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数学分析试题库--证明题


数学分析题库(1-22 章)
五.证明题 1.设 A,B 为 R 中的非空数集,且满足下述条件: (1)对任何 a ? A, b ? B 有 a ? b ; (2)对任何 ? ? 0 ,存在 x ? A, y ? B ,使得 Y ? x ? ? . 证明: sup A ? inf B. 2.设 A,B 是非空数集,记 S ? A ? B ,证明: (1) sup S ?

max?sup A, sup B? ; (2) inf S ? min?inf A, inf B? 3. 按 ? ? N 定义证明

lim
n??

5n 2 ? n ? 2 5 ? n ?? 3n 2 ? 2 3

4.如何用ε -N 方法给出 liman ? a 的正面陈述?并验证| n 2 |和| (?1) n |是发散数列. 5.用 ? ? ? 方法验证:

lim
x ?1

x2 ? x ? 2 ? ?3 . x( x 2 ? 3x ? 2)

6. 用 ? ? M 方法验证:

x ? ??

lim

x x ?1 ? x
2

??

1 . 2
t ?a

7 . 设 lim ? ( x) ? a ,在 x0 某邻域 U?( x0 ; ? 1 ) 内 ? ( x) ? a ,又 lim f (t ) ? A. 证明
x ? x0

x ? x0

lim f (? ( x)) ? A .

8.设 f (x) 在点 x0 的邻域内有定义.试证:若对任何满足下述条件的数列 ?x n ?, (1) xn ?U ?( x0 ) , xn ? x0 , (2) 0 ? xn?1 ? x0 ? xn ? x0 ,都有 lim f ( xn ) ? A ,
n??

则 lim f ( x) ? A .
x ? x0

9. 证明函数

? x 3 , x为有理数, f ( x) ? ? ?0, x为无理数
在 x0 ? 0 处连续,但是在 x0 ? 0 处不连续.

1

10.设 f (x) 在(0,1)内有定义,且函数 e x f (x) 与 e ? f ( x ) 在(0,1)内是递增的,试证 f (x) 在(0,1)内连续. 11. 试证函数 y ? sin x 2 ,在 [0,?? ) 上是不一致连续的. 12. 设函数 f (x) 在(a,b)内连续,且 lim f ( x) = lim f ( x) =0,证明 f (x) 在(a,b)内有最
x ?a ? x ?b ?

大值或最小值. 13. 证明:若在有限区间(a,b)内单调有界函数 f (x) 是连续的,则此函数在(a,b)内是 一致连续的. 14 . 证明:若 f (x) 在点 a 处可导,f(x)在点 a 处可导. 15. 设 函 数 f ( x)在(a, b) 内 可 导 , 在 [a,b] 上 连 续 , 且 导 函 数 f ?(x) 严 格 递 增 , 若

f (a) ? f (b) 证明,对一切 x ? (a, b) 均有 f ( x) < f (a) ? f (b)
16. 设 函 数 f (x) 在 [a,??] 内 可 导 , 并 且 f (a) < 0 , 试 证 : 若 当 x ? (a,??) 时 , 有

f ?( x) > c> 0则 存 在 唯 一 的 ? ? (a,??) 使 得 f (? ) ? 0 , 又 若 把 条 件 f ?( x) > c 减 弱 为

f / ( x) > 0(a < x < + ) ? ,所述结论是否成立?
17. 证明不等式

ex ? 1 ? x ?

x2 2

( x ? 0)

18.设 f 为 (??, ? ?) 上的连续函数,对所有 x, f ( x) ? 0 ,且 lim f ( x ) ? lim f ( x) ? 0 ,
x??? x???

证明 f ( x ) 必能取到最大值. 19. 若函数 f ( x ) 在 [0, 1] 上二阶可导, 且 f (0) ? 0 , f (1) ? 1 , f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,则存在

c ? (0, 1) 使得 | f ??(c) |? 2 .
20. 应用函数的单调性证明

2x

? sin x ? x, x ? (0, ); ? 2

?

