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数学分析试题库--证明题


数学分析题库(1-22 章)
五.证明题 1.设 A,B 为 R 中的非空数集,且满足下述条件: (1)对任何 a ? A, b ? B 有 a ? b ; (2)对任何 ? ? 0 ,存在 x ? A, y ? B ,使得 Y ? x ? ? . 证明: sup A ? inf B. 2.设 A,B 是非空数集,记 S ? A ? B ,证明: (1) sup S ?

max?sup A, sup B? ; (2) inf S ? min?inf A, inf B? 3. 按 ? ? N 定义证明

lim
n??

5n 2 ? n ? 2 5 ? n ?? 3n 2 ? 2 3

4.如何用ε -N 方法给出 liman ? a 的正面陈述?并验证| n 2 |和| (?1) n |是发散数列. 5.用 ? ? ? 方法验证:

lim
x ?1

x2 ? x ? 2 ? ?3 . x( x 2 ? 3x ? 2)

6. 用 ? ? M 方法验证:

x ? ??

lim

x x ?1 ? x
2

??

1 . 2
t ?a

7 . 设 lim ? ( x) ? a ,在 x0 某邻域 U?( x0 ; ? 1 ) 内 ? ( x) ? a ,又 lim f (t ) ? A. 证明
x ? x0

x ? x0

lim f (? ( x)) ? A .

8.设 f (x) 在点 x0 的邻域内有定义.试证:若对任何满足下述条件的数列 ?x n ?, (1) xn ?U ?( x0 ) , xn ? x0 , (2) 0 ? xn?1 ? x0 ? xn ? x0 ,都有 lim f ( xn ) ? A ,
n??

则 lim f ( x) ? A .
x ? x0

9. 证明函数

? x 3 , x为有理数, f ( x) ? ? ?0, x为无理数
在 x0 ? 0 处连续,但是在 x0 ? 0 处不连续.

1

10.设 f (x) 在(0,1)内有定义,且函数 e x f (x) 与 e ? f ( x ) 在(0,1)内是递增的,试证 f (x) 在(0,1)内连续. 11. 试证函数 y ? sin x 2 ,在 [0,?? ) 上是不一致连续的. 12. 设函数 f (x) 在(a,b)内连续,且 lim f ( x) = lim f ( x) =0,证明 f (x) 在(a,b)内有最
x ?a ? x ?b ?

大值或最小值. 13. 证明:若在有限区间(a,b)内单调有界函数 f (x) 是连续的,则此函数在(a,b)内是 一致连续的. 14 . 证明:若 f (x) 在点 a 处可导,f(x)在点 a 处可导. 15. 设 函 数 f ( x)在(a, b) 内 可 导 , 在 [a,b] 上 连 续 , 且 导 函 数 f ?(x) 严 格 递 增 , 若

f (a) ? f (b) 证明,对一切 x ? (a, b) 均有 f ( x) < f (a) ? f (b)
16. 设 函 数 f (x) 在 [a,??] 内 可 导 , 并 且 f (a) < 0 , 试 证 : 若 当 x ? (a,??) 时 , 有

f ?( x) > c> 0则 存 在 唯 一 的 ? ? (a,??) 使 得 f (? ) ? 0 , 又 若 把 条 件 f ?( x) > c 减 弱 为

f / ( x) > 0(a < x < + ) ? ,所述结论是否成立?
17. 证明不等式

ex ? 1 ? x ?

x2 2

( x ? 0)

18.设 f 为 (??, ? ?) 上的连续函数,对所有 x, f ( x) ? 0 ,且 lim f ( x ) ? lim f ( x) ? 0 ,
x??? x???

证明 f ( x ) 必能取到最大值. 19. 若函数 f ( x ) 在 [0, 1] 上二阶可导, 且 f (0) ? 0 , f (1) ? 1 , f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,则存在

c ? (0, 1) 使得 | f ??(c) |? 2 .
20. 应用函数的单调性证明

2x

? sin x ? x, x ? (0, ); ? 2

?

1 ? m ? x sin , x ? 0 21. 设函数 f ( x) ? ? ( m 为实数) , x ? 0, x?0 ?
试问:

2

(1) m 等于何值时, f 在 x ? 0 连续; (2) m 等于何值时, f 在 x ? 0 可导; (3) m 等于何值时, f ? 在 x ? 0 连续; 22. 设 f ( x ) 在 [0,1] 上具有二阶导数,且满足条件 f ( x) ? a , f ?? ( x) ? b , 其中 a, b 都是非负常数, c 是 (0,1) 内的任一点,证明

f ? (c ) ? 2 a ?

