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2012年高中数学竞赛预赛试题汇编


目录 1.2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第 3 页 2. 2012 年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高一年级)---第 7 页 3. 2012 年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高二年级)---第 10 页 4. 2012 年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第 16 页 5. 2012 年高中数学联赛上海市预赛试卷------第 21 页 6. 2012 年高

中数学联赛四川省预赛试卷------第 28 页 7. 2012 年高中数学联赛福建省预赛试卷(高一年级)---第 35 页 8. 2012 年高中数学联赛山东省预赛试卷---第 45 页 9. 2012 年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第 50 页 10. 2012 年高中数学联赛河北省预赛试卷---第 55 页 11. 2012 年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第 62 页 12. 2012 年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第 72 页

2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70 分) 1、当 x?[?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为__18___.

???? ??? ? ???? ??? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____.
3 、 从 集合 ?3, 4,5,6,7,8? 中 随 机 选取 3 个 不同 的 数, 这 3 个数 可 以构 成 等差 数 列的概 率 为 _____

3 _______. 10

4、已知 a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值 为_____ 2 2 ___.

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C : 12 4
为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 ___

A, B 两 点 . 若 ?FAB 的 面 积 为 8 3

,则直线的斜率为

1 ____. 2

1

6、已知 a 是正实数, k

? a lg a 的取值范围是___ [1, ??) _____.

7、在四面体 ABCD 中, AB ? _____ 5 8 、

AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的体积为

3 _______.
已 知 等 差 数 列

?an ?











?bn ?
___





: ___.

a1 ?

b13 , ?
*

a2 ?

ba7 ? , b31 5 , a4 ? ? 2 3?

b4则 3an ? bn ,? ? 5

3n?1 ? 2n

(n? N )

71 75 9、将 27,37,47,48,55, , 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样
的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的 个数为__24___. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C ? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

2

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

f ( x? )

a | l xn ? x

? b x( | ?.



0 )

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a , b ; (2)求函数

e ? ln 2 ? 1 . 2

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

3

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线

OM

上有一动点 B ,

AB ? 1, OB ? 1 .线段 AB 交圆 O 于另一点

C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

4

14、设是 a, b, c, d 正整数, a , b 是方程 x 数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整

5

2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高一年级) 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思 路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 1 . 2.已知正项等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 ,且 a 2 , a 4 , a 5 成等差数列,则

3? 5 a1 ? a 4 ? a 7 . ? a3 ? a6 ? a9 2

3.函数 f ( x) ?

6 x ?1 ]. 的值域为 [0, x ? 4x ? 7 6
2

4.已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 , 3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ,则 cos 2(? ? ? ) ? ? 5.已知数列 {a n } 满足: a1 为正整数,
? an ? , a n 为偶数, a n ?1 ? ? 2 ?3a n ? 1, a n 为奇数, ?

1 . 3

如果 a1 ? a 2 ? a3 ? 29 ,则 a1 ?

5



6.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边长 a, b, c 满足 a ? c ? 2b ,且 C ? 2 A ,则 sin A ?

7 . 4

6

7.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC ,则

p 的 q

值为

3 . 2
5 5 8.设 x1 , x 2 , x 3 是方程 x3 ? x ? 1 ? 0 的三个根,则 x15 ? x2 ? x3 的值为

-5



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an ?1 且 a1 ? 1 , a2 ? 8 ,
2

求 {a n } 的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以 a n a n ?1 ,得 1 ?
a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 , a n ?1 an

所以

1?

an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) . an ?1 an

------------------------------------------4 分

令 bn ? 1 ? 所

a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ,即数列 {bn } 是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比数列, an



bn ? b1 ? 4 n ?1 ? 4 n

.

------------------------------------------8 分 所以 1 ?
a n ?1 ? 1 ? 4 n ,即 a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an

------------------------------------------12 分

于是,当 n ? 1 时,
a n ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1]a n ?1 ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1] ? [(4 n ? 2 ? 1) 2 ? 1]a n ? 2
???

?
k ?1

n ?1

[(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1]a1 ?

? [(4
k ?1

n ?1

k ?1

? 1) 2 ? 1] ,

n ? 1, ?1, ? n ?1 因此, a n ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1], n ? 2. ?? ? k ?1

------------------------------------------16 分

10.已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的最小值. 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?
m?

