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高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练


2015 高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练

【选题明细表】 知识点、方法 圆锥曲线的综合问题 直线与圆锥曲线的综合问题 圆与圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线与其他内容的综合 题号 2、4、6、11 3、8、9、14 7、10、12、13 1、5

一、选择题 1.椭圆 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)

的左顶点为 A,左、右焦点 分别为 F1,F2,D 是它短轴上的一个端点,若 3 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 +2 错误!未找到引用源。,则该椭圆的离心率为( D ) (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)错 误!未找到引用源。 解析:设 D(0,b),则错误!未找到引用源。=(-c,-b), 错误!未找到引用源。=(-a,-b),错误!未找到引用源。=(c,-b), 由 3 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2 错误!未找到引用源。得-3c=-a+2c, 即 a=5c, ∴e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 故选 D. 2.(2012 年高考福建卷)已知双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的右 2 焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A ) (A)错误!未找到引用源。 (B)4 错误!未找到引用源。 (C)3 (D)5 2 解析:抛物线 y =12x 的焦点是(3,0), 2 2 2 ∴c=3,b =c -a =5. ∴双曲线的渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x, 焦点(3,0)到 y=±错误!未找到引用源。x 的距离 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。. 故选 A. 2 2 3.椭圆 ax +by =1 与直线 y=1-x 交于 A、 B 两点,过原点与线段 AB 中点直线的斜率为错误! 未 找到引用源。,则错误!未找到引用源。的值为( A ) (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)错 误!未找到引用源。 解析:设交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为 M(x0,y0), 2 2 将 y=1-x 代入 ax +by =1 2 得(a+b)x -2bx+b-1=0, 故 x1+x2=错误!未找到引用源。,x0=错误!未找到引用源。, ∴y1+y2=2-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,y0=错误!未找到引用源。, ∴k=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

1

故选 A. 4.(2013 山东淄博一中高三上期末考试)过椭圆错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 =1(a>b>0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为错误!未找到引用源。,则双曲线错误!未找到引用 源。-错误!未找到引用源。=1 的离心率 e 的值是( B ) (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)错 误!未找到引用源。 解析:设椭圆的半焦 距为 c1, 在椭圆中当 x=c1 时,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1, y =b 1-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, ∴y=±错误!未找到引用源。. ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 2 2 即 a =4b , 设双曲线的半焦距为 c2, 2 2 2 ∴在双曲线中错误!未找到引用源。=a +b =5b , ∴e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 故选 B. 5.(2013 河北省衡水中学高三模拟)点 P 在双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=1(a>0,b>0)上,F1、F2 是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三条边长成等差 数列,则此双曲线的离心率是( D ) (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)2 (D)5 解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上,F1 为左焦点, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 r1-r2=2a,2r1=r2+2c, 解得 r1=2c-2a,r2=2c-4a, 2 2 2 代入错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。= 4c 可得 c +5a -6ac=0, 2 2 两边同除以 a 得 e -6e+5=0, 解得 e=1 或 e=5. 又 e>1,所以 e=5.故选 D.
2 2

6.(2013 福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且,AB=2AD.设∠DAB=θ ,θ ∈ 0,错误!未找到引用源。 ,以 A、B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C、D 为焦点 且过点 A 的椭圆的离心率为 e2,则( B ) (A)随着角度θ 的增大,e1 增大,e1e2 为定值 (B)随着角度θ 的增大,e1 减小,e1e2 为定值 (C)随着角度θ 的增大,e1 增大,e1e2 也增大 (D)随着角度θ 的增大,e1 减小,e1e2 也减小 解析:设 AD=1,则 AB=2,DC=2-2cos θ , 在△ABD 中,由余弦定理得 B D=错误!未找到引用源。, e1=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,θ ∈ 0,错误!未找到引用源。 ,

2

所以随着角度θ 的增大,e1 减小; 又 e2=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴e1e2=错误!未找到引用源。=1,故选 B. 2 2 2 7.过双曲线错误! 未找到引用源。 -错误! 未找到引用源。 =1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于点 P,若 T 为线段 FP 的中点,则该双曲线的渐近线 方程为( B ) (A)x±y=0 (B)2x±y=0 (C)4x±y=0 (D)x±2y=0

