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解读2014年新课程(四川安徽浙江)高考数学(文科)试卷(共46张PPT)


一、 2013年、2014年三省文理科考题知识与分值的关系
1、2014年三省文科考题知识与分值的关系
(注:()表示与该知识交汇)

2、考题形式与大题内容分布大致如表格所示:
3、特色解读

4、复习启示

基础知识 集合 复数 三角函数 立体几何 概率统计 解析几何 函数导数 数列

逻辑 算法 平面向量 不等式 推理证明

课时数 4 4 32 30 46 34 56 12 8 12 12 16 8

四川 题目 1,15 12 3,8,17 4 ,18 2,16 9,10,11,20 7,13,21, (19,15)
19

分值 10 5 22 17 17 28 24 12 5 5 5

安徽 题目 1 7,16 8,19 17 3,6,21 5,9, 11 , 14, 15,20 12,18 2 4 10 13(2,5) (10,20)

分值 5 17 18 12 23 38 17 5 5 5 5

分值 1 5 11 5 24 4,10,18 3,6,20(10) 25 14 4 23 5,17,22 7,8,15,21 19 2(6) 13 9,(22) 12,16 (1,7,15, 21) (21) 28 14 5 4 5 8

浙江 题目

6 14, (10) 5 , (1,,6 ,13,21) (20,21)

2、考题形式与大题内容分布大致如下:
四川 选择题 填空题 解答题 大题 1 大题 2 5×10=50 5×5=25 6 大题共 12× 4+13+14=75 16 概率,有放回古典概型 17 三角,单调区间、求值 安徽 5×10=50 5×5=25 6 大题共 12× 3+13× 3=75 16 三角,正余弦定理 K2 检验) 大题 3 大题 4 大题 5 大题 6 18 立几证垂直,找线∥面 19 证明数列及错位相减 20 解几椭圆性质 21 函数导数性质 18 构造数列,错位相减 19 立几证平行,求截面面积 20 函数导数性质 21 解几性质 20 立几证垂直,线面角正切 21 函数导数性质,证明不等式 22 解几抛物线性质 浙江 5×10=50 4×7=28 5 大题共 14× 2+15× 2+14=72 18 三角,解三角形

17 统计概率(直方图,古典概型, 19 等差数列

3.特色解读:

(1)文理卷所考查的知识点很类似,除文科不要求的外,基本上 做到“一一对应”,但顺序不同,难度也有所不同,文科较简单与 直接。 (2)选择题减少到10题,填空题增加到5题,填空题分值从4分提 升到5分。 (3)理科选修内容放在选择填空题中考查。 (4)注重变化,尤其是题目的呈现形式有较大变化,问题的设置 较有新意。 (5)大题顺序打破定势,如文科最后一题是求“离心率”,理科 把立体几何放在倒数第二。 (6)注重利用数学思想方法解题,尤其利用数形结合思想方法。 (7)加强推理论证训练,逻辑推理是数学的灵魂。

4、启示 福建近几年的考题形式稳定,文科选择题为12题,填空4题,解答 6题. 安徽、浙江、四川卷的形式与我省的文科卷形式大致相同,考查 形式与内容在变,但“新而不难”是大趋势,“形变而质不变”更是大 趋势。三省文科压轴题都是解析几何、函数导数,这与我省一致,但难 度稍有不同,我省较之简单一些。三省对主干知识的考查也是大致相同 的,从各个主干知识在试卷中所占的分值可以看出来,大题当中也有所 体现(除了浙江省对概率统计的考查只有 1题填空题),三省文科高考 对高考大纲中所要求的思想方法的考查也是别出心裁,尤其是对函数思 想、数形结合思想、化归与转化思想、方程思想、分类讨论思想、创新 意识的考查上,值得我们好好品味。

二、亮点扫描
(1)用运动变化的观点看问题 ——函数思想 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的 数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分 析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念 的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察 、分析和解决问题。 主要类型有:最值问题、优化问题、范围问题、恒成立问题及有解 问题等。

例 1.(2014·浙江文·10·本小题满分 5 分)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点

A 处进行射击训练,已知点 A 到墙面的距离为 AB ,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此
人为了准确瞄准目标点 P ,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小(仰角 ? 为直线 AP 与平面
? ABC 所成的角) ,若 AB ? 15 m , AC ? 25 m , ?BCM ? 30 ,则 tan ? 的最大值是(



A.