?
2

,则

cos3 ? ? sin 3 ? ? 1 (cos? ? sin ? )(cos2 ? ? cos? sin ? ? sin 2 ? ) ? 1 ? . ----------------------------------(cos? ? sin ? ? 1) 3 (cos? ? sin ? ? 1) 3

-----5 分

7



x ? cos? ? sin ?





x ? 2 sin(? ?

?
4

) ? (1, 2 ]





x 2 ?1 c ? s o ? ?i s n.------------------------------10 分 2

于是
x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? . 3 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2( x ? 1) 3 2( x ? 1) 2

---------------------------

---15 分 因为函数 f ( x) ? 因
f ( 2) ?
3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) . 2( x ? 1) 2


3 2 ?4 . 2



m











------------------------------------------20 分

11.设 f ( x) ? loga ( x ? 2a) ? loga ( x ? 3a) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 .若在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 f ( x) ? 1 恒 成立,求 a 的取值范围. 解

f ( x )? l oa gx 2(? ax5 a 26? ) ?

a

5a a2 l x ? [ ( 2? og ) . 2 4

]

由?

5a 3 ? x ? 2a ? 0, 3 得 x ? 3a ,由题意知 a ? 3 ? 3a ,故 a ? ,从而 (a ? 3) ? ? (a ? 2) ? 0 ,故 2 2 2 ? x ? 3a ? 0,
5a a2 g(x ? ) x ? ( 2 ? 2 4 )在
区 间
[a ? 3, a ? 4]















.

------------------------------------------5 分 (1)若 0 ? a ? 1 ,则 f (x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递减,所以 f (x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最 大值为 f (a ? 3) ? loga (2a 2 ? 9a ? 9) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 loga (2a 2 ? 9a ? 9) ? 1 成立,从而
2a 2 ? 9a ? 9 ? a ,解得 a ?

5? 7 5? 7 或a ? . 2 2 结合 0 ? a ? 1 得 0 ? a ? 1 .

------------------------------------------10

分 (2)若 1 ? a ?
3 ,则 f (x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增,所以 f (x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最 2

大值为 f (a ? 4) ? log a (2a 2 ? 12a ? 16) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 log a (2a 2 ? 12a ? 16) ? 1 成立,从而

8

2a 2 ? 12a ? 16 ? a ,即 2a 2 ? 13a ? 16 ? 0 ,解得

13 ? 41 13 ? 41 . ?a? 4 4

易知 分

13 ? 41 3 所以不符合. ? , 4 2

------------------------------------------15

综上可知:a 的取值范围为 (0,1) . 分

------------------------------------------20

2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 (高二年级) 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思 路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.函数 f ( x) ? 2
c
x ?1 的值域为________________. x 2 ? 4x ? 7







3s

2

i? ?n s 2

2

i? ?n 1



3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1





2(? ?s? ) ? _______________. o

? an ? a n 为偶数, 3 . 已知数 列 {a n } 满 足: a1 为 正整 数, a n ?1 ? ? 2 , 如 果 a1 ? a 2 ? a3 ? 29 , 则 ?3a n ? 1, a n 为奇数, ?
a1 ?

. 4.设集合 S ? {1,2,3, ?,12} , A ? {a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集,且满足 a1 ? a 2 ? a 3 , a3 ? a 2 ? 5 ,那么 .
y2 x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点,P 是椭圆 C 上异于 M , N a2 b
2

满足条件的子集 A 的个数为 5. 过原点 O 的直线 l 与椭圆 C :

的任一点.若直线 PM, PN 的斜率之积为 ? ,则椭圆 C 的离心率为_______________. 6.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC ,则 值为_______________. 7.在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,已知 AC ? 1, B1C ? 2 , AB1 ? p ,则长方体的体积最大时, p 为_______________.
2012

1 3

p 的 q

8.设 [x] 表示不超过 x 的最大整数,则

?[
k ?0

2012 ? 2 k ]? 2k ?1



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an ?1 且 a1 ? 1 , a2 ? 8 ,
2

求 {a n } 的通项公式.

9

10.已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的取值范围.

11.已知点 E(m, n) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 内一定点,过 E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条直线交 抛物线于 A, B, C, D ,且 M , N 分别是线段 AB, CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0, ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点.

10

2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高二年级) 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思 路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.函数 f ( x) ?

