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2015年四川省文科数学高考试卷及详细解答


2015 年四川省文科数学高考试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|﹣1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3}

2.设

向量 =(2,4)与向量 =(x,6)共线,则实数 x=( A.2 B.3 C .4

) D.6

3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 4.设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( ) A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是( A. B. y=cos(2x+ ) y=sin(2x+ ) C. y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx ) )

6.执行如图所示的程序框图,输出 s 的值为(

A. ﹣

B.

C.



D.

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7.过双曲线 x ﹣ 两点,则|AB|=( A.

2

=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A、B ) B.2

C .6

D.4

8. 某食品保鲜时间 y (单位: 小时) 与储藏温度 x (单位: ℃) 满足函数关系 y=e (e=2.718… 为自然对数的底数,k,b 为常数) .若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时,在 22℃的保鲜 时间是 48 小时,则该食品在 33℃的保鲜时间是( ) A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.28 小时

kx+b

9.设实数 x,y 满足

,则 xy 的最大值为(



A.

B.

C.12

D.16

10.设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A、B 两点,与圆(x﹣5) +y =r (r>0)相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)

2

2

2

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 i 是虚数单位,则复数 i﹣ = .

12.lg0.01+log216 的值是


2

13.已知 sinα+2cosα=0,则 2sinαcosα﹣cos α 的值是



14.在三棱住 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,设 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则 三棱锥 P﹣AMN 的体积是 . 15.已知函数 f(x)=2 ,g(x)=x +ax(其中 a∈R) .对于不相等的实数 x1、x2,设 m= ,n= .现有如下命题:
x 2

①对于任意不相等的实数 x1、x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1、x2,使得 m=n;
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④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1、x2,使得 m=﹣n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设数列{an}(n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn,满足 Sn=2an﹣a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

17. (12 分)一辆小客车上有 5 名座位,其座号为 1,2,3,4,5,乘客 P1,P2,P3,P4, P5 的座位号分别为 1,2,3,4,5.他们按照座位号顺序先后上车,乘客 P1 因身体原因没 有坐自己 1 号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只 能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位. (Ⅰ)若乘客 P1 坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4 种坐法.下表给出 其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处) 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 3 2 1 4 5 座位号 3 2 4 5 1

(Ⅱ)若乘客 P1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率. 18. (12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF⊥平面 BEG. 19. (12 分) 已知 A、 B、 C 为△ ABC 的内角, tanA, tanB 是关于方程 x + 两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=3,AC= ,求 p 的值.
2

px﹣p+1=0 (p∈R)

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20. (13 分)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率是

,点 P(0,1)在短轴

CD 上,且

?

=﹣1

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 λ,使得 ? +λ ? 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.

21. (14 分)已知函数 f(x)=﹣2xlnx+x ﹣2ax+a ,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有 唯一解.

2

2

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2015 年四川省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?四川)设集合 A={x|﹣1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用并集求解法则求解即可. 解答: 解:集合 A={x|﹣1<x<2},集合 B={x|1<x<3}, 则 A∪B={x|﹣1<x<3}. 故选:A. 点评: 本题考查并集的求法,基本知识的考查.
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2. (5 分) (2015?四川)设向量 =(2,4)与向量 =(x,6)共线,则实数 x=( A.2 B.3 C .4 D.6



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出 x. 解答: 解;因为向量 =(2,4)与向量 =(x,6)共线,
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所以 4x=2×6,解得 x=3; 故选:B. 点评: 本题考查了向量共线的坐标关系;如果两个向量向量 =(x,y)与向量 =(m,n) 共线,那么 xn=yn. 3. (5 分) (2015?四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视 力是否存在显著差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查, 则最合理的抽 样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 考点: 收集数据的方法. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样. 解答: 解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著 差异,这种方式具有代表性,比较合理.
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故选:C. 点评: 本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题. 4. (5 分) (2015?四川)设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 充要条件. 专题: 简易逻辑. 分析: 先求出 log2a>log2b>0 的充要条件,再和 a>b>1 比较,从而求出答案. 解答: 解:若 log2a>log2b>0,则 a>b>1,
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故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件, 故选:A. 点评: 本题考察了充分必要条件,考察对数函数的性质,是一道基础题. 5. (5 分) (2015?四川)下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是( A. B. y=cos(2x+ ) y=sin(2x+ ) C. y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx )

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可. 解答: 解: y=cos(2x+ y=sin(2x+

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)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以 A 正确 )=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以 B 不正确; sin(2x+ sin(x+ ) ,函数是非奇非偶函数,周期为 π,所以 C 不正确;

y=sin2x+cos2x= y=sinx+cosx=

) ,函数是非奇非偶函数,周期为 2π,所以 D 不正确;

故选:A. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能 力. 6. (5 分) (2015?四川)执行如图所示的程序框图,输出 s 的值为( )

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A. ﹣

B.

