

3 1 3 ? x2 ? ( , ? 2) 2 2 2

联系①式知，

1 1 3? 2 2 ?( , ) ? ? ? (3 ? 2 2,1) 2? 2 2

即Δ OBE 与Δ OBF 面积之比的取值范围是 (3 ? 2 2,1) 。-----------15` k.s.5.u.c.o.m

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