6 x ?1 ]. 的值域为 [0, x ? 4x ? 7 6
2

2.已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 , 3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ,则 cos 2(? ? ? ) ? ? 3.已知数列 {a n } 满足: a1 为正整数,
? an ? , a n 为偶数, a n ?1 ? ? 2 ?3a n ? 1, a n 为奇数, ?

1 . 3

如果 a1 ? a 2 ? a3 ? 29 ,则 a1 ? 5 . 4.设集合 S ? {1,2,3, ?,12} , A ? {a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集,且满足 a1 ? a 2 ? a 3 , a3 ? a 2 ? 5 ,那么 满足条件的子集 A 的个数为 185
2


2

5. 过原点 O 的直线 l 与椭圆 C :

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点,P 是椭圆 C 上异于 M , N 2 a b
1 3

的任一点.若直线 PM, PN 的斜率之积为 ? ,则椭圆 C 的离心率为

6 . 3
p 的 q

6.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC ,则

值为

3 . 2
7.在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,已知 AC ? 1, B1C ? 2 , AB1 ? p ,则长方体的体积最大时, p

为 1?

2 3 . 3
2012

2012 ? 2 k ]? 8.设 [x] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? [ 2k ?1 k ?0

2012



11

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an ?1 且 a1 ? 1 , a2 ? 8 ,
2

求 {a n } 的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以 a n a n ?1 ,得 1 ?
a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 , a n ?1 an

所以

1?

an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) . an ?1 an

------------------------------------------4 分

令 bn ? 1 ? 所

a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ,即数列 {bn } 是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比数列, an



bn ? b1 ? 4 n ?1 ? 4 n

.

------------------------------------------8 分 所以 1 ?
a n ?1 ? 1 ? 4 n ,即 a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an

------------------------------------------12 分

于是,当 n ? 1 时,
a n ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1]a n ?1 ? [(4 n ?1 ? 1) 2 ? 1] ? [(4 n ? 2 ? 1) 2 ? 1]a n ? 2
???

? [(4
k ?1

n ?1

k ?1

? 1) 2 ? 1]a1 ?

? [(4
k ?1

n ?1

k ?1

? 1) 2 ? 1] ,

因此, a n ? ? n ?1 k ?1 ? [(4 ? 1) 2 ? 1], n ? 2.
? k ?1 ?

?1, ?

n ? 1,

------------------------------------------16 分

10.已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的取值范围. 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?
m?

?
2

,则

cos3 ? ? sin 3 ? ? 1 (cos? ? sin ? )(cos2 ? ? cos? sin ? ? sin 2 ? ) ? 1 . ----------------------------------? (cos? ? sin ? ? 1) 3 (cos? ? sin ? ? 1) 3

-----5 分 令
x ? cos? ? sin ?





x ? 2 sin(? ?

?
4

) ? (1, 2 ]





x 2 ?1 c ? s o ? ?i s n.------------------------------10 分 2

于是
x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? . 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3 2( x ? 1) 3 2( x ? 1) 2

---------------------------

12

---15 分 因为函数 f ( x) ? 又
m ?[ 3 2 ?4 1 , ). 2 4
3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) . 2( x ? 1) 2

f (1) ?

1 3 2 ?4 , f ( 2) ? 4 2







--------------------------------------20 分

11.已知点 E(m, n) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 内一定点,过 E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条直线交 抛物线于 A, B, C, D ,且 M , N 分别是线段 AB, CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0, ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点. 解 AB 所在直线的方程为 x ? t1 ( y ? n) ? m ,其中 t1 ?
1 ,代入 y 2 ? 2 px 中,得 k1

y 2 ? 2 pt1 y ? 2 pt1n ? 2 pm ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y 2 ? 2 pt1 ,从而

x1 ? x2 ? t1 ( y1 ? y2 ? 2n) ? 2m ? t1 (2 pt1 ? 2n) ? 2m .
则 M ( pt1 ? nt1 ? m, pt1 ) .
2

CD 所在直线的方程为 x ? t 2 ( y ? n) ? m ,其中 t 2 ?