C.



D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k 的值,当 k=5 时满足条件 k>4,计
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算并输出 S 的值为 . 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=1 k=2 不满足条件 k>4,k=3 不满足条件 k>4,k=4 不满足条件 k>4,k=5 满足条件 k>4,S=sin 输出 S 的值为 . 故选:D. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题. = ,

7. (5 分) (2015?四川)过双曲线 x ﹣ 两条渐近线于 A、B 两点,则|AB|=( A. B.2

2

=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的 ) C .6 D.4

考点: 双曲线的简单性质.

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专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的渐近线方程,求出 AB 的方程,得到 AB 坐标,即可求解|AB|. 解答: 解:双曲线 x ﹣
2

=1 的右焦点(2,0) ,渐近线方程为 y=



过双曲线 x ﹣

2

=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,x=2,

可得 yA=2 ,yB=﹣2 , ∴|AB|=4 . 故选:D. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,考查基本知识的应用. 8. (5 分) (2015?四川)某食品保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足 kx+b 函数关系 y=e (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数) .若该食品在 0℃的保鲜时 间是 192 小时,在 22℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33℃的保鲜时间是( ) A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.28 小时 考点: 指数函数的实际应用. 专题: 函数的性质及应用. k b 分析: 由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系, 由已知构造方程组求出 e , e 的值,
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运用指数幂的运算性质求解 e 即可. kx+b 解答: 解:y=e (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数) . b 当 x=0 时,e =192, 22k+b 当 x=22 时 e =48, ∴e e
22k

33k+b

=

=

11k b

=

e =192 当 x=33 时,e
33k+b

=(e ) ?(e )=( ) ×192=24

k

33

b

3

故选:C 点评: 本题考查的知识点是函数解析式的运用,列出方程求解即可,注意整体求解.

9. (5 分) (2015?四川)设实数 x,y 满足

,则 xy 的最大值为(



A.

B.

C.12

D.16

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.
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分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图; 由图象知 y≤10﹣2x, 则 xy≤x(10﹣2x)=2x(5﹣x) )≤2( 当且仅当 x= ,y=5 时,取等号, 经检验( ,5)在可行域内, 故 xy 的最大值为 故选:A , )=
2



点评: 本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 10. (5 分) (2015?四川)设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A、B 两点,与圆(x﹣5) +y =r (r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围 是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
2 2 2 2

考点: 抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;创新题型;开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定 M 的轨迹是直线 x=3,代入抛物线方程可得 y=±2 ,所以交点与圆心(5,0) 的距离为 4,即可得出结论. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) ,则
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斜率存在时,设斜率为 k,则 y1 =4x1,y2 =4x2,利用点差法可得 ky0=2, 因为直线与圆相切,所以 =﹣ ,所以 x0=3,

2

2

即 M 的轨迹是直线 x=3, 代入抛物线方程可得 y=±2 ,所以交点与圆心(5,0)的距离为 4, 所以 2<r<4 时,直线 l 有 2 条; 斜率不存在时,直线 l 有 2 条; 所以直线 l 恰有 4 条,2<r<4,
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故选:D. 点评: 本题考查直线与抛物线、 圆的位置关系, 考查点差法, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2015?四川)设 i 是虚数单位,则复数 i﹣ = 2i .