1 ? m ? x sin , x ? 0 21. 设函数 f ( x) ? ? ( m 为实数) , x ? 0, x?0 ?
试问:

2

(1) m 等于何值时, f 在 x ? 0 连续; (2) m 等于何值时, f 在 x ? 0 可导; (3) m 等于何值时, f ? 在 x ? 0 连续; 22. 设 f ( x ) 在 [0,1] 上具有二阶导数,且满足条件 f ( x) ? a , f ?? ( x) ? b , 其中 a, b 都是非负常数, c 是 (0,1) 内的任一点,证明

f ? (c ) ? 2 a ?

b 2

23. 设函数 f ( x)在[a, b] 上连续,在(a,b)内二阶可导,则存在 ? ? (a, b) 使得

f (b) ? 2 f (

a?b (b ? a) 2 ) ? f (a) ? f ??(? ) 2 4

24. 若 f (x) 在点 x0 的某个领域上有 (n ? 1) 阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项 推导佩亚诺型余项公式. 25. 用泰勒公式证明:设函数 f (x) 在 ?a, b? 上连续,在 ?a, b ? 内二阶可导,则存在 ? ? (a, b) , 使得

f (b) ? 2 f (

a?b (b ? a) 2 '' ) ? f (a) ? f (? ) . 2 4

'' 26. 设函数 f (x) 在 ?0,2? 上二阶可导,且在 ?0,2? 上 f ( x) ? 1 , f ( x) ? 1 .证明在 ?0,2? 上成



f '' ( x ) ? 2 .
27. 设 f 是 开 区 间 I 上 的 凸 函 数 , 则 对 任 何 ?? , ? ? ? I , f 在 ? , ? 上 满 足 利 普 希 茨 (Lipschitz)条件,即存在 L > 0 ,对任何 x , x ? ?? , ? ? ,成立
' ''

f ( x ' ) ? f ( x)'' ? L x ' ? x '' .
28. 设 f ( x ) 在 [a, ??]??(a ? 0) 上满足 Lipschitz 条件: | f ( x) ? f ( y) |? k | x ? y | , 证明

f ( x) 在 [ a, ??] 上一致连续. x
29. 试证明方程 x ? x
n n ?1

1 ? ??? ? x ? 1在区间 ( ,1) 内有唯一实根。 2
3

30. 设函数 f (x) 在点 a 具有连续的二阶导数,试证明:

lim
h ?0

f ( a ? h) ? f ( a ? h) ? 2 f ( a ) ? f '' ( a ) h2

31. 设 f (x) 在 (a,

b) 上可导,且
x ?a ? 0

lim f ( x) ? lim f ( x) ? A .
x ?b ? 0

求证:存在 ? ? (a, 32. 设 f (x) 在 [ a,

b) ,使 f ?(? ) ? 0 . b] 上 连 续 , 在 (a, b) 内 有 n 阶 导 数 , 且 存 在 n ? 1 个 点

x1 , x2 , ? , xn?1 ? (a, b) 满足:

(1) a ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? b (2)
求证:存在 ? ? (a,

f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f (b)
b) ,使 f ( n) (? ) ? 0 .

33. 设函数 f 在点 x0 存在左右导数,试证 f 在点 x0 连续. 34. 设函数 f 在 [ a, b] 上可导,证明:存在 ? ? (a, b) ,使得

2? [ f (b) ? f (a)] ? (b 2 ? a 2 ) f ?(? ) .
35.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:

b?a b b?a ? ln ? ,其中 0 ? a ? b . b a a
36.证明:任何有限数集都没有聚点. 37.设

?? a , b ?? 是一个严格开区间套,即满足
n n

a1 ? a2 ? ? ? an ? bn ? ? ? b2 ? b1 ,
且 lim ? bn ? an ? ? 0 .证明:存在唯一的一点 ? ,使得 an ? ? ? bn , n ? 1, 2,? .
n ??

38.设 ?xn ? 为单调数列.证明:若 ?xn ? 存在聚点,则必是唯一的,且为 ?xn ? 的确界. 39.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续,证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上一致连续. 40.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续, 证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上有界. 41.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续,证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上有最大值.

4

42.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续且单调增加,

? 1 x f (t )dt , x ? (a, b], ? F ( x) ? ? x ? a ?a ? f (a), x ? a, ?
证明 F ( x) 为 [ a, b] 上的增函数. 43.函数 f ( x ) 在闭区间 [0,1] 上连续.证明

?

?
2

0

f (sin x)dx ? ? 2 f (cos x)dx .
0

?

44.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上单调,证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积. 45.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续,且 f ( x ) 不恒等于零,证明

? ? f ( x) ?
b a

2

dx ? 0 .

