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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练12 新人教A版必修4


双基限时练(十二)
1.某人的血压满足函数式 f(t)=24sin160π t+110,其中 f(t)为血压,t 为时间,则 此人每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 ) B.70 D.90

2π 2π 1 1 1 解析 由 T= = = ,又 f= = =80,故每分钟心跳次数为 80,选 C. ω 160π 80 T 1 80 答案 C 2.如下图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数 π? ? 关系式为 s=6sin?2π t+ ?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( 6? ? )

A.2π s C.0.5 s

B.π s D.1 s

π? 2π ? 解析 依题意是求函数 s=6sin?2π t+ ?的周期,T= =1.故选 D. 6? 2π ? 答案 D 3.函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是( )

1

解析 y=x+sin|x|是非奇非偶函数,在[0,π ]上是增函数,故选 C. 答案 C

4.如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系为 I=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0)在一个周 期内的图象,则该函数的解析式为( π? ? A.I=300sin?50π t+ ? 3? ? π? ? B.I=300sin?50π t- ? 3? ? π? ? C.I=300sin?100π t+ ? 3? ? π? ? D.I=300sin?100π t- ? 3? ? 解析 分析图象可知,A=300,T=2×? )

? 1 + 1 ?= 1 , ? ?150 300? 50

2

2π 1 ∴ω = =100π .又当 t= 时,I=0.故选 C. T 150 答案 C

5.如图为一半径为 3 cm 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮自点 A 开始旋转, 15 s 旋转一圈.水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ω x+φ ) +2,则有( ) 15 B.ω = ,A=3 2π 15 D.ω = ,A=5 2π 2π

2π A.ω = ,A=3 15 2π C.ω = ,A=5 15 解析 ∵T=15,故 ω =

T

2π = ,显然 ymax-ymin 的值等于圆 O 的直径长,即 ymax- 15

ymax-ymin 6 ymin=6,故 A= = =3.
2 2 答案 A 6. 动点 A(x, y)在圆 x +y =1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周. 已 3? ?1 知时间 t=0 时, 点 A 的坐标是? , ?, 则当 0≤t≤12 时, 动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: 2 2 ? ? 秒)的函数的单调递增区间是( A.[0,1] C.[7,12] ) B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]
2 2

2π π 3? ?1 解析 由已知可得该函数的周期为 T=12,ω = = ,又当 t=0 时,A? , ?, T 6 ?2 2 ? π? ?π ∴y=sin? t+ ?,t∈[0,12],可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]. 3? ?6 答案 D 7.在匀强磁场中,匀速转动的线圈所产生的电流强度 I 是时间 t 的正弦函数,关系式

3

?1 π ? 为 I=3sin? t+ ?,则它的最大电流和周期分别为________. 6? ?2
答案 3,4π

8.如图是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动时间,纵轴表示振子的位移, 则这个振子振动的函数解析式是__________.

8.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况,则水面高度 y 关于从夜间 0 时开始的时间 x 的函数关系式为________. 解析 将其看成 y=Asin(ω x+φ )的图象,由图象知:A=6,T=12, 2π π ∴ω = = ,下面确定 φ . T 6 将(6,0)看成函数图象的第一特殊点, 则 π ×6+φ =0. 6

∴φ =-π . π ?π ? ∴函数关系式为:y=6sin? x-π ?=-6sin x. 6 ?6 ? π 答案 y=-6sin x 6 9.一树干被台风吹断,折成 60°角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,树干原来的
4

高度为________米. 解析 如图所示,在 Rt△ABC 中,AC=20 米,∠B=60°,

∴sinB= ,∴BC=

AC BC

20 40 3 = . sinB sin60° 3 =

AC

1 20 3 又 AB= BC= , 2 3 ∴树干高为 AB+BC=20 3. 答案 20 3 10.

如图,某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速运动.摩天 π? ?π 轮上的一点 P 自最低点 A 点起,经过 t min 后,点 P 的高度 h=40sin? t- ?+50(m), 6 2? ? 那么在摩天轮转动一圈的过程中, 点 P 的高度在距地面 70 m 以上的时间将持续________min. 解析 π? π 1 2π π t 4π ?π 40sin? t- ?+50>70,即 cos t<- ,从而 < < ,4<t<8.即持续时 2? 6 2 3 6 3 ?6

间为 4 min. 答案 4 11.心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张 压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 120/80 mm Hg 为标准值.设某人的血压满 足函数关系式 P(t)=115+25 sin(160π t),其中 P(t)为血压(mm Hg),t 为时间(min),试 回答下列问题: (1)求函数 P(t)的周期;
5

(2)此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数, 并与标准值比较. (健康成年人的收缩压和舒张 压一般为 120~140 mm Hg 和 60~90 mm Hg) 解 2π 2π 1 (1)根据公式 T= ,可得 T= = . ω 160π 80

1 (2)根据公式 f= ,可得 f=80,即此人的心率是 80 次/分钟.

T

(3)函数 P(t)=115+25 sin(160π t)的最大值是 115+25=140,最小值是 115-25= 90,即此人的血压为 140/90 mm Hg,与标准值相比较偏高一点. 12.如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部 分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asinω x(A>0,ω >0),x∈[0,4]的图象,且图象的 最高点为 S(3,2 3),赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP =120°.求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离.



依题意,有 A=2 3, =3, 4

T

2π π 又 T= ,∴ω = . ω 6 π ∴y=2 3sin x,x∈[0,4]. 6 2π ∴当 x=4 时,y=2 3sin =3. 3 ∴M(4,3). 又 P(8,0), ∴MP= ?8-4? +?0-3? = 4 +3
2 2 2 2

=5(km). 即 M、P 两点间的距离为 5 km. 13.下表是某地某年月平均气温(单位:?). 月份 1 2 3 4 5 6

6

平均气温 月份 平均气温

21.4 7 73.0

26.0 8 71.9

36.0 9 64.7

48.8 10 53.5

59.1 11 39.8

68.6 12 27.7

以月份为 x 轴,x=月份-1,以平均气温为 y 轴. (1)描出散点图; (2)用正弦曲线去拟合这些数据; (3)这个函数的周期是多少? (4)估计这个正弦曲线的振幅 A; (5)下面四个函数模型中,最适合这些数据的是______.

y y-46 y-46 y-26 ?π ? ?π x? ?π ? ?π ? ① =cos? x?;② =cos? ?;③ =cos? x?;④ =sin? x?. A A -A A ?6 ? ? 6 ? ?6 ? ?6 ?
解析 (1)(2)如图所示:

(3)1 月份的气温最低,为 21.4?,7 月份气温最高,为 73.0?,据图知, =7-1=6, 2 ∴T=12. (4)2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6,∴A=25.8.

T

y 26.0 π (5)∵x=月份-1,∴不妨取 x=2-1=1,y=26.0,代入①,得 = >1≠cos , A 25.8 6
∴①错误; 代入②,得

y-46 26.0-46 π = <0≠cos ,∴②错误; 同理④错误. ∴本题应选③. A 25.8 6

答案 (1)~(4)见解析 (5)③

7


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