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安徽省淮北一中2012-2013学年度高二期中数学试题卷


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淮北一中 2012-2013 学年度高二期中数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选

项中,只有一项
是最符合题目要求的。 )

x ?1 ? 1.设集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? x | ? 0? ,则 A ? B = ? ? x?4 ? A. ? B. (3,4) C. (?2,1)
2.直线 x+y+1=0 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 的位置关系是 A.相交 B.相离 C.相切 3.设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立的是 ....

D. (4,??) D.不能确定

1 1 ? )?4 a b 2 2 C. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b
A. (a ? b)(

B. a ? b ? 2ab
3 3

2

D. | a ? b | ?

a? b

? x ? y ? 2 ? 0, ? 4.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?
A. 4 2 5.已知函数 f ( x) ? A. [?1,1] B.4 C .2 2 D.2

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是 2 2 2 2 2 B. [? C. [?1, D. [?1,? ,1] ] ] 2 2 2

6.有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为 2 2 2 2 2 2 3 正视图 A.4+ 1 侧视图 B.4+ 1 俯视图

5? 2

3? 2

C.4+

? 2

D.4+ ?

7.定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等比数列, 则称 f ( x) 为“保等比数列函数”。现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? x ;
2

② f ( x) ? 2 ;
x

③ f ( x) ? | x | ;

④ f ( x) ? ln | x | 。 D.②④

则其中是“保等比数列函数”的 f (x ) 的序号为 A.①② B.③④ C.①③
2 2

8.设 CD 是△ABC 的边 AB 上的高,且满足 A. A ? B ?

?
2

CD CD ? ? 1 ,则( ) AC 2 BC 2 ? ? B. A ? B ? 或 A ? B ? 2 2

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C. A ? B ?

?
2

或B? A?

?
2

D. A ? B ?

?
2

或 | A ? B |?

?
2

9.等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和, a1 =-2013, A.-2012 B.2013
2

S10 S 8 ? ? 2 ,则 S 2013 = 10 8
D.-2013

C.2012

10.已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? m x,若对于任一实数 x , f ( x ) 与 g ( x) 的值 至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之 比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 。 12.设 A(a,1), B(2, b),C (4,5) 为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影 相同,则 a 与 b 满足的关系式为 。 13.已知数列 {an } 是非零等差数列,又 a1 , a3 , a9 组成一个等比数列的前三项,则 是 。 14.给定下列命题: 1 1 ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形的面积为 ; 2 2 ②若 ? 、 ? 为锐角, tan(? ? ? ) ? ?3 , tan ? ?

a1 ? a3 ? a9 的值 a 2 ? a 4 ? a10

1 3? ,则 ? ? 2 ? ? ; 2 4 ③若 A 、 B 是△ ABC 的两个内角,且 sin A ? sin B ,则 BC ? AC ; 2 2 2 ④若 a, b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对边的长, a ? b ? c ? 0 ,则△ ABC 一定是钝
角三角形. 其中真命题的序号是 .

15.已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 :y=

8 (m>0),直线 l1 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于点 2m ? 1

A,B , 直线 l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度 分别为 a 和 b 。当 m 变化时,

b 的最小值为 a

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
16.实数 a, b 是分别从集合 A={1,2,3,4}中随机抽取的元素,集合 B= {x | x ? ax ? b ? 0}.
2

(1)写出使 B ? ? 的所有实数对 ( a, b) (2)求随机抽取的 a 与 b 的值满足 B ? ? 且 B ? A 的概率。

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17.已知: A, B, C 是 ?ABC 的内角, a, b, c 分别是其对边长,向量 m ?

n ? (cos(

?
2

? 3, cos?? ? A? ?1? ,

? A),1) , m ? n .
(Ⅱ)若 a ? 2, cos B ?

(Ⅰ)求角 A 的大小;

3 , 求 b 的长. 3

18 . 如图 ,在 四棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平面A B CD, AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60? , 且 PA ? AB ? BC ,E 是 PC 的中点. (1)证明: CD ? AE ; (2)证明: PD ? 平面ABE ; P

E A

D B

C

x 2 ? (1 ? p) x ? p ( p ? 0) 2x ? p (1)若 p >1 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 2 对 2 ? x ? 4 时恒成立,求 p 的范围。

19.已知 f ( x) ?

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20.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7n mile 以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55n mile 处有 一个雷达观测站 A, 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2 n mile 的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? ? ? (其中 sin ? ?

26 , 26

0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 n mile 的位置 C.
(I)求该船的行驶速度(单位:n mile /h); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由. 北

A



21.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 {bn } 是等差数列。 (3) (理)证明:

a n 1 a1 a2 n ? < ? ? ? ? n < ,( n ? N ? ) 2 3 a 2 a3 an?1 2

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淮北一中 2012-2013 学年度高二期中数学答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求 的。 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B C A C D D B 二、填空题:本大题 共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 13 11. 60 . 13. 4a ? 5b ? 3 , 13. 1或 . 16 14. ② ④ ③ 15. . 8 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (1) ?