b 2

23. 设函数 f ( x)在[a, b] 上连续,在(a,b)内二阶可导,则存在 ? ? (a, b) 使得

f (b) ? 2 f (

a?b (b ? a) 2 ) ? f (a) ? f ??(? ) 2 4

24. 若 f (x) 在点 x0 的某个领域上有 (n ? 1) 阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项 推导佩亚诺型余项公式. 25. 用泰勒公式证明:设函数 f (x) 在 ?a, b? 上连续,在 ?a, b ? 内二阶可导,则存在 ? ? (a, b) , 使得

f (b) ? 2 f (

a?b (b ? a) 2 '' ) ? f (a) ? f (? ) . 2 4

'' 26. 设函数 f (x) 在 ?0,2? 上二阶可导,且在 ?0,2? 上 f ( x) ? 1 , f ( x) ? 1 .证明在 ?0,2? 上成



f '' ( x ) ? 2 .
27. 设 f 是 开 区 间 I 上 的 凸 函 数 , 则 对 任 何 ?? , ? ? ? I , f 在 ? , ? 上 满 足 利 普 希 茨 (Lipschitz)条件,即存在 L > 0 ,对任何 x , x ? ?? , ? ? ,成立
' ''

f ( x ' ) ? f ( x)'' ? L x ' ? x '' .
28. 设 f ( x ) 在 [a, ??]??(a ? 0) 上满足 Lipschitz 条件: | f ( x) ? f ( y) |? k | x ? y | , 证明

f ( x) 在 [ a, ??] 上一致连续. x
29. 试证明方程 x ? x
n n ?1

1 ? ??? ? x ? 1在区间 ( ,1) 内有唯一实根。 2
3

30. 设函数 f (x) 在点 a 具有连续的二阶导数,试证明:

lim
h ?0

f ( a ? h) ? f ( a ? h) ? 2 f ( a ) ? f '' ( a ) h2

31. 设 f (x) 在 (a,

b) 上可导,且
x ?a ? 0

lim f ( x) ? lim f ( x) ? A .
x ?b ? 0

求证:存在 ? ? (a, 32. 设 f (x) 在 [ a,

b) ,使 f ?(? ) ? 0 . b] 上 连 续 , 在 (a, b) 内 有 n 阶 导 数 , 且 存 在 n ? 1 个 点

x1 , x2 , ? , xn?1 ? (a, b) 满足:

(1) a ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? b (2)
求证:存在 ? ? (a,

f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f (b)
b) ,使 f ( n) (? ) ? 0 .

33. 设函数 f 在点 x0 存在左右导数,试证 f 在点 x0 连续. 34. 设函数 f 在 [ a, b] 上可导,证明:存在 ? ? (a, b) ,使得

2? [ f (b) ? f (a)] ? (b 2 ? a 2 ) f ?(? ) .
35.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:

b?a b b?a ? ln ? ,其中 0 ? a ? b . b a a
36.证明:任何有限数集都没有聚点. 37.设

?? a , b ?? 是一个严格开区间套,即满足
n n

a1 ? a2 ? ? ? an ? bn ? ? ? b2 ? b1 ,
且 lim ? bn ? an ? ? 0 .证明:存在唯一的一点 ? ,使得 an ? ? ? bn , n ? 1, 2,? .
n ??

38.设 ?xn ? 为单调数列.证明:若 ?xn ? 存在聚点,则必是唯一的,且为 ?xn ? 的确界. 39.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续,证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上一致连续. 40.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续, 证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上有界. 41.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续,证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上有最大值.

4

42.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续且单调增加,

? 1 x f (t )dt , x ? (a, b], ? F ( x) ? ? x ? a ?a ? f (a), x ? a, ?
证明 F ( x) 为 [ a, b] 上的增函数. 43.函数 f ( x ) 在闭区间 [0,1] 上连续.证明

?

?
2

0

f (sin x)dx ? ? 2 f (cos x)dx .
0

?

44.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上单调,证明 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积. 45.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续,且 f ( x ) 不恒等于零,证明

? ? f ( x) ?
b a

2

dx ? 0 .

46.设函数 f ( x ) 为 (??, ??) 上以 p 为周期的连续周期函数.证明对任何实数 a ,恒有

?
48.
b

a? p

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx .
0

p

47.若函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上连续,且 lim f ( x) ? A ,证明 lim
x ???

1 x f (t)dt ? A . x??? x ?0
上 可 积 , 证 明




b



f ( x)
2



g ( x)



[ a, b]

?a ? f ( x) ?

2

dx ? ? ? g ( x) ? dx ?
a

??

b

a

f ( x) g ( x)dx .

?

2

49.若函数 f ( x ) 在 [?a, a] 上可积,且为偶函数,证明 50.若函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积,证明函数 ?( x) ?

?

a

?a

f ( x)dx ? 2 ? f ( x) dx .
0

a

?

x

a

f (t )dt , x ?[a, b] 在 [a, b] 上连续.