30 5

30 B. 10

4 3 C. 9

D.

5 3 9

M

P

B C 分析:求 tan ? 的最大值关键是求出 tan ? 关于变量 BP 的函数关系,然后转化为求函数最值 A PP? 解答:抓住线面角这个关键,过点 P 向 BC 作垂线 P? ,所求 tan ? ?

AP?

4 3 3 (20 ? x) ? 设 BP ? x , 则 tan ? ? , 由函数在 x ? [0, 20] 单调递减, 则 x ? 0 时, 最大值 ? 9 3 225 ? x 2

例题 2. (2014 四川理科 10)已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, 点 A ,B 在该抛物线上且位于 x 轴 的两侧, OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 A. 2 B. 3

分析:关键是将 ?ABO 与 ?AFO 面积关于变量的表达式,然后转化求函数最小值

17 2 C. 8

D. 10

1 解答:设直线 AB 的方程为: x ? ty ? m ,点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,又 F ( , 0) ,直线 AB 与 x 轴 4 的交点 M (0, m) (不妨假设 y1 ? 0 )

? x ? ty ? m ? y 2 ? ty ? m ? 0 ,所以 y1 y2 ? ?m 由? 2 ?y ? x 2 又 OA ? OB ? 2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ? ( y1 y2 ) ? y1 y2 ? 2 ? 0 因为点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,所以 y1 y2 ? ?2 ,故 m ? 2 1 1 1 9 2 9 2 ?2 y1 ? ? 3 于是 S ?ABO ? S ?AFO ? ? 2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? ? y1 ? y1 ? 2 2 4 8 y1 8 y1 9 2 4 当且仅当 y1 ? ? y1 ? 时取“ ? ” 所以 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 3 8 y1 3

例题 3(2014·浙江文·9·本小题满分 5 分) 设 ? 为两个非零向量 a 、 b 的夹角,已知对任意实数 t , | b ? ta | 的最小值为( A.若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 C.若 | a | 确定,则 ? 唯一确定 B.若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 D.若 | b | 确定,则 ? 唯一确定 )

分析:关键在于求出 | b ? ta | 关于 t 的函数 解答:通过平方 | b ? ta |2 转化为关于 t 的函数,而且是关于 t 的函数的二次函数

(2)以形助数,以数析形——数形结合思想 数形结合思想,就是指“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式 的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互 转化,使抽象思维和形象思维有机结合,应用数形结合思想,就是充分 考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示 其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问 题得到解决。

例题 1(2014·浙江文·10· (理·17)本小题满分 5 分) 如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练,已知点 A 刀枪面对而距 离为 AB ,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P ,需计算由点 A 观 察 点 P 的 仰 角 ? 的 大小 (仰 角 ? 为 直 线 AP 与 平 面 ABC 所 成的 角 ) , 若 AB ? 15 m , AC ? 25 m , ?BCM ? 30? ,则 tan ? 的最大值是( ) M A.

30 5

30 B. 10

4 3 C. 9

D.

5 3 9

P
B C

A PP? 分析:这题除了上面介绍的函数法外,同时我们也可以通过结合图象和题意,了解 tan ? ?

AP? PP? 随着点 P? 随着 P 从点 C 向点 B 移动过程中, PP? 在增加,而 AP? 先减小后增加, tan ? ? AP? 的趋势是先增加后减少,若有最值,一定在点 P? 与点 B 重合时最小。

例题 2(2014·四川文·9·本小题满分 5 分)设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定 点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P( x, y) ,则 | PA | ? | PB | 的取值范围是( A、 [ 5, 2 5] B、 [ 10, 2 5] C、 [ 10, 4 5] D、 [2 5, 4 5] )

分析:这题若用函数方法求解角麻烦,但通过数形结合容易发现 PA ? PB ,所以
2 2 | PA | ? | PB | 故 | PA | ? | PB |? ( | PA |?| PB |? 5 时取 “?” ) ?5 | PA |2 ? | PB |2 ?| AB |2 ? 10 , 2

