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黑龙江省哈九中2013届高三第四次模拟考试数学理试题 Word版含答案


黑龙江哈尔滨市第九中学 2013 届高三第四次模拟考试 数学(理)试卷
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在下列各题的四个选项中,只有一项是最符 合题意的) 1. 定义 A ? B ? { x | x ? A且x ? B} ,已知 A ? {2,3}, B ? {1,3,4} 。则 A ? B ? A

. {1,4} B. {2} C. {1,2} C. ?4 D. {1,2,3}
x? y





2.已知 x, y ? R ,为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? ?1 ? i ,则 (1 ? i) A. 4 B. 4 ? 4i

的值为 D. 2i





3. 设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 A.

1 9

B.

1 8

S S4 1 ? ,则 8 等于 S8 3 S16 1 C. 3





D.

3 10
( )

4.已知 a, b, c, d 是实数,则“ a ? b 且 c ? d ”是“ a ? c ? b ? d ? b ? c ? a ? d ”的 A.充分不必要条件
n

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.设函数 f ( x) ? ( x ? a) ,其中 n ? 3 中 x 的系数为 A. ?240
2

??

2?

? sin(? ? x)dx , f (0) ? ?3 ,则 f (x) 的展开式 f (0)
( )

B. ?60

C. 60

D. 240 ( )

6. 过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是 A. [?

? ?

, ] 6 6

B. [ ,

? 5?
6 6

]

C. [0,

?
6

]?[

5? ,? ) 6

D. [

? ?

? 5? , )?( , ] 6 2 2 6
( )

7.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 12 ? 3 C. 10 ? 2 3 B. 10 ? 3 D. 11? 3

8. 执行如图的程序框图,若输出的 n ? 5 ,则输入整数 p 的最 . 小值是 .. A. 15 9.已知 ? , ? ? [ ? ( B. 14 ) C. 7 D. 8 开始 输入 p

? ?

, ] ,且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 , 2 2

n ? 1,S ? 0

则下列不等式一定成立的是( ) A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? ? 0 D.

S? p?




?2 ? ?2

10.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人, 乙、丙组至少各一人,则不同的分配方案的种数为( )

S ? S ? 2n?1
n ? n ?1

输出 n 结束

A.80

B.120

C.140

D.180

11. 中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 e , 直线与双曲线 C 交于 A, B 两点, 线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 上,且 M 到抛物线焦点 的距离为 p ,则直线的斜率为( ) A. e 2 ? 1

B. e 2 ? 1 C. D. 2 2 ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? 12.已知向量 ? , ? , ? 满足 | ? |? 1 , | ? ? ? |?| ? | , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确定的 ? , | ? | 的 ?? 最大值和最小值分别为 m, n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是 ( A.

e2 ? 1

e2 ?1

)

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
x?1 ? 2 x ? 2, ? 13.函数 f ( x ) ? ? 2 的图象与函数 g ( x) ? ln ? x ?1? 的图象的公共点个数 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1 ?
是 个。

?x ? y ? 2 ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,且 x ? 2 y ? a 恒成立,则 a 的取值范围为 ?x ? 1 ?
15. 已知数列 {a n } 的首项 a1 ? 2 ,且对任意的 n ? N ? 都有 a n ? 1 ? 则 a1 ? a 2 ? ? a 2013 ? 。



1 ? an , 1 ? an

16. 下列说法正确的是 。 (1)从匀速传递的产品生产流水线上,质检人员每 20 分钟从中抽取一件产品进行检测, 这样的抽样方法为分层抽样; (2)两个随机变量相关性越强,相关系数 r 的绝对值越接近 1,若 r ? 1或 r ? ?1时, 则 x 与 y 的关系完全对应(即有函数关系) ,在散点图上各个散点均在一条直线上; (3)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; (4)对于回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 ,当 x 每增加一个单位时, y 平均增加 12 个单位; (5)已知随机变量 X 服从正态分布 N (1, ? 2 ) ,若 P ( x ? 2) ? 0.72 ,则 P ( x ? 0) ? 0.28 。
^
^

三、解答题(本题共 6 小题, 17-21 题每题 12 分,选做题 10 分,共 70 分)
17.(本小题共 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a cos B ? b cos A ? b 。 (1)求证 B ? C ; (2)若 ?ABC 的平分线交 AC 于 D ,且 sin

BD A 3 的值。 ? ,求 DC 4 5

18.(本小题共 12 分) 哈尔滨市第一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析, 规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后, 得到如下的 2? 2 列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀 的概率为

3 。 11
优秀 甲班 乙班 合计 10 30 110 非优秀 合计

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进 行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽 到 9 号或 10 号的概率。 参考公式与临界值表: K 2 ?

n(ad ? bc ) 2 。 (a ? b)( c ? d )( a ? c )( b ? d )

p( K 2 ? k 0 )

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

k0

19.(本小题共 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,顶点 P 在底面 ABCD 内的射影恰好落在 AB 的中点 O 上,
o : 又 ?BAD ? 90 , BC / / AD 且 B C: A B