? a 2 ? 4b ? 0, 即 ? ? a 2 ? 4b ,则 B ? ? 时
1 4
……12 分

(a,b)是: (2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)……6 分 (2) (a,b)共有 16 组,其中满足条件有: (2,1) (3,2) (4,3) (4,4)4 组,P= 17. 解:(Ⅰ)

m ? 3, cos?? ? A? ? 1 = 3,? cos A ? 1 ……1 分 ? ?? ? ? n ? ? cos? ? A ?,1? = ?sin A,1? ……2 分 ? ? ? ? ? ?2 ?? 1 ? ∵ m ? n ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? 0 ……4 分? sin? A ? ? ? ……6 分 6? 2 ? ? ? 5? ? ? ? ? A? ? ,? A ? ? , ……7 分? A ? .……8 分 ∵ 0 ? A ? ? ,? ? 6 6 6 6 6 3 ? 3 (Ⅱ)在 ?ABC 中, A ? , a ? 2 , cos B ? 3 3 a b 1 6 ? , ……10 分 ……9 分由正弦定理知: ? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ? sin A sin B 3 3 6 2? a sin B 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 ……12 分 =? ?b ? sin A 3 3 3 2 PA ? CD .∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . 18. 故


?

??

?

AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE .……5 分

P

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A B

D

C

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AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA . ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC . 由(1)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD . 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD . ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD . 又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE .……12 分
19. 解:(1) f ( x) ?

(Ⅱ)证明:由 PA ?

( x ? p)( x ? 1) ? 0 ·····································1 分 ····································· ···································· 2x ? p

① 1 ? p ? 2 时,解集为{x | ? p ? x ? ?1 或 x ? ? } ·················· 3 分 ·················· ·················· ② p = 2 时,解集为 {x | x ? ?2 且 x ? ?1} ·························· 分 ························· 5 ························· ③ p > 2 时,解集为 {x | ? p ? x ? ? (2)

p 2

p ····················· 7 ····················· 或 x ? ?1} ······················ 分 2

x 2 ? (1 ? p) x ? p ?2 2x ? p
································· ································· x2 ? (1 ? p) x ? p ? 4x ? 2 p ································· 8 分 ∴ x ? ( p ? 3) x ? p ? 0 对 2 ? x ? 4 恒成立
2

3x ? x2 2 ·················· 9 ·················· ? ?( x ? 2) ? 对 2 ? x ? 4 恒成立 ··················· 分 x ?1 x ?1 2 ∵ g ( x) ? ?( x ? 2) ? ························ ······················· 在 [2 , 上递减························10 分 4] x ?1 ∴ g ( x)max ? g (2) ? 2 ···································· 11 分 ···································· ····································
∴ p? ∴p > 2 ·············································12 分 ············································· ············································ 20. 解: (I)如图,AB=40

2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?
=

26 . 26

由于 0

?

? ? ? 90? ,所以 cos ?

1? (

26 2 5 26 ) ? . 26 26

AB2 ? AC2 ? 2 AB?AC? ? ? 10 5. cos 10 5 ? 15 5 (海里/小时). 所以船的行驶速度为 2 3
由余弦定理得 BC= (II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D.

2 AB=40, 2 ? x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45 ? ? ) ? 30 ,
由题设有,x1=y1=

13sin(45? ? ? ) ? 20. 20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k= 10
y2=ACsin ?CAD ? 10 高二数学试题 第 6 页 共 4 页 轻松日赚 100 元,加入兼职完全免费,注册立即送 20 元!任务奖励 10 元/个,发帖奖励 3 元/帖,每天登陆奖励 3 元! 详情:http://www.xiguajz.com/?dt58fa224222

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| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

解法二:

如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = = 2 AB ? BC 10 2 ? 40 2 ? 10 5

.

从而 sin ?ABC

? 1 ? cos2 ?ABC ? 1 ?

9 10 ? . 10 10
40 2 ? 10 10 ? 40. 2 2 10 ? 2 10

AB sin ?ABC ? 在 ?ABQ 中,由正弦定理得,AQ= sin(45? ? ?ABC )
? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP 在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE = 15 ? 所以船会进入警戒水域. 21.(1)解:? an?1

? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45? ? ?ABC)

5 ? 3 5 ? 7. 5

? 2an ? 1(n ? N * ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),


??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
an ? 2n ? 1(n ? N ? )
b ?1 b2 ?1

? an ? 1 ? 2n.
(2)证明:? 4 1

4

...4bn ?1 ? (an ?1)bn ,
① ②

? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn , ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1. ② -① ,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ ④ nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ④ -③ ,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

??bn ? 是等差数列。

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),
ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, (理) (3)证明:? 1 ak ?1 2 ? 1 2(2k ? ) 2 2 an a1 a2 n ? ? ? ... ? ? . a2 a3 an?1 2
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ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2

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