, Pn 为平面 ? 内的 n 个点,在平面 ? 内的所有点中, 若点 P 到 P 则称点 P 为 P “中 , Pn 点的距离之和最小, , Pn 点的一个 1, P 2, 1, P 2, 位点” .例如,线段 AB 上的任意点都是端点 A, B 的中位点.则有下列命题: ①若 A, B, C 三个点共线, C 在线段上,则 C 是 A, B, C 的中位点;
例题 3(2013·四川理·15·本小题满分 5 分)设 P 1, P 2, ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A, B, C , D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是____________. (写出所有真命题的序号)
分析:此题看起来比较复杂,但若能结合图像,问题就迎刃而解。点 P 到 P 1, P 2,

, Pn 点中任意

两点 P 点 P, P 而且 P 点在线段 PP 以此类推, i , Pj 的距离之和最小时, i , Pj 三点一定共线, i j 之间,

, Pn 任意两点连线的公共点, 点那么点 P 即为 P 由此可见①④符合。 本题通过平面几何中 1, P 2, 两点间线段最短,考查学生逻辑推理能力,运算求解能力以及数形结合思想,题目富有创意, 解法巧妙,综合考查学生的分析问题、解决问题的能力。

例题 4(2014·浙江文·9·本小题满分 5 分) 9.设 ? 为两个非零向量 a 、 b 的夹角,已知对任意实数 t , | b ? ta | 的最小值为 1( A.若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 C.若 | a | 确定,则 ? 唯一确定 B.若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 D.若 | b | 确定,则 ? 唯一确定 )

分析:此题除了用函数思想以外,我们还可以借助数形结合思想寻找有另外一种解法,解法二:

1 利用向量的几何意义,数形结合也可得到 b ? ,两种解法分别从数与形的方面对向量的 sin ? C? C B OC ? b ? ta 模长进行转化,对考查学生的发散思维很有帮助。 OA ? a b OD ? ta
O
D

A

(3)化繁为简,化难为易——化归与转化思想 化归与转化的思想,就是将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分 析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换,化归为已知知识范 围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想。化归与转化的思想是解决 数学问题的根本思想,也是解决数学问题常用的思想之一。解题的过程实际 就是转化的过程。数学中的转化比比皆是,如:未知向已知的转化、数与形 的转化、空间向平面的转化、高维向低维的转化、多元向一元的转化,高次 向低次的转化等,都是转化思想的体现。通过不断的转化,把不熟悉、不规 范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

例题 1(2014·四川文·21·本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? bx ? 1,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 ??? 为自然对数的底数。 (Ⅰ)设 g ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅱ)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点,证明: e ? 2 ? a ? 1 。
分析:此题设计比较巧妙,第(Ⅰ)问与第(Ⅱ)环环相扣,步步推进。在第(Ⅰ)问当中对
1 ? 1 ? b , a ? ? 2 ? a 进行分类讨论得到 f ( x ) 的导函数 第 (Ⅱ) 问当中 f (1) ? 0 即 1 e, ? g ( x)= ?2a ? 2a ln(2a ) ? b, ? a ? 2 2 ? e ? e ? 2 a ? b , a ? ? 2 ?

a ? b ? e ? 1 ,隐含条件是 f (0) ? 0 ,由此可以用化归与转化思想将 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零 点等价转化为 f ( x ) 在区间 (0,1) 内至少有 2 个极值点, 即 g ( x) 在区间 (0,1) 内至少有 2 个零点,
? g (0) ? 1 ? b ? 0 1 e ? 由(1)可知, ? a ? ,且 ? g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ? 0 e ? 2 ? a ? 1 即可证明,这种解 ? ? 2 2 ? g (1) ? e ? 2a ? b ? 0 ? ?e ? a ? b ? 1 ? 0 法比原来的解法更加简洁。 此题与 2014 年厦门市高中毕业班适应性考试文科数学第 22 题第(Ⅲ)问有异曲同工之处。

例题 2(2014·四川文·19·本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2x 的图象上( n ? N ). (Ⅰ)证明:数列 {bn } 为等差数列;
?