1 2 ,同理可得 N ( pt2 ? nt2 ? m, pt2 ) . k2

------------------------------------------5 分
2 2 2 ( 1 ) 当 n ? 0 时 , E (m , 0), M ( pt1 ? m, pt1 ) , N ( pt2 ? m, pt2 ) , | EM |?| pt 1 | 1 ? t1 ,

| EN |?| pt 2 | 1 ? t 2 .
2

又 k1 ? k 2 ? ?1 ,故 t1 ?t 2 ? ?1 ,于是△ EMN 的面积

S?

1 1 p2 | EM | ? | EN |? | p 2t1t2 | (1 ? t12 )(1 ? t2 2 ) ? ? 2 ? t12 ? t2 2 2 2 2

?

p2 ? 4 ? p2 , 2

当且仅当 | t1 |?| t 2 |? 1 时等号成立. 所以, EMN 的面积的最小值为 p . △
2

------------------------------------------10 分

13

(2) k MN ?

p(t1 ? t 2 ) p(t1 ? t 2 ) ? n(t1 ? t 2 )
2 2

?

1 n (t1 ? t 2 ) ? p 1



MN 所在直线的方程为 y ? pt1 ?

n (t1 ? t 2 ) ? p

? [ x ? ( pt1 ? nt1 ? m] ,
2

即 y(t1 ? t 2 ? ) ? pt1t 2 ? x ? m . 又 k1 ? k 2 ?

n p

------------------------------------------15 分

t ?t n t ?t 1 1 ? ? ? ,即 t1t 2 ? 1 2 ,代入上式,得 y (t1 ? t2 ? ) ? p ? 1 2 ? x ? m , t1 t 2 ? p ?
p ny

即 (t1 ? t 2 )( y ? ) ? x ? ? m . ? p
p ? ?y ? ? ny 当 y ? ? 0 时,有 x ? ? m ? 0 ,即 ? 为方程的一组解, n p ? ?x ? m ? ? ?

p

所以直线 MN 恒过定点 (m ?

? ?

n p , ).

------------------------------------------20 分

14

15

16

17

18

19

20

2012 年上海市高中数学竞赛 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1 B1C1D1E1F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一 个正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积 和是 .
B2 E2 B1 A2 F2 A1

F1

2.已知正整数 a1 , a2 ,?, a10 满足: 小可能值是 .

aj

3 ? ,1 ? i ? j ? 10 ,则 a10 的最 ai 2

C2 C1

D2

E1

D1

3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?

17 4 , cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , cot ? cot ? 6 5 17 . ? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ? ,则 tan ?? ? ? ? ? ? ? 5
A D

4.已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实数解,则实数 k 的取值 范围是 .

F

5 . 如 图 , ?AEF 是 边 长 为 x 的 正 方 形 ABCD 的 内 接 三 角 形 , 已 知

?AEF ? 90? , AE ? a, EF ? b, a ? b ,则 x ?
? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n ? ?

B

E

C

.

6.方程 2 ? 3 ? 3
m n

n ?1

.

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次 从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .(用数字作答)

a 8. 数列 ? an ? 定义如下: 1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?
则正整数 m 的最小值为 .

2 ? n ? 1? n?2

an ?1 ?

n 2011 an , n ? 1, 2,? .若 am ? 2 ? , n?2 2012

21

二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? x , BC ? 1 ,对角线 AC 与 BD 的夹角

?BOC ? 45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) .
求 h( x ) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A D C

O B

10. (本题满分 14 分)给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x) ?

(a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小值. 1 ? sin x

11. (本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ?

4 ; 3

(2) x ? y ? z ? 2 .

22

n 12. (本题满分 16 分)给定整数 n(? 3) ,记 f (n) 为集合 1, 2,? , 2 ? 1 的满足如下两个条件的子

?

?

集 A 的元素个数的最小值: (a) 1? A, 2 ? 1? A ;
n

(b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 .

23

2012 年上海市高中数学竞赛答案 1、

9 3 4

2、92 4、 ? ??, 0 ? ? ?4?

3、11

5、

a2 a 2 ? (a ? b) 2

6、 ? 3, 0 ? ,

? 2, 2 ?

7、

2 5

8、4025

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

1 1 OB 2 ? OC 2 ? ( AB 2 ? BC 2 ) ? ( x 2 ? 1) . 2 2
???????(2 分) 在△OBC 中,由余弦定理



BC 2 ? OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC cos ?BOC ,
所以 由①,②得

OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? 1 ,
OB ? OC ? x2 ?1 . 2 2
???????(5 分) 所以

② ③

1 S ABCD ? 4S?OBC ? 4 ? OB ? OC sin ?BOC 2
? 2OB ? OC ?

x2 ?1 , 2 x2 ?1 , 2
???????(10 分)



AB ? h( x) ?