解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为 F′,连结 OT、PF′. ∵FT 为圆的切线, ∴FT⊥OT,且|OT|=a, 又∵T、O 分别为 FP、FF′的中点, ∴OT∥PF′且|OT|=错误!未找到引用源。|PF′|, ∴|PF′|=2a, 且 PF′⊥PF. 又|PF|-|PF′|=2a, ∴|PF|=4a. 2 2 2 在 Rt△PFF′中,|PF| +|PF′| =|FF′| , 2 2 2 即 16a +4a =4c ,∴错误!未找到引用源。=5. ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-1=4,∴错误!未找到引用源。=2, 即渐近线方程为 y=±2x, 即 2x±y=0.故选 B. 二、填空题 8.(2012 年高考重庆卷)设 P 为直线 y=错误!未找到引用源。x 与双曲线错误!未找到引用 源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线 的离心率 e= . 解析:由错误!未找到引用源。 消去 y 得 x =±错误!未找到引用源。a. 又 PF1⊥x 轴,∴错误!未找到引用源。a=c,∴e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。. 答案:错误!未找到引用源。 2 9.(2013 东莞模拟)已知抛物线 C 的方程为 x =错误! 未找到引用源。 y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3) 的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 . 解析:当 t=0 时,直线 AB 与抛物线 C 有公共点, 当 t≠0,则过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线方程为 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即 4x-ty-t=0, 由错误!未找到引用源。

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得 2tx -4x+t=0,Δ =16-4?2t <0, 解得 t<-错误!未找到引用源。或 t>错误!未找到引用源。. 答案:(-∞,-错误!未找到引用源。)∪(错误!未找到引用源。,+∞) 10.过双曲线 C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 2 2 2 x +y =a 的两条切线,切点分别为 A、B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率 为 .

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2

解析:如图,由题知 OA⊥AF,OB⊥BF 且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°. 又 OA=a,OF=c, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=cos 60°=错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。=2. 答案:2 2 11.(2013 安徽蚌埠二模)点 A 是抛物线 C1:y =2px(p>0)与双曲线 C2:错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离 为 p,则双曲线 C2 的离心率等于 . 解析:设 A(x0,y0), ∵A 在抛物线上, ∴x0+错误!未找到引用源。=p, ∴x0=错误!未找到引用源。, 由错误!未找到引用源。=2px0 得 y0=p 或 y0=-p. ∴双曲线渐近线的斜率错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2. ∴e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 三、解答题 12.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为错误!未找到引用源。,且椭圆经过圆 2 2 C:x +y -4x+2 错误!未找到引用源。y=0 的圆心 C. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程. 2 2 解:(1)圆 C 方程可化为(x-2) +(y+错误!未找到引用源。) =6, 圆心 C(2,-错误!未找到引用源。),半径 r=错误!未找到引用源。 设椭圆的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0), 则错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 ∴所求椭圆的方程是错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是 F1(-2,0),F2(2,0), |F2C|=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。<r=错误!未找到引用源。,

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F2 在圆 C 内,则过 F2 没有圆 C 的切线, 故直线 l 过 F1(-2,0), 设 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0, 圆心 C(2,-错误!未找到引用源。)到直线 l 的距离为 d=错误!未找到引用源。, 由 d=错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 2 化简得 5k +4 错误!未找到引用源。k-2=0, 解得 k=错误!未找到引用源。或 k=-错误!未找到引用源。, 故直线 l 的方程为错误!未找到引用源。x-5y+2 错误!未找到引用源。=0 或错误!未找到 引用源。x+y+2 错误!未找到引用源。=0. 13.(2013 河南郑州)已知椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>错误! 2 2 未找到引用源。)的右焦点 F 在圆 D:(x-2) +y =1 上,直线 l:x=my+3(m≠0)交椭圆于 M、N 两 点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。(O 为坐标原点),求 m 的值; (3)若点 P 的坐标是(4,0),试问△PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不 存在,请说明理由. 2 2 解:(1)由题意知,圆 D:(x-2) +y =1 的圆心坐标是(2,0),半径是 1, 故圆 D 与 x 轴交于两点(3,0),(1,0), 所以在椭圆中 c=3 或 c=1, 2 又 b =3, 2 2 所以 a =12 或 a =4(不满足 a>错误!未找到引用源。,舍去), 于是,椭圆 C 的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 直线 l 与椭圆 C 方程联立错误!未找到引用源。 2 2 化简并整理得(m +4)y +6my-3=0, ∴y1+y2=错误!未找到引用源。,y1y2=错误!未找到引用源。, ∴x1+x2=m(y1+y2)+6=错误!未找到引用源。, 2 x1x2=m y1y2+3m(y1+y2)+9 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+9 =错误!未找到引用源。. ∵错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=0, 即 x1x2+y1y2=0 得错误!未找到引用源。=0, 2 所以 m =错误!未找到引用源。,m=±错误!未找到引用源。. (3)S△PMN=错误!未找到引用源。|FP|?|y1-y2| =错误!未找到引用源。?1?错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =2 错误!未找到引用源。 =2 错误!未找到引用源。≤2 错误!未找到引用源。=1. 2 当且仅当 m +1=3, 即 m=±错误!未找到引用源。时等号成立. 故△PMN 的面积存在最大值 1.