1 (Ⅱ)若 a1 ? 1 ,函数 f ( x ) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ? ,求数列 ln 2 2 {anbn } 的前 n 项和 Sn 。
分析:此题(Ⅱ)问体现了化归与转化思想,将不熟悉的问题转化为熟悉问题,通过解决熟悉 问题将题目未知挖掘出来。解决此问的关键是将 f ( x ) 在点 (a2 , b2 ) 处的切线求出来,再把切线 的横截距求出来得到 a2 , 进 而 把 an 和 bn 求出来。由函数在点 (a2 , b2 ) 处的切线方程为

1 1 1 ? 2? 它在 x 轴上的截距为 a2 ? , 由题意可知 a2 ? y ? 2 ? (2 ln 2)( x ? a2 ) , ln 2 ln 2 ln 2 解得 a2 ? 2 是关键。
a2 a2

例题 3(2014 安徽文 8 理 7)一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是(



23 A. 3

47 B. 6

C. 6

D.7

分析:此题关键是将该几何体三视图转化为正方体去掉 两个角所形成的多面体。主要考查空间几何体的三视图 、几何体体积公式等知识,以及考查空间想象能力,考 法与2008年广东高考文数第7题有异曲同工之处。试题 难度中等,体现了大纲中对立体几何要求内容: (1)②能画出简单空间图形的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜 二侧画法画出它们的直观图。⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式。 此题若将求体积改为表面积,则难度会更大。在复习立体几何时,利用具体几何的模 型,让学生观察并画出它的三视图,培养学生空间想象能力以及运算求解的能力。对 与立体几何知识点交汇的知识点给与多一点的关注。尤其要注意到在三视图中的“虚 线,实线”表示的对象。

(4)研究运动中的等量关系——方程思想
方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或 方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去 分析、转化问题,使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认 识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。 主要类型:二次方程有解问题、方程有解问题、零点个数问题等。

例题 1 (2014 ·浙江·文· 16 ·本小题满分 4 分)已知实数 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c ? 0 ,

a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ,则 a 的最大值为为_______________. 分析:有三个参数,但有一个关系式,把 a 当做已知数,则可以消去一个参数,由二次幂就自
然联想到一元二次方程有解问题。
2 2 解答:利用二次函数(化为一元二次方程 ? ? 0 求解)两式消元 c ,得:2b ? 2ab ? 2a ? 1 ? 0 有解,则 ? ? 0 可以求出 a 的范围。

例题 2(2014·浙江·文·7·本小题满分 4 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,且

0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3 ,则( A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6

) C. 6 ? c ? 9 D. c ? 9

分析: f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? k ? f ( x) ? k 有三解 解答: f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? k ? f ( x) ? k 有三解,所以 f ( x) ? k ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)

f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? k , c ? f (0) ? 6 ? k 从而可以求出答案。

x2 y E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 例题 3 (2014· 安徽· 文· 22· 本小题满分 14 分) 设F 1 , F2 分别是椭圆 a b 3 E 于 A, B 两点, | AF1 |? 3| BF1 | ;若 cos ?AF2 B ? , 的左、右焦点,过点 F 1 的直线交椭圆 5 求椭圆 E 的离心率.
分析:求离心率.关键在于寻找出一个关于 a , c 的恒等式,然后转化为关于 a , c 的方程 解答: 结合椭圆的定义, 利用余弦定理, 可以得到一个关于 a , c 的恒等式, 然后可以求出 a ?

2

2c

(5)化整为零,积零为整——分类讨论思想

分类讨论思想,每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的 使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不 是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有 些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不同也会影 响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一 致的,即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若 干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想 ,称之为分类讨论思想。

例题 1(2014·安徽文·10·本小题满分 5 分) 设 a , b 为非零向量, b ? 2 a ,两组向量 x1, x2 , x3 , x4 和 y1, y2 , y3 , y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列 而成,若 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的夹角为
2

2 A. ? 3

? B. 3

解答:记 S ?

?x y
i ?1 i

4

? C. 6
i

D.0

,则它只有以下三种情况:由于 b ? 2 a
2 2 2

(1) S ? 2(a) ? 2(b ) ? 10(a)
2 2 2

(2) S ? 4a ? b ? 8(a) cos?
2 2

(3) S ? (a) ? 2ab ? (b ) ? 5(a) ? 4(a) cos ?