所以

h( x ) ?
2

x2 ?1 . 2x

由③可得, x ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 .

24

因为 OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ,结合②,③可得

1 2 x2 ? 1 ( x ? 1) ? 2 ? , 2 2 2
解得(结合 x ? 1 ) 综上所述, h( x) ? 10.解 f ( x) ? 当1 ? a ?

1 ? x ? 2 ?1 .
x2 ?1 ,1 ? x ? 2 ? 1 . 2x
???????(14 分)

(a ? sin x)(4 ? sin x) 3(a ? 1) ? 1 ? sin x ? ?a?2. 1 ? sin x 1 ? sin x

7 时, 0 ? 3( a ? 1) ? 2 ,此时 3 3(a ? 1) f ( x) ? 1 ? sin x ? ? a ? 2 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 , 1 ? sin x

且当 sin x ? 3( a ? 1) ? 1 ? ? ?1,1? 时不等式等号成立,故 f min ( x) ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 . ???????(6 分) 当a ? 故此时

?

?

7 3(a ? 1) 时, 3(a ? 1) ? 2 ,此时“耐克”函数 y ? t ? 在 0, 3( a ? 1) ? 内是递减, ? 3 t

?

f min ( x) ? f (1) ? 2 ?

3(a ? 1) 5(a ? 1) . ?a?2? 2 2

7 ? ?2 3(a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? 3 ; 综上所述, f min ( x) ? ? ? 7 ? 5(a ? 1) , a? . ? 2 3 ?
11.证 (1)记 t ?

???????(14 分)

xy ? yz ? zx ,由平均不等式 3
xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx)

?

3 2

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? . 3 ? ?
???????(4 分)

3

于是 所以
2

4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9t 3 ? 3t 2 ,

? 3t ? 2 ? ? 3t 2 ? 3t ? 2 ? ? 0 ,
2 ,从而 3

而 3t ? 3t ? 2 ? 0 ,所以 3t ? 2 ? 0 ,即 t ?

25

xy ? yz ? zx ?
(2)又因为

4 . 3

???????(10 分)

( x ? y ? z )2 ? 3( xy ? yz ? zx) ,
所以 故

( x ? y ? z )2 ? 4 ,

x? y?z ? 2.

???????(16 分)

3 , 12 . 解 ( 1 ) 设 集 合 A ? 1, 2? , 2? 1, 且 A 满 足 ( a ) ( b ) 则 1? A, 7 ? A . 由 于 , .

?

?

,故 ?1, m, 7? ? m ? 2,3,?, 6 ? 不满足(b) A ? 3 . 又 ?1, 2,3, 7? , ?1, 2, 4, 7? , ?1, 2,5, 7? , ?1, 2, 6, 7? , ?1,3, 4, 7? , ?1,3,5, 7? , ?1,3, 6, 7? ,

?1, 4,5, 7? , ?1, 4, 6, 7? , ?1,5, 6, 7? 都不满足

(b) ,故 A ? 4 .

而集合 ?1, 2, 4, 6, 7? 满足(a)(b) , ,所以 f (3) ? 5 . ???????(6 分) (2)首先证明

f (n ? 1) ? f (n) ? 2, n ? 3, 4,? .
n 事实上,若 A ? 1, 2,? , 2 ? 1 ,满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) .



?

?

令 B ? A? 2 又2
n ?1

?

n ?1

? 2, 2n ?1 ? 1? ,由于 2n?1 ? 2 ? 2n ?1 ,故 B ? f (n) ? 2 .

? 2 ? 2(2n ? 1), 2n?1 ? 1 ? 1 ? (2n?1 ? 2) ,所以,集合 B ? ?1, 2,? , 2 n ?1 ? 1? ,且 B 满足
f (n ? 1) ? B ? f (n) ? 2 .

(a)(b) , .从而 ???????(10 分)

其次证明:

f (2n) ? f (n) ? n ? 1, n ? 3, 4,?.
n 事实上,设 A ? 1, 2,? , 2 ? 1 满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) .令



?

?