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14.(2013 黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω 的方程为错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0),它的离心率为错误!未找到引用源。,一个焦点是 (-1,0),过直线 x=4 上一点引椭圆Ω 的两条切线,切点分别是 A、B. (1)求椭圆Ω 的方程; (2)若椭圆Ω :错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)在点(x0,y0)处的切 线方程是:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1.求证:直线 AB 恒过定点 C,并求 出定点 C 的坐标; (3)求证:错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。为定值 (点 C 为直线 AB 恒过的定 点). (1)解:椭圆Ω 的焦点是(-1,0), 故 c=1,又错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 a=2,b=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以所求的椭圆Ω 方程为 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (2)解:设切点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 上一点 M 的坐标(4,t), 则切线 AM、BM 的方程分别为 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。=1. 又两切线均过点 M, 所以 x1+错误!未找到引用源。y1=1,x2+错误!未找到引用源。y2=1, 即点 A,B 的坐标都适合方程 x+错误!未找到引用源。y=1, 故直线 AB 的方程是 x+错误!未找到引用源。y=1, 显然直线 x+错误!未找到引用源。y=1 恒过点(1,0), 故直线 AB 恒过定点 C(1,0). (3)证明:将直线 AB 的方程 x=-错误!未找到引用源。y+1,代入椭圆方程,得 3 -错误!未找到引用源。y+1 +4y -12=0, 即 错误!未找到引用源。+4 y -2ty-9=0, ∴y1+y2=错误!未找到引用源。, y1y2=错误!未找到引用源。, 不妨设 y1>0,y2<0, |AC|=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。y1, 同理|BC|=-错误!未找到引用源。y2, ∴错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。? 错误!未找到 引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 =-错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 =-错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。
2 2 2

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=错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。为定值错误!未找到引用源。. 大题冲关集训(五) 1.

(2013 福师大附中模拟)如图,已知抛物线 C1:x =2py 的焦点在抛物线 C2:y=错误! 未找到引用 2 源。x +1 上. (1)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (2)过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C2 的两条切线 PM,PN,切点为 M,N.若 PM,PN 的斜率乘积 为 m,且 m∈[2,4],求|OP|的取值范围. 解:(1)C1 的焦点为 F 0,错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。=0+1,p=2. 2 故 C1 的方程为 x =4y,其准线方程为 y=-1. 2 (2)任取点 P(2t,t ),设过点 P 的 C2 的切线方程为 2 y-t =k(x -2t). 2 2 由错误!未找到引用源。得 x -2kx+4tk-2t +2=0. 2 2 由Δ =(-2k) -4(4tk-2t +2)=0, 2 2 化简得 k -4tk+2t -2=0, 设 PM,PN 斜率分别为 k1,k2, 2 则 m=k1k2=2t -2, 2 因为 m∈[2,4],所以 t ∈[2,3], 2 2 4 2 2 所以|OP| =4t +t =(t +2) -4∈[12,21], 所以|OP|∈[2 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]. 2.(2013 河南洛阳一模)已知椭圆 C:错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 =1(a>b>0) 的离心率为错误! 未找到引用源。 ,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 与曲线|y|=kx(k>0)的交点为 A、B,求△OAB 面积的最大值. 2 2 2 解:(1)由题设可知,圆 O 的方程为 x +y =b , 因为直线 l:x-y+2=0 与圆 O 相切, 故有错误!未找到引用源。=b, 所以 b=错误!未找到引用源。. 2 2 2 2 又 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以有 a =3c =3(a -b ), 2 所以 a =3, 所以椭圆 C 的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1.