? 容易知道(2)最小,可以求出 a 与 b 的夹角为为 3

分析:此题考查向量数量积的定义、夹角公式等知识,以及考查抽象概括能力、逻 辑思维能力及分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及运算求解能力。此题虽 然有考查排列组合知识,感觉对于文科生来说是超纲了,其实不然,因为这不需要 借助排列组合公式,而是只需分类讨论思想,此题是借助向量数列积这个载体,来 考查学生逻辑推理能力、运算求解能力以及分类讨论思想。 比较: (2014·安徽理·15·本小题满分 5 分)已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1, x2, x3, x4, x5 和 y1, y2, y3, y4, y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成.记 S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5, Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编 号). ①S 有 5 个不同的值 ②若 a⊥b,则 Smin 与 a 无关
③若 a∥b,则 Smin 与 b 无关 ④若 b ? 4 a ,则 Smin>0

? ⑤若 b ? 2 a ,Smin= 8 a ,则 a 与 b 的夹角为 4
2

【评析】考查内容与文科一致,但考查的问题较多,分析的情况也较多。

略解:记 S ?

?x y
i ?1

4

i i

,则它只有以下三种情况:

? 2 ? 2 ?2 ? ? ? 2 ( 1) S ? 2(a) ? 3(b ) ( 2) S ? a ? 2a ? b ? 2(b ) ? ? ?2 ( 3) S ? 4a ? b ? b ?2 ① S 有 3 个不同的值;②若 a⊥b,则 Smin= b 与 a 无关; ? ? ?2 ? ? ?2 ③若 a∥b,则 S min ? 4 a ? b ? b 或 ? 4 a ? b ? b ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ④若 b ? 4 a , Smin ? 4a ? b ? b ? b ? 4 a ? b ? b ( b ? 4 a ) ? 0 ; ? ? ? ?2 2 ⑤若 b ? 2 a , Smin= 4a ? b ? b = 8 a ,则 a 与 b 的夹角为 ; 3
故②④正确。

例题 2(2014·安徽文·20·本小题满分 13 分)
2 3 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x ? x ,其中 a ? 0 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性;

(Ⅱ)当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值.
分析:此题主要考查导数的运算、函数的单调性、二次函数零点等知识,以及考查分类讨论、 等价转化、数形结合思想、运算求解能力等,属于中档题。在第(2)问由于极值点是变化的, 区间是定的,需要分类讨论极值点与区间端点的大小才能得到最值时的 x 的值.

例题 3(2014·浙江文·21·本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3 x ? a (a ? 0) ,若 f ( x ) 在 [?1,1] 上的最小值记为 g (a ) . (Ⅰ)求 g (a ) ; (Ⅱ)证明:当 x ?[?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a) ? 4 . 分析:此题主要考查导数的运算、函数的单调性及最值、含绝对值函数等知识,以及考查分类 讨论、数形结合思想、运算求解能力等,属于中档题。在第(Ⅱ)问中的恒成立问题需要结合 第(Ⅰ)问的过程,与上一例四川文科 21 题思路相似,但比较容易些。虽然近几年的福建省的 高考中虽然没有这类型的题目出现,但此类型题是考查分类讨论思想的一个很好的载体,值得 我们关注。

(6)由特殊到一般,揭露数学本质——创新意识
创新意识,是理性思维高层次表现,是对数学问题的“观察、猜测、 抽象、概括、证明”,是发现问题的重要途径。对数学知识的迁移、组 合、融汇程度越高,显示出的创新意识就越强,可见创新意识对学生的 数学素养要求较高。

例题 1 (2014· 安徽文· 12· 本题满分 5 分) 如图, 在等腰直角三角形 ABC 中, 斜边 BC ? 2 2 , 过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A 1 ;过点 A 1 作 AC 的垂线,垂足为 A2 ;过点 A2 作 AC 1 的垂线, 垂足为 A3 ;?,以此类推,设 BA ? a1 , AA1 ? a2 , A 1A 2 ? a3 ,?, A 5A 6 ? a7 ,则 a7 ? _____. A A2 A4 A6 C