46.设函数 f ( x ) 为 (??, ??) 上以 p 为周期的连续周期函数.证明对任何实数 a ,恒有

?
48.
b

a? p

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx .
0

p

47.若函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上连续,且 lim f ( x) ? A ,证明 lim
x ???

1 x f (t)dt ? A . x??? x ?0
上 可 积 , 证 明




b



f ( x)
2



g ( x)



[ a, b]

?a ? f ( x) ?

2

dx ? ? ? g ( x) ? dx ?
a

??

b

a

f ( x) g ( x)dx .

?

2

49.若函数 f ( x ) 在 [?a, a] 上可积,且为偶函数,证明 50.若函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积,证明函数 ?( x) ?

?

a

?a

f ( x)dx ? 2 ? f ( x) dx .
0

a

?

x

a

f (t )dt , x ?[a, b] 在 [a, b] 上连续.

51.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续,且 f (a) ? f (b) .若 ? 为介于 f ( a ) 与 f (b) 之间的 任何实数,则存在 x0 ?[a, b] ,使得 f ( x0 ) ? ? . 52. 若函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,证明函数 ?( x) ? 导,且

?

x

a

f (t )dt , x ?[a, b] 在 [a, b] 上处处可

d x ??( x) ? ? f (t )dt ? f ( x), x ?[a, b] . dx a
53.若数列 ?bn ? 有 lim bn ? ? ,则级数
n ??

? ?b
n ?1

?

n ?1

? bn ? 发散.
un ?1 ? q .证明级数 un

54.设

?u
n ?1

?

n

为正项级数,且存在常数 q ? (0,1) ,使得对一切 n ? 1 ,成立

5

?u
n ?1

?

n

收敛.
? ? ? un ?1 vn ?1 ? .级数 ? vn 收敛.证明级 un vn n ?1

55.设
?

?u
n ?1 n

n



?v
n ?1

n

为正项级数,且对一切 n ? 1 ,成立



?u
n ?1

也收敛.
? ?

56.设正项级数

? un 收敛.证明级数 ? un2 也收敛.试问反之是否成立?
n ?1 n ?1

57.设 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 ?nan ? 有界,证明级数
? ?

?a
n ?1

?

2 n

收敛.

58.设级数

?a
n ?1

2 n

收敛.证明级数

?n
n ?1

an

(an ? 0) 也收敛.

59.若 lim
?

? ? an ? k ? 0 ,且级数 ? bn 绝对收敛,证明级数 ? an 也收敛. 若上述条件中只知 n ?? b n n ?1 n ?1 ?

道级数

? bn 收敛,能推得级数 ? an 也收敛吗?
n ?1 n ?1

60.设 an ? 0 ,证明级数 61. S n ( x) ?

? ?1 ? a ??1 ? a ???1 ? a ? 收敛.
n ?1 1 2 n
? ?? ? ??

?

an

x . 证明在 ( ? ? , ? ? ) 内 S n (x) 1? n2 x2

0 , (n ??) .
n

62. 设 数 列 {an } 单 调 收 敛 于 零 . 试 证 明 : 级 数

?a

cosnx 在 区 间 [ ? , 2? ? ? ]

(0 ? ? ? ? ) 上一致收敛.
63. 几何级数

?x
n ?0

?

n

在区间 [?a , a ] (0 ? a ? 1) 上一致收敛;但在 (?1 , 1 ) 内非一致收敛.

64. 设 数 列 {an } 单 调 收 敛 于 零 . 证 明 : 级 数

?a

n

cosnx 在 区 间 [ ? , 2? ? ? ]

(0 ? ? ? ? ) 上一致收敛.
65. 证明级数

?x
n ?1

?

(?1 ) n?1
2

? n

在 R 内一致收敛 .

6

66. 证明函数 f ( x) ?

2n x n ? n! 满足微分方程 y?? ? y? ? 2 y ? 0, x ? R . n ?0
x ? 0, x ? 0.
证明对 ? n , f

?

? sin x , ? 67. 设 f ( x) ? ? x ?1 , ?
?

(n )

(0) 存在并求其值.

? ? xn xn 2 n?1 ? ? ln(1 ? x) , x ? [ ? 1 , 1 ) .并求级数 ? n 和 68. 证明: 幂级数 ? 的和函数为 ? n ?1 3 n n ?1 n n ?1 n

Leibniz 级数

(?1 ) n?1 ? n 的和. n ?1
?

69. 证明:幂级数
?