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(2)设点 A(x0,y0)(x0>0,y0>0), 则 y0=kx0, 设 AB 交 x 轴于点 D,如图, 由对称性知: S△OAB=2S△OAD=2?错误!未找到引用源。x0y0=k 错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 所以 S△OAB=k?错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。. 当且仅当错误!未找到引用源。=3k,即 k=错误!未找到引用源。时取等号. 所以△OAB 面积的最大值为错误!未找到引用源。. 3.

(2013 泉州五中模拟)已知抛物线 C:x =2py(p>0)上一点 P(a,错误!未找到引用源。)到焦点 距离为 1. (1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 y=kx+2 交 C 于 M,N 两点,Q 是线段 MN 的中点,过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T. ①证明:抛物线 C 在点 T 处的切线与 MN 平行; ②是否存在实数 k 使错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=0?若存在,求 k 的值; 若不存在,请说明理由. 解:(1)依据抛物线的定义知,P 到抛物线焦点 F 的距离为 PF=错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。=1,所以 p=错误!未找到引用源。, 2 抛物线的方程为 x =错误!未找到引用源。y. (2)①证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0), 2 联立错误!未找到引用源。得 2x -kx-2=0, 所以 x1+x2=错误!未找到引用源。,x1?x2=-1, 所以 x0=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 2 因为 y=2x ,所以 y′错误!未找到引用源。=k, 2 所以抛物线 y=2x 在 T 点处的切线与 MN 平行. ②由①可得 T 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。= x1-错误!未找到引用源。 x2-错误! 未找到引用源。 + y1-错误!未找到引用源。 y2-错误!未找到引用源。 =(k +1)x1x2+ 错误!未找到引用源。k-错误!未找到引用源。 (x1+x2)+错误!未找到引用源。 + 2-错误!未找到引用源。
2 2 2 2

2

=-错误!未找到引用源。(k -4)(k +16)=0,

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解得 k=±2,所以存在 k=±2 满足错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=0. 4.(2012 年高考江西卷)已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足| 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。|=错误!未找到引用源。?(错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。)+2. (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上的动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是 (0,-1),l 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比. 解:(1)由错误!未找到引用源。=(-2-x,1-y),错误!未找到引用源。=(2-x,1-y), 得|错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。|=错误!未找到引用源。, 错误! 未找到引用源。 ?(错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 )=(x,y)?(0,2)=2y, 由已知得错误!未找到引用源。=2y+2, 2 化简得曲线 C 的方程是 x =4y. (2)直线 PA,PB 的方程分别是 y=-x-1,y=x-1, 曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程是 y=错误!未找到引用源。x-错误!未找到引用源。, 且与 y 轴的交点为 F 0,-错误!未找到引用源。 , 分别联立方程组错误!未找到引用源。 解得 D,E 的横坐标分别是 xD=错误!未找到引用源。,xE=错误!未找到引用源。, 则 xE-xD=2,|FP|=1-错误!未找到引用源。, 故 S△PDE=错误!未找到引用源。|FP|?|xE-xD| =错误!未找到引用源。? 1-错误!未找到引用源。 ?2 =错误!未找到引用源。, 而 S△QAB=错误!未找到引用源。?4? 1-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。=2. 即△QAB 与△PDE 的面积之比为 2. 2 5.(2013 年高考湖南卷)已知 F1,F2 分别是椭圆 E:错误!未找到引用源。+y =1 的左、右焦 点,F1,F2 关于直线 x+y-2=0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a,b.当 ab 最大时,求直线 l 的方 程. 解:(1)由题设知,F1,F2 的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆 C 的半径为 2,圆心为原点 O 关于直线 x+y-2=0 的对称点. 设圆心的坐标为(x0,y0), 由错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 2 2 所以圆 C 的方程为(x-2) +(y-2) =4. (2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2, 则圆心到直线 l 的距离 d=错误!未找到引用源。. 所以 b=2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。