1 a7 ? 分析:求出 a2 , a3 , a4 , a5 ,猜出等比数列,可求出 4 此题综合考查了归纳推理、等比数列 定义及其通项公式,通过对图形的分析得到 an 的数量关系呈等比数列的形式,进而得到 a7 的
值。体现了考试大纲中对数列要求内容第(2)③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或 等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。

B

A1

A3 A5

例题 2(2014 安徽理 19)如图,已知两条抛物线 E1 : y 2 ? 2 p1 x( p1 ? 0 )和 E 2 : y 2 ? 2 p2 x ( p2 ? 0 ) ,过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 , l1 与 E1 , E 2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E 2 分别交于 B1 , B2 两点. (1)证明: A1 B1 ∥ A2 B2 ; (2)过 O 作直线 l (异于 l1 , l 2 )与 E1 , E 2 分别交于 C1 , C 2 两

S1 点.记 ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 的面积分别为 S1 与 S 2 ,求 的值. S2
知识立意:直线与抛物线的位置关系、向量共线的坐标运算、 向量模的求法、平面几何中三角形相似的性质。 能力立意:求直线与抛物线的交点坐标,考查运算求解能力; 将证明直线平行转化为向量共线、面积之比转化为相似比的 平方,考查分析问题解决问题的能力

? y ? k1 x , 解答: (1) 证: 设直线 l1 ,l 2 的方程分别为 y ? k1 x ,y ? k 2 x( k 1 ,k 2 ≠0) , 则由 ? 2 ? y ? 2 p1 x, 2 p1 2 p1 2 p2 2 p2 2 p1 2 p1 ? y ? k1 x , 得 A1 ( 2 , 得 A2 ( 2 , ) ,由 ? 2 ) , 同 理 可 得 B1 ( 2 , ) , y ? 2 p x , k1 2 k1 k1 k1 k2 k2 ? 2 p2 2 p2 2 p1 2 p1 2 p1 2 p1 1 1 1 1 B2 ( 2 , ) .所以 A1 B1 ? ( 2 ? 2 , ? ) ? 2 p1 ( 2 ? 2 , ? ) , k1 k2 k2 k2 k1 k 2 k 2 k1 k 2 k1 2 p2 2 p2 2 p2 2 p2 p1 1 1 1 1 A2 B2 ? ( 2 ? 2 , ? ) ? 2 p2 ( 2 ? 2 , ? ) .故 A1 B1 ? A2 B2 , k2 k1 p2 k2 k1 k 2 k1 k 2 k1 所以 A1 B1 ∥ A2 B2 (2)解:由(Ⅰ)知 A1 B1 ∥ A2 B2 ,同理可得 B1C1 ∥ B2 C 2 ,C1 A1 ∥ C 2 A2 ,所以 ?A1 B1C1 ∽ ?A2 B2C2 ,

? AB ? A1 B1 p1 p1 S1 p12 S1 ? 1 1 ? ? 因此 ,故 ? 2 . ?? ? .又由(Ⅰ)中的 A1 B1 ? p A2 B2 知 p2 S 2 p2 S2 ? A B ? A2 B2 2 2 2 ? ?

2

例题 3(2014·安徽文·15·本小题满分 5 分)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (i ) 直线 l 在点 P?x0 , y0 ?处与曲线 C 相切; (ii ) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线 l : y ? 0 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? x 2 ②直线 l : x ? ?1 在点 P?? 1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ( x ? 1)2 ③直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? tan x

⑤直线 l : y ? x ? 1 在点 P?1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ln x

知识立意:函数导数的几何意义,运算公式、切线方程 能力立意:运算求解能力、抽象概括能力、考查分析问题解决问题的能力 评析:此题本质是函数拐点处的切线的几何意义,属于大学内容,但又可以用中学 的导数和切线知识去解释,考查学生的创新意识与数学素养。若学生明白函数拐点 定义,此题就迎刃而解了。看来还是要重视高观点下的中学试题。 不过在“数学思想方法”教学过程中尽量要克服“空洞与抽象”,不要为方法而方 法,不要挖得太深,应该渗透式教学,应该循序渐进,对数学成绩比较好的同学可以多 方法教学,对成绩一般的要淡化,尤其在高三下复习阶段。