? nx
n ?1

?

n

的和函数为

? nx
n ?1

?

n

?

x , | x | ? 1 .并利用该幂级数的和函 (1 ? x) 2

? n ?1 nx2 n?1 数求幂级数 ? 的和函数以及数项级数 ? n ?1 的和. n 3 n ?1 2 n ?1

70. 证明幂级数
?

( ? 1 ) n x 2 n?1 ? 2n ? 1 的和函数为 arctgx ,并利用该幂级数的和函数求数项级数 n ?0
?

( ?1)n ? 2n ? 1 的和. n ?0
71. 设 f (x) 是以 2? 为周期的分段连续函数, 又

f (x) 满足

f ( x ? ? ) ? ? f ( x) . 求证 f (x) 的 Fourier 系数 满足 a0 ? 0, a2n ? b2n ? 0, n ? 1,2,?. 72. 设 f (x) 是以 2? 为周期的分段连续函数, 又设 f (x) 是偶函数,且满足 f ? x? ? f ? ? ? x? .
求证: f (x) 的 Fourier 系数 a2n?1 ? 0, n ? 1,2,?. 73.求证函数系 ? x, sin 2 x,?, sin nx??是 [0, ? ] 上的正交函数系. sin 74.设 f (x) 是以 2L 为周期的连续的偶函数。又设 f (x) 关于 x ? 傅立叶系数:

L 对称,试证: f (x) 的 2

1 L ?x ?? L f ( x) cos( 2n ? 1) L d x ? 0, n ? 1,2,3,? ? ? . L 75. 设 f (x) 是以 2? 为周期的可微周期函数,又设 f ?(x) 连续, a0 , an , bn (n ? 1,2,?) 是 f (x) 的 Fourier 系数.求证: lim an ? 0, lim bn ? 0 a 2 n ?1 ?
n?? n??

.

x? y 76. 证明极限 lim 不存在。 ( x , y ) ?( 0 , 0 ) x ? y

7

77. 用极限定义证明:

( x , y )?( 0, 0 )

lim

x? y x2 ? y2

? 0.

x2 y2 不存在. ( x , y )?( 0, 0 ) x 2 y 2 ? ( x ? y ) 2 79. 设 F ( x, y) ? f ( x), f (x) 在 x0 连续,证明:对 ?y 0 ? R, F ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 连续. 80. 证明:如果 f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 连续,且 f ( x0 , y0 ) ? 0 ,则对任意 r ? f ( x0 , y0 ) , ? ? ( P0 ;? ), 对一切 P( x, y) ? ?( P0 ; ? ), 有 f ( x, y) ? r.
78. 证明极限

lim

81. 证明: f ( x, y ) ? 82. 证明;

x 2 ? y 2 在点 (0,0) 处连续且偏导数不存在.

1 ? x2 ? y 2 ? 0 ? y sin 2 2 x ?y f ( x, y) ? ? ? 0 x2 ? y 2 ? 0 ? 在 (0,0) 点连续,且 f x (0,0) ? 0, f y (0,0) ? 0 不存在.
83. 证明

1 ? 2 2 ?( x ? y ) sin 2 f ( x, y ) ? ? x ? y2 ? 0 ?
在 点 (0,0) 处连续且偏导数存在.

x2 ? y 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 0

84. 设 函数 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在偏导数,若 ( x, y ) 属于该邻域,则存在

? ? x0 ? ?1 ( x ? x0 ) 和 ? ? y0 ? ? 2 ( y ? y0 ) , 0 ? ?1 ? 1,0 ? ? 2 ? 1, 使得 f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ? f x (? , y)( x ? x0 ) ? f y ( x0 ,?)( y ? y0 ) 。
85. 证明:

? xy ? f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 ? 0 ?
在点 (0,0) 不可微.
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 0 ,
2 2 2

86. 证明: 对任意常数 ? , ? , 球面 x ? y ? z ? ? 与锥面 x ? y ? tan 87. 证明: 以 ? 为参数的曲线族

? ? z 2 是正交的.

x2 y2 ? ?1 a?? b??
是相互正交的(当相交时).

( a ? b)

88. 证明: 由方程 z ? y ? x? ( z ) 所确定的隐函数 z ? z ( x, y ) 满足

? 2 z ? ? 2 ?z ? ? ? ( z) ? , ?x 2 ?y ? ?y ? ?
其中 ? 二阶可导.