A? 1 : 2 : 2 D

(1)求证: PD ? AC ; (2)若 PO ? BC ,求直线 PD 与 AB 所成角的余弦值; (3)若平面 APB 与平面 PCD 所成的角为 60 ,求
o

PO 的值。 BC

P A

D

B

C

20.(本小题共 12 分) 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F (1,0) ,点 P 是点 F 关于 y 轴的对称点, 过点 P 的直线交抛物线于 A, B 两点。 (1)试问在 x 轴上是否存在不同于点 P 的一点 T ,使得 TA, TB 与 x 轴所在的直线所成 的锐角相等,若存在,求出定点 T 的坐标,若不存在说明理由。 (2)若 ?AOB 的面积为

5 ,求向量 OA, OB 的夹角; 2

21. (本小题共 12 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 。 (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)设 F ( x) ? ax ? f ?( x) (a ?R) ,讨论函数 F ( x) 的单调性;
2

(3)斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ?( x) 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点,

1 ? x2 。 k 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请 写清题号。
求证: x1 ? 22. (本小题共 10 分) 如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, AD ? CE ,垂足为 D , AC 平分 ?BAD。 (1)求证:直线 CE 与圆 O 的相切; (2)求证: AC 2 ? AB ? AD 。

23. (本小题共 10 分)

? x ? a cos ? 。在以 O 为原点, (1 ? a ? 6, ? 为参数) ? y ? sin ? x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? ,射线为 ? ? ? , 与 C1 的交点为 A ,与 C2 除极点外的一个交点为 B 。当 ? ? 0 时, | AB |? 4 。
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 为 ? (1)求 C1 , C2 的直角坐标方程; (2)设 C1 与 y 轴正半轴交点为 D ,当 ? ? 为 E ,求 | BD | ? | BE | 。

?
4

时,设直线 BD 与曲线 C1 的另一个交点

24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式证明选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? a | 。 (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a, m 的值。 (2)当 a ? 2 且 t ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? t ? f ( x ? 2t ) 。

理科数学答案
一.选择题:BCDAD CACDA DB a ? -1 二.填空题:2 个 2 (2) (5) (3) 17 解: (1)∵acosB+bcosA=b,由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB, ∴sin(A+B)=sinB, --------3 分 即 sinC=sinB,∴b=c,∴C=B. --------------6 分 (2)△BCD 中,用正弦定理可得 = ,由第一问知道 C=B,

而 BD 是角平分线,∴

=2cos.

---------8 分

由于三角形内角和为 180° ,设 A=x,B=2α=C,那么 4α+x=180°, 故 α+=45°.--9 分 ∵sin=,∴cos=, ∴cosα=cos(45° ﹣)=cos45° cos+sin45° sin= ∴ =2cos=2cosα= .---------------12 分
-------4 分



18.(1)

优秀

非优秀

合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80

110

(2)根据列联表中的数据,得到 K2= ≈7.487<10.828.因此按 99.9%的 可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” -------8 分 (3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y).所有 的基本事件有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)共 36 个.事件 A 包含的基本事件 有:(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(5,5)、(4,6)(6,4)共 7 个.所以 P(A)=

7 7 ,即抽到 9 号或 10 号的概率为 . -------12 分 36 36
19 解:因为 AB 中点 O 为点 P 在平面 ABCD 内的射影,所以 PO⊥底面 ABCD.以 O 为坐标原 点,AB 所在直线为 x 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 o﹣xyz(如图) . (1)设 BC=a,OP=h 则依题意得:B(a,0,0) ,A(﹣ a,0,0) ,P(0,0,h) , C(a,a,0) ,D(﹣a,2a,0) . ∴ 于是 =(2a,a,0) , ? =(﹣a,2a,﹣h) ,

=﹣2a2+2a2=0,∴PD⊥AC;--------4 分

(2)由 PO=BC,得 h=a,于是 P(0,0,a) ,——5 分 ∵ =(2a, 0,0) , ? =﹣2a2,cos< =(﹣a,2a,﹣a) , , >= ,



=

∴直线 PD 与 AB 所成的角的余弦值为

;-----------8 分

(3)设平面 PAB 的法向量为 m,可得 m=(0,1,0) , 设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z) , 由 ∴ =(a,a,﹣h) , =(﹣a,2a,﹣h) , ) ,∴m?n=2,

,解得 n=(1,2,

cos<m,n>=

,∵二面角为 60° ,∴

=4,

解得=

,即

=

.----------------12 分

20.(1)由题意知:抛物线方程为: y ? 4 x 且 P ?? 1,0?
2

-------1 分

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 设直线 l : x ? my ? 1 代入 y 2 ? 4 x 得

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ? ? 16m 2 ? 16 ? 0 ? m 2 ? 1 ? y1 ? y 2 ? 4m -------- 2 分 ? ? y1 y 2 ? 4 假设存在 T ( a , o ) 满足题意,则 y1 y2 y ( x ? a ) ? y 2 ( x1 ? a ) k AT ? k BT ? ? ? 1 2 x1 ? a x 2 ? a ( x1 ? a )( x 2 ? a )
? y 1 ( my2 ? 1 ? a ) ? y 2 (my1 ? 1 ? a ) 2my1 y 2 ? (1 ? a )( y 1 ? y 2 ) ? ( x 1 ? a )( x 2 ? a ) ( x 1 ? a )( x 2 ? a )

?