三、 2015年复习启示
福建省2014年高考数学特点: ⑴结构合理,重视基础。试卷结构基本保持不变,重视对基本知识 的考查,尤其是课本当中的一些定义、定理的考查。如福建省 2014年文科数学第21题第(Ⅰ)问。 ⑵重视主干知识的考查,突出学科能力。课本中的主干知识的考查 分值占了80%左右,如:数列、三角、立体几何、概率统计、解析 几何、函数与导数等6大主干知识,。 ⑶稳中求变,适度创新。试题整体是比较平稳的,但不乏一些创新 ,如第16题对逻辑推理结合分类讨论思想的考查题目比较新颖。

备考启示:
⑴以《考试大纲》及《考试说明》为依据,明确备考复习目的。 通过仔细研读《考试大纲》及《考试说明》,明确考试范围、 命题原则、试题难度系数、试卷结构等,切实把握主干知识和核心 知识的深浅度,以便更好地开展我们的复习备考工作。 ⑵夯实基础,加强变式、加强推理论证训练. 基础知识和基本能力是高考重点考查内容,狠抓课本的定义、 定理及公式的掌握及其应用的过关,不留知识死角,反复抓、抓反 复,不贪图快,以学生掌握扎实为主,指导学生重视基础知识的全 面、准确的把握。同时也注重知识点的变式训练,加强学生对知识 点的理解。

⑶突出主干,梳理知识,建构知识网络体系 加强对主干知识的复习,主干知识脉络要梳理完整、清 楚。可以借助知识结构图帮助学生建构完整的知识网络。 ⑷总结常见题型,形成良好的答题规范 通过教师钻研总结常见题型,尤其是主干知识常考题型 ,总结各题型解题规范,培养学生良好的答题规范,真正做 到答题有依据,书写有规范,以不变应万变。

⑸重视知识点的交汇,提高学生综合分析能力 《考纲》考查要求“从学科的整体高度和思维价 值的高度考虑问题,在知识网络交汇点设计试题, 使对数学基础知识的考查达到必要的深度。”这就 要求我们掌握学科内知识点间的常见交汇题型,通 过分析引导学生掌握此类题型的一个解题思路。

⑹注重深化拓展和迁移,培养创新意识 《考纲》中对创新意识的考查要求“在考试中创设新 颖问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题时,注重 问题多样化,体现思维的发散性”,常见类型主要有大学 知识的下放及改造,以及对中学内容的一个重新定义等。 了解一定的高等数学知识对解决中学问题有很大的帮助, 很多创新题的设计背景源于高等数学,从高观点的角度来 指导中学数学的解题,更能做到一题多解,发散思维,进 而提高学生的数学素养。

(7)加强“数学思想方法渗透”
在高三复习过程中务必加强“数学思想方法渗透”,高考试题十分重 视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都 蕴含着重要的数学思想方法,从2014年四川、安徽、浙江高考卷可以看出 来数学思想的重要性。

四、 往题欣赏
1.(厦门市 2014 届高三质量检查文数·12·本题满分 5 分) 在直角坐标系 xoy 中,一个质点从 A(a1 , a2 ) 出发沿图中路线依次经过 ,按此规律一直运动下去,则 3 5 E A.1006 B.1007 C.1008 D.1009 4 D 【提示】A 此题主要通过观察归纳得到 3 C a2013 ? 1006, a2014 ? 1007, a2015 ? ?1007 , B 2 其中 a2014 是突破口。 1 A

B(a3 , a4 ) , C (a5 , a6 ) , D(a7 , a8 ) , ) a2013 ? a2014 ? a2015 ? (

-5 -4 -3 -2 -1 O

1

2 3

4 5 x

2.(厦门市 2014 届高二质量检查文数·16·本题满分 5 分)

n 任给定一个正整数 n ,规定一种运算法则:若它是偶数,则将它减半(即 ) ; 2
若它是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n+1) 。根据此运算,某正整数 n,经过 5 次 这样的变换后的结果为 1,则 n 的所有可能值 的和为 ..... 提示:本题考查逻辑推理能力,采用逆推的思维方法不难可以求出答案为 41

3.(2013 安徽高考数学理.8.本题满分 5 分)

函数 y =f (x) 的图像如图所示,在区间 ? a,b ? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn ,

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是( 使得 x1 x2 xn
(A) ?3,4? (B) ?2,3,4? (C)

y

)

?3,4,5?