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得(m +5)y +4my-1=0. 设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1+y2=-错误!未找到引用源。, y1y2=-错误!未找到引用源。. 于是 a=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. 从而 ab=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。 =2 错误!未找到引用源。. 当且仅当错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 m=±错误!未找到引用源。时 等号成立. 故当 m=±错误!未找到引用源。时,ab 最大,此时,直线 l 的方程为 x=错误!未找到引用源。 y+2 或 x=-错误!未找到引用源。y+2, 即 x-错误!未找到引用源。y-2=0 或 x+错误!未找到引用源。y-2=0. 6.(2013 兰州一模)已知点 P 为 y 轴上的动点,点 M 为 x 轴上的动点,点 F(1,0)为定点,且满足 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,错误!未找到引用源。?错误!未找到 引用源。=0. (1)求动点 N 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A,B,试判断在 x 轴上是否存在点 C,使得 2 2 2 |CA| +|CB| =|AB| 成立,请说明理由. 解:(1)设 N(x, y),则由错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0, 得 P 为 MN 的中点. ∴P 0,错误!未找到引用源。 ,M(-x,0). ∴错误!未找到引用源。= -x,-错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。= 1,-错误! 未找到引用源。 . ∴ 错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=-x+错误!未找到引用源。=0,即 y =4x. 2 ∴动点 N 的轨迹 E 的方程为 y =4x. 2 (2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),由错误!未找到引用源。消去 x 得 y -错误!未找到 引用源。y-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=错误!未找到引用源。,y1y2=-4. 假设存在点 C(m,0)满足条件, 则错误!未找到引用源。=(x1-m,y1),错误!未找到引用源。=(x2-m,y2),
2

2

2

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∴错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=x1x2-m(x1+x2)+m +y1y2= 错误!未找到引 用源。 -m 错误! 未找到引用源。 +m -4=-错误! 未找到引用源。 [(y1+y2) -2y1y2]+m -3=m -m 错误!未找到引用源。+2 -3. ∵Δ = 错误!未找到引用源。+2 +12>0, ∴关于 m 的方程 m -m 错误!未找到引用源。+2 -3=0 有解. ∴在 x 轴上存在点 C,使得|CA| +|CB| =|AB| 成立. 7.(2013 年高考广东卷)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为错误! 未找到引用源。 ,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB, 其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值. 解:(1)∵抛物线 C 的焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得 c=1, 2 ∴F(0,1),即抛物线 C 的方程为 x =4y. (2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 由 x =4y 得 y′=错误!未找到引用源。x, ∴切线 PA:y-y1=错误!未找到引用源。x1(x-x1), 有 y=错误!未找到引用源。x1x-错误!未找到引用源。+y1,而错误!未找到引用源。=4y1, 即切线 PA:y=错误!未找到引用源。x1x-y1, 同理可得切线 PB:y=错误!未找到引用源。x2x-y2. ∵两切线均过定点 P(x0,y0), ∴y0=错误!未找到引用源。x1x0-y1,y0=错误!未找到引用源。x2x0-y2, 由此两式知点 A,B 均在直线 y0=错误!未找到引用源。xx0-y 上, ∴直线 AB 的方程为 y0=错误!未找到引用源。xx0-y, 即 y=错误!未找到引用源。x0x-y0. (3)设点 P 的坐标为(x′,y′), 由 x′-y′-2=0, 得 x′=y′+2, 则|AF|?|BF|=错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 =(y1+1)?(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1. 由错误!未找到引用源。 2 2 2 得 y +(2y′-x′ )y+y′ =0, 2 2 有 y1+y2=x′ -2y′,y1y2=y′ , 2 2 ∴|AF|?|BF|=y′ +x′ -2y′+1 2 2 =y′ +(y′+2) -2y′+1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

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=2 y′+错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。, 当 y′=-错误!未找到引用源。,x′=错误!未找到引用源。时, 即 P 错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。 时,|AF|?|BF|取得最小值错误!未 找到引用源。.

2

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