8m ? 4m(1 ? a ) ?0 ( x1 ? a )( x 2 ? a )

? 8m ? 4m(1 ? a ) ? 0 ----- ------5 分 ?1 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 存在 T(1,0)----------------6 分
(2) (法一)

1 1 5 OF y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? 2 2 2 ----------------7 分 ? y1 ? y2 ? 5 S ?ABC ?

设直线 OA,OB 的倾斜角分别为 ? , ? , ?AOB ? ?

y1 y y y 4 4 ? 12 ? ? tan? , k OA ? 2 ? 22 ? ? tan ? --------9 分 x1 y1 x2 y2 y1 y2 4 4 设? ? ? ? ? k OA ?

y ? y1 4 4 4? 2 ? y1 ? y 2 y1 ? y 2 y y2 tan? ? tan ? ? tan? ? tan( ? ? ) ? ? ? 1 ? ? ? 1 ------11 分 16 1 ? tan? ? tan ? 1? 4 5 1? y1 y 2 ? ?? ? ----------------------12 分 4 1 5 法二: S ?ABC ? OA OB sin? ? 2 2 5 OA OB ? -----------------------7 分 sin? 2 2 ? y y ?2 y y 42 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 1 ? 2 ? y1 y 2 ? 1 2 ? 4 ? ? 4 ? 5 ---------9 分 4 4 16 16 OA ? OB 5 ? cos?AOB ? ? ? sin?AOB ? tan ?AOB ? 1 -------11 分 5 OA ? OB sin?AOB ? ? ?AOB ? --------------------12 分 4
21.(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵ 当 f'(x)>0, ∴ 当 时, .----------------- 4 分 . 时,f'(x)<0;当 . 时,

(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0) , ① a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 ② a<0 时, 当 令 F'(x)>0,得 2ax2+1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax2+1<0,解得 . ;

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 减.------------------------------------8 分 (3)证: . 上单调递增,在 上单调递

要证

,即证

,等价于证

,令



则只要证

,由 t>1 知 lnt>0,

故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>1) . (*) ① g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1) 设 ,则 ,

故 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴ t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即 t﹣1>lnt(t>1) 当 . ② h(t)=tlnt﹣(t﹣1) 设 (t≥1) ,则 h'(t)=lnt≥0(t≥1) ,故 h(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴ t>1 时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即 t﹣1<tlnt(t>1) 当 . 由① 知(*)成立,得证.---------------------------------12 分 ②

22. 证明: )连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OCA ? ?OAC . (Ⅰ 又因为 AD ? CE ,所以 ?ACD ? ?CAD ? 90 ,
0

2分

又因为 AC 平分 ? BAD ,所以 ?OAC ? ?CAD ,

4分 5分
0

o 所以 ?OCA ? ?ACD ? 90 ,即 OC ? CE ,所以 CE 是 e O 的切线.

(Ⅱ )连接 BC ,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?BCA ? ?ADC ? 90 , 因为 ?OAC ? ?CAD , 8分

AC AD ? AC ,即 AC 2 ? AB ? AD . 所以△ ABC ∽ ACD ,所以 AB △
10 分 23.(1)由 ? ? 6cos ? 得 ? ? 6? cos ? ,所以 C2 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 x ? 0 --2 分
2 2 2

由已知得 C1 的直角坐标方程是

x2 ? y2 ? 1 , a2

当 ? ? 0 时射线与曲线 C1 , C2 交点的直角坐标为 ? a,0? , ? 6,0? ,-----------3 分

? AB ? 4,?a ? 2 ?C1 的直角坐标方程是

x2 ? y 2 ? 1.① -----------5 分 4

(2)联立 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 与 y ? x 得 B ? 3,3? 或 B ? 0,0? ,? B 不是极点? B ?3,3? .---6 分

又可得 D ?1,0? , ? K BD

? x ? 3 ? 13 t 3 ? ? BD 的参数方程为 ? ? t为参数? ② -------8 分 ? 2 3 ?y ? 3? t ? 13 ?

?

2

将② 带入① 得

25 2 66 t ? t ? 41 ? 0 ,设 D, E 点的参数是 t1,t2 ,则 13 13

t1 ? t2 ?

?66 13 533 66 13 -------10 分 , t1t2 ? ? BD ? BE ? t1 ? t2 ? 25 25 25

24 解: )由|x﹣a|≤m 得 a﹣m≤x≤a+m, (Ⅰ 所以 解之得 为所求.----------------4 分

(Ⅱ )当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 所以 f(x)+t≥f(x+2t)? |x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t,① 当 t=0 时,不等式① 恒成立,即 x∈ R; 当 t>0 时,不等式

解得 x<2﹣2t 或

或 x∈ ?,即



综上,当 t=0 时,原不等式的解集为 R, 当 t>0 时,原不等式的解集为 .-----------10 分


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