(D) ?2,3?

O

a

b

x

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) f (x) = = 【提示】由解析知道 表示过原点直线的斜率,再有 知道,可将问 x x x x 1 2 n
题化归为求“符合到原点斜率相等的点有几个” ,若知道这些就不难解决问题了。 【答案】B

4.(2014 年厦门市高中毕业班适应性考试文数·12·本题满分 5 分) 若平面点集 M 满足:任意点 ( x, y ) ? M ,存在 t ? (0, ??) ,都有 (tx, ty) ? M ,则称该点集 M 是“ t 阶稳定”点集.现有四个命题: ①对任意平面点集 M ,都存在正数 t ,使得 M 是“ t 阶稳定”点集;

1 ②若 M ? ?( x, y ) x ? y? ,则 M 是“ 阶稳定”点集; 2 2 2 ③若 M ? ?( x, y ) x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0? ,则 M 是“ 2 阶稳定”点集;
2 2 2 ④若 M ? ( x, y ) x ? 2 y ? 1 是“ t 阶稳定”点集,则 t 的取值范围是 ? 0,1? .

?

?

其中正确命题的序号为 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 【提示】C 主要考查学生的创新意识,对新定义的“ t 阶稳定”点集定义的认识,直接运用 定义去判断即可。

5.(2012 年福建省高考理科 10)

x1 ? x2 1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 则 函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 f ( 2 2
称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f (x)在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的;②f(x)在[1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3];

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 )+f ( x3 )+f ( x4 ) ? ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1 ,3 ],有 f ( 4 2
其中真命题的序号是( )A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【提示】考查函数的凹凸性 结合凹函数图象容易判断①与②错误,③正确

6.(厦门市 2014 届高三质量检查文数·21·本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? e x ? ax, g ( x) ? xf ( x) ,设曲线 y ? g ( x) 在点 (?1, g (?1)) 处的切线为 l ( e 是自然对数的底数).(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? g ( x) 图象上与

l 平行的切线 l ? 的方程,并判断 l ? 与曲线 y ? f ( x) 是否存在公共点(若存在,请求出公共点的 个数,若不存在,请说明理由) .(参考数据: ln 2 ? 0.69 , ln 3 ? 1.09 )

2 ? y ? 2 x ? (ln 2) ? 2 ? 【提示】( Ⅰ) 分类讨论思想; (Ⅱ)先求 l : y ? 2 x ? (ln 2) ,再联立 ? 转化 x ? ? f ( x) ? e ? x x 2 x 2 为方程 e ? 3x ? (ln 2) ? 0 根的个数问题,再回归到函数 h( x) ? e ? 3x ? (ln 2) 零点个数问

题,从而得到没有公共点的结论。

7.( 2014 年厦门市高中毕业班适应性考试文数· 22·本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ex ? ax2 ? bx ? c ( a, b, c ? R , e ? 2.718 是自然对数的底数) , 曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程为 y ? x ? 1 . (Ⅰ)求 b 与 c 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若方程 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 有唯一的实数解,求 a 的值;

?

?

(Ⅲ)当 a ? 2 时,证明:函数 f ? x ? 在 ?0,3? 上有且仅有两个极值点,并求 f ? x ? 在 ?0,3? 上的最 大值 . 2 3 4 (参考数据: e ? 7.39 , e ? 20.09 , e ? 54.60 ) 【提示】 (Ⅰ) b ? 0, c ? 0 (Ⅱ)利用分离参数法转化成对应函数交点个数,再利用导数画出

e2 函数图象,运算数形结合思想进行判断即可, a ? ; (Ⅲ)将 f ? x ? 在 ?0,3? 上有且仅有两个 4 3 极值点等价转化为其导函数在 ?0,3? 有且仅有两个零点即可证明, fm a x ( x) ? f (3) ? e ?18


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