8

89. 设 F (a) ?

? ln ?1 ? 2a cos x ? a ? dx , 证明
?
2 0

? 0, 若 a ? 1且a ? 0, ? F (a) ? ? 2 若 a ? 1. ?? ln a , ?
90. 证明含参量反常积分

?

??

0

sin xy dy y

在 ?? ,??? 上一致收敛 其中?>0 ,但在 ?0,+?? 内不一致收敛。 91. 证明含参量 a 的反常积分

?

?

?

??

0

e ? ax

cos x dx, xp

a ? 0, p ? 0 为常数

是一致收敛的. 92. 证明含参量 p 的反常积分

?
是一致收敛的.

??

0

sin x 2 dx, 1? x p

p?0

93. 若 f ( x ) 在 (0, ??) 内可积, 证明

a ?0

lim ? e? ax f ( x)dx ?? ?
0

??

??

0

f ( x)dx .

94.证明 ( 2x cos y ? y cos x )dx ? ( 2 y sin x ? x sin y )dy 在整个 XY 平面上是某个函数
2 2

的全微分, 并找出这样一个原函数. 95.设一力场为 F ? ( 3x y ? 8xy ) i + ( x ? 8x y ? 12ye ) j . 证明质点在此力场内移
2 2 3 2 y

动时, 场力所作的功与路径无关. 96.证明

? ?

L

ydx ? zdy ? xdz ? ? 3? a 2 , 其中 L 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 与平面

x ? y ? z ? 0 的交线 ( 它是圆周 ) , 从 X 轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.
97.证明

? 3zdx ? 5xdy ? 2 ydz ? 2? , 其中 L 是圆柱面 x ?
L

2

? y 2 ? 1 与平面 z ? y ? 3 的交

线(它是椭圆 ) , 从 X 轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向. 98.证明

?

L

( y ? z )dx ? ( z ? x)dy ? ( x ? y )dz = ? 2a( h ? a )? ,其中 L 是圆柱面
x z ? ? 1 ( a ? 0 , h ? 0 )的交线( 它是椭圆 ) , 从 X 轴的正向看去 , a h

x 2 ? y 2 ? a 2 与平面

此椭圆周呈逆时针方向. 99.证明:若 f ( x, y) 为有界闭区域 D 上的非负连续函数,且在 D 上不恒为零,则

9

?? f ( x, y)d? ? 0 .
D

100.证明二重积分

?? f ( xy )dxdy = ln 2 ? ?1
D

2

f ( x)dx ,其中 D ? {( x, y) | 1 ?

y ? 4, 1 ? xy ? 2} . x

101.设 f ? x ? 是 ? a, b? 上的正值连续, D ? D?0 ? x ? a,0 ? y ? a? ,则

102.设 f ? x, y ? 在 y ? a, x ? b, y ? x ? a ? b ? 所围区域 D 上连续,则

?? f ? y ?dxdy ? ?b ? a ? .
2 D
b b a y

f ? x?

?

b a

dx ? f ? x, y ?dy ? ? dy ? f ? x, y ? dx .
x a

103.证明

??? ? x
V

2

? y 2 ? z 2 ?dxdydz ?

1 2 ? 2 ? R5 ,其中 V 由 z 2 ? x2 ? y 2 , 5

?

?

x2 ? y2 ? z 2 ? R2 ? z ? 0? 所围成的有界闭区域.
104.证明 105.证明 的边界. 106.证明

?? ??

?

( x ? y ? z )dS ? ?? a 3 ,其中 ? 是左半球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 , y ? 0 。 ( x 2 ? y 2 )dS =

?
2

?

( 2 ? 1 ) , 其中 ? 是区域 { ( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z ? 1}

??
??

?

( xy ? yz ? zx)dS ?

64 2 4 a , 15

? 是锥面 z ? x 2 ? y 2 被柱面

x 2 ? y 2 ? 2ax 所截部分.
107.证明
?

( x ? y )dydz ? ( y ? z )dzdx ? (z ? x )dxdy ? 24h 3 , 其中 ? 是中心在原点 , 边

长为 2 h 的立方体 [ ? h , h ] ? [ ? h , h ] ? [ ? h , h ] 的边界.

108.证明 外侧.

x2 y2 z2 2 yzdzdx = abc ? , 其中 ? 是椭球面 2 ? 2 ? 2 ? 1的上半部分 , 积分沿 ??? 3 a b c

10


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