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的运算法则求解即可. 解答: 解:复数 i﹣ =i﹣ =i+i=2i.
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故答案为:2i. 点评: 本题考查复数的基本运算,考查计算能力. 12. (5 分) (2015?四川)lg0.01+log216 的值是 2 . 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用对数的运算法则化简求解即可. 解答: 解:lg0.01+log216=﹣2+4=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查对数的运算法则的应用,考查计算能力.
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13. (5 分) (2015?四川)已知 sinα+2cosα=0,则 2sinαcosα﹣cos α 的值是 ﹣1

2



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式移项变形求出 tanα 的值, 原式利用同角三角函数间的基本关系化简, 将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵sinα+2cosα=0,即 sinα=﹣2cosα, ∴tanα=﹣2,
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则原式=

=

=

=

=﹣

1, 故答案为:﹣1 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 14. (5 分) (2015?四川)在三棱住 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是 边长为 1 的正方形,俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,设 M,N,P 分别是 AB, BC,B1C1 的中点,则三棱锥 P﹣AMN 的体积是
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考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 判断三视图对应的几何体的形状, 画出图形, 利用三视图的数据, 求解三棱锥 P﹣AMN 的体积即可. 解答: 解:由三视图可知,可知几何体的图形如图:几何体是底面为等腰直角三角形直角边 长为 1,高为 1 的直三棱柱,所求三棱锥的高为 NP=1,底面 AMN 的面积是底面三角
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形 ABC 的 , 所求三棱锥 P﹣AMN 的体积是: 故答案为: . = .

点评: 本题考查三视图与直观图的关系,组作出几何体的直观图是解题的关键之一,考查几 何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 15. (5 分) (2015?四川)已知函数 f(x)=2 ,g(x)=x +ax(其中 a∈R) .对于不相等的 实数 x1、x2,设 m= ,n= .现有如下命题:
x 2

①对于任意不相等的实数 x1、x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1、x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1、x2,使得 m=﹣n. 其中的真命题有 ①④ (写出所有真命题的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 创新题型;开放型;函数的性质及应用. 分析: 运用指数函数的单调性,即可判断①;由二次函数的单调性,即可判断②; 2 x 通过函数 h(x)=x +ax﹣2 ,求出导数判断单调性,即可判断③; 2 x 通过函数 h(x)=x +ax+2 ,求出导数判断单调性,即可判断④. 解答: 解:对于①,由于 2>1,由指数函数的单调性可得 f(x)在 R 上递增,即有 m>0, 则①正确;
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对于②,由二次函数的单调性可得 g(x)在(﹣∞,﹣ )递减,在( ,+∞)递减,
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则 n>0 不恒成立, 则②错误; 2 对于③,由 m=n,可得 f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2) ,考查函数 h(x)=x +ax x ﹣2 , x h′(x)=2x+a﹣2 ln2,当 a→﹣∞,h′(x)小于 0,h(x)单调递减,则③错误; 对于④,由 m=﹣n,可得 f(x1)﹣f(x2)=﹣[g(x1)﹣g(x2)],考查函数 h(x) 2 x =x +ax+2 , x h′(x)=2x+a+2 ln2,对于任意的 a,h′(x)不恒大于 0 或小于 0,则④正确. 故答案为:①④. 点评: 本题考查函数的单调性及运用,注意运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判 断单调性是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2015?四川)设数列{an}(n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn,满足 Sn=2an﹣a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由条件 Sn 满足 Sn=2an﹣a1,求得数列{an}为等比数列,且公比 q=2;再根据 a1, a2+1,a3 成等差数列,求得首项的值,可得数列{an}的通项公式.
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(Ⅱ)由于

=

,利用等比数列的前 n 项和公式求得数列

的前 n 项和 Tn.

解答: 解: (Ⅰ)由已知 Sn=2an﹣a1,有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1(n≥2) , 即 an=2an﹣1(n≥2) , 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列,即 a1+a3=2(a2+1) 所以 a1+4a1=2(2a1+1) , 解得:a1=2. 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. n 故 an=2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 = ,

所以 Tn= + + +…+

=

=1﹣



点评: 本题主要考查数列的前 n 项和与第 n 项的关系,等差、等比数列的定义和性质,等比 数列的前 n 项和公式,属于中档题.