B ? A ? ?2(2n ? 1), 22 (2n ? 1),? , 2n (2n ? 1), 2 2 n ? 1? ,
由于

2(2n ? 1) ? 22 (2n ? 1) ?? ? 2n (2n ? 1) ? 22 n ? 1 ,

26

2n 所以 B ? 1, 2,? , 2 ? 1 ,且 B ? f (n) ? n ? 1 .而

?

?

2k ?1 (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1), k ? 0,1,?, n ? 1 , 22 n ? 1 ? 2n (2n ? 1) ? (2n ? 1) ,
从而 B 满足(a)(b) , ,于是

f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 . ???????(14 分)
由①,②得 反复利用②,③可得

f (2n ? 1) ? f (n) ? n ? 3 .



f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 .
???????(16 分)

2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 1、设集合 S ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , T ? x | x ? 2 |? 3 ,则 S ? T =(

?

?

?

?



A、 {x | ?5 ? x ? ?1}

B、 {x | ?5 ? x ? 5} C、 {x | ?1 ? x ? 1}

D 、 {x |1 ? x ? 5} ) D、

2、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 BC1 与截面 BB1 D1 D 所成的角是( A、

? 6
2

B、

? 4

C、

? 3

? 2

3、已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , g ( x) ? kx ? 1 , 则“ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的( )

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ,作 ?1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ? 2 ,面积为 S 2 , 如此下去作一系列的正三角形 ?3 , ? 4 ,? ,其面积相应为 S3 , S4 ,? , 设 S1 ? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ,则 lim Tn =(
n ???



A 、

6 5

B 、

4 3

C、

3 2

D 、2

27

5、设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的动点,则
2

| MO | 的最大值为( | MF |



A 、

3 3

B 、

2 3 3

C、

4 3

D 、 3

6、 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形, 在此容器内注入水, 并放入半径为 r 的一个实心球, 此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( ) A、 r B、 2r C、 3 12 r D、 3 15 r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
A F E B D

C

7、如图,正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的 中点, AE 与 BD 相交于 F ,则 FD ? DE 的值是 8、 ( x ? x ? ) 的展开式中的常数项是
2 6

??? ???? ?

. . (用具体数字作答)

1 x

(an ? 1) 2 9、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 S n ? ,则 S 20 的值为 4
10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是 12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde , 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 1 , (I)求函数 f ( x) 在 [0, . . .



?
2

] 上的最大值与最小值; b cos c 的值. a

(II)若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

28

14、已知 a, b, c ? R ,满足 abc(a ? b ? c) ? 1 , (I)求 S ? (a ? c)(b ? c) 的最小值; (II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值.

?

15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的左支交于 A 、 B 两点,直线 l 经过点 (?2,0) 和 AB
2 2

的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

29

16、设函数 f n ( x) ? x (1 ? x) 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,3,? ) .
n 2

1 2

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求证:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ?

1 成立; (n ? 2)2

(III)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求证:对任意正整数 n ,都有 S n ?

7 成立. 16

2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)参考解答 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 ?

6、D

3 2

8、 ?5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

2 15

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、解: (I)由条件知 f ( x) ? 2sin( x ? 由0 ? x ?

?
3

) ?1 ,

(5 分)

?
2

知,

?
3

? x?

?
3

?

5? 1 ? ,于是 ? sin( x ? ) ? 1 6 2 3

30

所以 x ? 当x?

?
2

时, f ( x) 有最小值 2 ?

?
6

1 ?1 ? 2 ; 2
(10 分)

时, f ( x) 有最大值 2 ?1 ? 1 ? 3 .

(II)由条件可知

2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立, 3 3
∴ 2a sin( x ?

?

?

?

) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3 3

?

?

∴ 2(a ? b cos c) ? sin( x ?

?

) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3
(15 分)

?

? a ? b cos c ? 0 ? ∴ ?b sin c ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ?
由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ?1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1 (舍去) cos c ? ?1 , , 解得 a ? b ?

1 b cos c ? ?1 . , c ? (2k ? 1)? ,所以, a 2
2

(20 分)

14、解: (I)因为 (a ? c)(b ? c) ? ab ? ac ? bc ? c ? ab ? (a ? b ? c)c ? ab ?

1 (5 分) ab

? 2 ab ?