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17. (12 分) (2015?四川)一辆小客车上有 5 名座位,其座号为 1,2,3,4,5,乘客 P1, P2,P3,P4,P5 的座位号分别为 1,2,3,4,5.他们按照座位号顺序先后上车,乘客 P1 因身体原因没有坐自己 1 号座位, 这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐: 如果自己的座 位空着,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在这 5 个座位的剩余空位 中选择座位. (Ⅰ)若乘客 P1 坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4 种坐法.下表给出 其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处) 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 3 2 1 4 5 座位号 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (Ⅱ)若乘客 P1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率. 考点: 概率的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据题意,可以完成表格; (Ⅱ)列表,确定所有可能的坐法,再求出乘客 P1 坐到 5 号座位的概率. 解答: 解: (Ⅰ)余下两种坐法: 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 3 2 1 4 5 座位号 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1
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(Ⅱ)若乘客 P1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,则 所有可能的坐法可用下表表示为 乘客 P1 P2 P3 P4 2 1 3 4 座位号 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 5 4 2 4 3 1 2 4 3 5 2 5 3 4

P5 5 5 5 1 1 5 1 1

于是,所有可能的坐法共 8 种, 设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A,则事件 A 中的基本事件的个数为 4,所以 P(A) = = . 答:乘客 P5 坐到 5 号座位的概率是 . 点评: 本题考查概率的运用,考查学生的计算能力,列表确定基本事件的个数是关键. 18. (12 分) (2015?四川) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
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(Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF⊥平面 BEG. 考点: 直线与平面垂直的判定;平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)直接标出点 F,G,H 的位置. (Ⅱ)先证 BCHE 为平行四边形,可知 BE∥平面 ACH,同理可证 BG∥平面 ACH, 即可证明平面 BEG∥平面 ACH. (Ⅲ)连接 FH,由 DH⊥EG,又 DH⊥EG,EG⊥FH,可证 EG⊥平面 BFHD,从而 可证 DF⊥EG,同理 DF⊥BG,即可证明 DF⊥平面 BEG. 解答: 解: (Ⅰ)点 F,G,H 的位置如图所示. (Ⅱ)平面 BEG∥平面 ACH,证明如下: ∵ABCD﹣EFGH 为正方体, ∴BC∥FG,BC=EH, 又 FG∥EH,FG=EH, ∴BC∥EH,BC=EH, ∴BCHE 为平行四边形. ∴BE∥CH, 又 CH?平面 ACH,BE?平面 ACH, ∴BE∥平面 ACH, 同理 BG∥平面 ACH, 又 BE∩BG=B, ∴平面 BEG∥平面 ACH. (Ⅲ)连接 FH, ∵ABCD﹣EFGH 为正方体, ∴DH⊥EG, 又∵EG?平面 EFGH, ∴DH⊥EG, 又 EG⊥FH,EG∩FH=O, ∴EG⊥平面 BFHD, 又 DF?平面 BFHD, ∴DF⊥EG, 同理 DF⊥BG, 又∵EG∩BG=G,
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∴DF⊥平面 BEG.

点评: 本题主要考查了简单空间图形的直观图、 空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知 识,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题. 19. (12 分) (2015?四川)已知 A、B、C 为△ ABC 的内角,tanA,tanB 是关于方程 x + ﹣p+1=0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=3,AC= ,求 p 的值.
2

px

考点: 正弦定理的应用;两角和与差的正切函数. 专题: 函数的性质及应用;解三角形. 分析: 2 (Ⅰ)由判别式△ =3p +4p﹣4≥0,可得 p≤﹣2,或 p≥ ,由韦达定理,有 tanA+tanB=
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﹣ p,tanAtanB=1﹣p,由两角和的正切函数公式可求 tanC=﹣tan(A+B)= 合 C 的范围即可求 C 的值. (Ⅱ)由正弦定理可求 sinB= 求 tanA=tan75°,从而可求 p=﹣ 解答: 解: (Ⅰ) 由已知, 方程 x + ﹣4≥0, 所以 p≤﹣2,或 p≥ . 由韦达定理,有 tanA+tanB=﹣ p,tanAtanB=1﹣p. 所以,1﹣tanAtanB=1﹣(1﹣p)=p≠0, 从而 tan(A+B)= 所以 tanC=﹣tan(A+B)= 所以 C=60°. , =﹣ =﹣ .
2

,结

=

,解得 B,A,由两角和的正切函数公式可

(tanA+tanB)的值. p) ﹣4 (﹣p+1) =3p +4p
2 2

px﹣p+1=0 的判别式: △= (

(Ⅱ)由正弦定理,可得 sinB= 解得 B=45°,或 B=135°(舍去) . 于是,A=180°﹣B﹣C=75°.

=

=



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则 tanA=tan75°=tan(45°+30°)=

=

=2+



所以 p=﹣

(tanA+tanB)=﹣

(2+

)=﹣1﹣



点评: 本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识,考查了运算求解能力, 考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用,属于中档题.