1 ? 2 ,等号成立的条件是 ab ? 1 , ab
2 ? 1 时, S 可取最小值 2.
(10 分)

当 a ? b ? 1, c ?

(II)当 S 取最小值时, ab ? 1 ,从而 c(a ? b ? c) ? 1,
2 即 c ? (a ? b)c ? 1 ? 0 ,令 t ? a ? b ,则 t ? 2 ab ? 2

(15 分)

从而 c ?

?t ? t 2 ? 4 ?t ? t 2 ? 4 ? 0 (舍去) 或者 c ? 2 2

故 c?

?t ? t 2 ? 4 2 ? 在 t ? [2, ??) 单减, 2 t2 ? 4 ? t
(20 分)

所以在 t ? 2 时, c 有最大值 2 ? 1 .

31

15、解:将直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 方程联立得 ?
2 2

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? y ? 1

化简得 (k ? 1) x ? 2kx ? 2 ? 0 ①
2 2

(5 分)

? ? ? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 由题设知方程①有两负根,因此 ? x1 ? x2 ? ? 2 (10 分) ? 0 ,解得1 ? k ? 2 . k ?1 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? ?

2k , k 2 ?1

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ?
故 AB 的中点为 (?

2k 2 2 ?2?? 2 2 k ?1 k ?1

k 1 ,? 2 ), k ?1 k ?1 ?1 ?2 所以直线 l 方程为 y ? , (15 分) ( x ? 2) ,其在 y 轴的截距 b ? 2 2 2k ? k ? 2 2k ? k ? 2 1 2 17 2 当 1 ? k ? 2 时, 2k ? k ? 2 ? 2(k ? ) ? ,其取值范围是 (?1, 2 ? 2) 4 8 ?2 所以 b ? 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) . (20 分) 2 2k ? k ? 2
2

16、解: (I) f n ( x) ? nx
'

n ?1

(1 ? x)2 ? 2 x n (1 ? x) ? x n ?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2 x] ,

当 x ? [ ,1] 时,由 f n ( x) ? 0 知 x ? 1 或者 x ?
'

1 2

n , n?2

(5 分)

n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f1 ( ) ? , f n (1) ? 0 ,故 a1 ? ; 8 n?2 3 2 2 8 n 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, ? ? [ ,1] ,又 f 2 ( ) ? , f n (1) ? 0 ,故 a2 ? ; 16 n?2 2 2 2 16 n 1 当 n ? 3 时, ? [ ,1] , n?2 2 1 n n ∵ x ?[ , ) 时, f n' ( x) ? 0 ; x ? ( ,1) 时, f n' ( x) ? 0 ; 2 n?2 n?2
当 n ? 1 时,

n n 2 2 4n n n ) ( ) ? ∴ f n ( x) 在 x ? 处取得最大值,即 an ? ( n?2 n?2 (n ? 2) n ? 2 n?2

32

?1 ? 8 ,(n ? 1) ? 综上所述, an ? ? . 4n n ? ,(n ? 2) ? (n ? 2) n?2 ?
(II)当 n ? 2 时,欲证

(10 分)

4n n 1 2 ? ,只需证明 (1 ? ) n ? 4 n?2 2 (n ? 2) ( n ? 2) n

0 1 2 n ∵ (1 ? ) n ? Cn ? Cn ? ( )1 ? Cn ? ( ) 2 ? ? ? Cn ? ( ) n

2 n

2 2 n n n(n ? 1) 4 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n
1 成立. (n ? 2)2

2 n

所以,当 n ? 2 时,都有 an ?

(15 分)

(III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 当 n ? 3 时,由(II)知 Sn ?

1 1 ? ? a3 ? a4 ? ? ? an 8 16

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ?? ? 8 16 5 6 (n ? 2) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 8 16 4 5 5 6 n ?1 n ? 2 1 1 1 7 ? ? ? ? . 8 16 4 16 7 所以,对任意正整数 n ,都有 S n ? 成立. (20 分) 16

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛(及答案) 一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x 的最大值是________________ ; 解: f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 2 2 ,其等号仅当 1 ? 2 x ? 所以,f(x)最大= 2 (王泽阳 供题)

3 ? 2x 即 x ?

1 时成立, 2

2.