20. (13 分) (2015?四川)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率是

,点 P(0,

1)在短轴 CD 上,且

?

=﹣1

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 λ,使得 ? +λ ? 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 开放型;向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过 e= 、 ? =﹣1,计算即得 a=2、b= ,进而可得结论;
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(Ⅱ)分情况对直线 AB 斜率的存在性进行讨论:①当直线 AB 的斜率存在时,联立 直线 AB 与椭圆方程,利用韦达定理计算可得当 λ=1 时 直线 AB 的斜率不存在时, ? +λ ? =﹣3. ? +λ ? =﹣3;②当

解答: 解: (Ⅰ)根据题意,可得 C(0,﹣b) ,D(0,b) , 又∵P(0,1) ,且 ? =﹣1,



,解得 a=2,b=



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∴椭圆 E 的方程为:

+

=1;

(Ⅱ)结论:存在常数 λ=1,使得

?



?

为定值﹣3.

理由如下: 对直线 AB 斜率的存在性进行讨论: ①当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立
2

,消去 y 并整理得: (1+2k )x +4kx﹣2=0,
2

2

2

∵△=(4k) +8(1+2k )>0, ∴x1+x2=﹣ 从而 ? +λ
2

,x1x2=﹣ ?



=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1﹣1) (y2﹣1)]

=(1+λ) (1+k )x1x2+k(x1+x2)+1 =

=﹣

﹣λ﹣2.

∴当 λ=1 时,﹣

﹣λ﹣2=﹣3,

此时

?



?

=﹣3 为定值;

②当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD, 此时 ? +λ ? = ? + +λ ? =﹣2﹣1=﹣3; 为定值﹣3.

故存在常数 λ=1,使得

点评: 本题考查椭圆的标准方程、 直线方程等基础知识, 考查推理论证能力、 运算求解能力, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想,注意解题方法的 积累,属于难题. 21. (14 分) (2015?四川)已知函数 f(x)=﹣2xlnx+x ﹣2ax+a ,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有 唯一解.
2 2

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考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 开放型;导数的综合应用. 2 2 分析: (I)函数 f(x)=﹣2xlnx+x ﹣2ax+a ,其中 a>0.可得:x>0.g(x)=f′(x)=2
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(x﹣1﹣lnx﹣a) ,可得 g′(x)=

=

,分别解出 g′(x)<0,g′(x)

>0,即可得出单调性. (II)由 f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,可得 a=x﹣1﹣lnx,代入 f(x)可得:u(x) 2 =(1+lnx) ﹣2xlnx,利用函数零点存在定理可得:存在 x0∈(1,e) ,使得 u(x0) =0,令 a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0) ,再利用导数研究其单调性即可得出. 2 2 解答: (I)解:函数 f(x)=﹣2xlnx+x ﹣2ax+a ,其中 a>0.可得:x>0. g(x)=f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a) ,∴g′(x)= = ,

当 0<x<1 时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减; 当 1<x 时,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增. (II)证明:由 f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,解得 a=x﹣1﹣lnx, 令 u(x)=﹣2xlnx+x ﹣2(x﹣1﹣lnx)x+(x﹣1﹣lnx) =(1+lnx) ﹣2xlnx, 则 u(1)=1>0,u(e)=2(2﹣e)<0, ∴存在 x0∈(1,e) ,使得 u(x0)=0, 令 a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0) ,其中 v(x)=x﹣1﹣lnx(x≥1) , 由 v′(x)=1﹣ ≥0,可得:函数 v(x)在区间(1,+∞)上单调递增. ∴0=v(1)<a0=v(x0)<v(e)=e﹣2<1,即 a0∈(0,1) ,当 a=a0 时,有 f′(x0) =0,f(x0)=u(x0)=0. 再由(I)可知:f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 当 x∈(1,x0)时,f′(x)<0,∴f(x)>f(x0)=0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)>f(x0)=0; 又当 x∈(0,1],f(x)= ﹣2xlnx>0.
2 2 2

故当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥0 恒成立. 综上所述:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞) 内有唯一解. 点评: 本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值,考查了 分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;changq;刘长柏;1619495736;w3239003;sdpyqzh; maths;sllwyn;双曲线;LOL;cst;孙佑中(排名不分先后) 菁优网 2015 年 6 月 29 日

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