2.如果自然数 a 的各位数字之和等于 5,那么称 a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一 列 a1,a2,?,an.若 an=2012.则 n=_______________. (王继忠 供题) 解:设 x1 x2 ? xm 为吉祥数,则 x1+x2+?+xm=5,由 x1≥1 和 x2,?,xm≥0 得 (x1-1)+x2+?+xm=4,所以, x1 x2 ? xm 为第 C m ? 3 个吉祥数. 1x2 ? xm 为第 C m ? 2 个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共 1 个,二位吉祥数共 C5 因以 1 为首位的四位吉祥数共 C6
4 4 4 4

? 5 个,三位吉祥数共 C64 ? 15 个,

? 15 个,以 2 为首位的前两个四位吉祥数为:

2003 和 2012.故 n=1+5+15+15+2=38. 3.已知 f(x)是 2011 次多项式,当 n=0,1,?,2011 时,

f ( n) ?

n . n ?1

则 f(2012)=______; (王 林 供题) 解:当 n=0,1,?,2011 时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有 2012 个根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)?(x-2011). 取 x=-1,则 1=2012!a.故 a ?

1 , 2012!
,

f ( x) ?

x( x ? 1)( x ? 2) ?( x ? 2011) x ? 2012!( x ? 1) x ?1

f (2012) ?

2012! 2012 2013 ? ? ?1 . 2012!2013 2013 2013

4.将圆周上 5 个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第 1 步转过 1 个间 隔将到达的那个点染红,第 2 步转过 2 个间隔将到达的那个点染红,第 k 步转过 k 个间隔将到达的那 个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将 5 个点依次编号 0—4,且不妨设开始染红的是 0 号点,则第 1 步染红的是 1 号点,第 2 步染 红的是 3 号点,第 3 步染红的又是 1 号点.故共可得 3 个红点. 5.如图,设 O , I 分别为 ?ABC 的外心、内心,且 ?B ? 60 , AB > BC , ?A 的外角平分线
?

交⊙ O 于 D ,已知 AD ? 18 ,则 OI ? _____________.

(李耀文 供题) D A

44

E O I B C

解: 连接 BI 并延长交⊙ O 于 E ,则 E 为弧 AC 的中点.连

OE 、 AE 、 CE 、 OC ,由 ?B ? 60? ,易知 ?AOE 、 ?COE 均为
正三角形.由内心的性质得知: AE ? IE ? CE ,所以 A 、 O 、 I 、 C 四点共圆,且圆心为 E .再延长 AI 交⊙ O 于 F , 由题设知 D 、 O 、 F 共线,于是 ?OEI ? 2?OAI , ?AOD ? 2?AFD ? 2?OAI , 又 OA ? OD ? OE ? IE , 从而 ?OAD ≌ ?EOI , 故 OI ? AD ? 18 . 二.解答题(本题共 5 道小题,每小题 20 分,满分 100 分) 6.证明:对任给的奇素数 p,总存在无穷多个正整数 n 使得 p|(n2n-1). (陈永高 供题) 证明:取 n=(p-1)k,则由费尔马小定理知 2
( p ?1) k

? 1(mod p) ,所以, p|(n2n-1)

? ( p ? 1)k ? 2( p ?1) k ? 1(mod p) ? ( p ? 1)k ? 1(mod p) ? k ? ?1(mod p) .
取 k=pr-1(r∈N*),即 n=(p-1)(pr-1),就有 ( p ? 1)k ? 2
( p ?1) k

? 1(mod p) 即 p|(n2n-1).

7.如图,已知 P 是矩形 ABCD 内任意一点,延长 BP 交 AD 于 E,延长 DP 交 AB 于 F,延长 CP 交矩形的外接圆于 G。求证:GE⊥GF. (叶中豪 供题) 证法 1: 设 CG 交 AD 于 Q,由∠GBA=∠GDA 及 ∠AGB=∠CGD 知△ABG∽△QDG。延长 DF、CB G 交于 R,由 AD∥BR, AD=BC Q E A 得

AF BC ? FB BR

D

① F

P

又由△CPB∽△QPE 及△RPB∽△DPE 得

BC QE ? BR R ED



B

C

由①,②得

AF QE ? ,表明 F,E 是△ABG,△QDG 的相似对应点,故得 FB ED

△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF. 证法 2:联结 GB,GD,令∠GCB= ? ,∠GCD= ? , G A Q P F , B E D

由正弦定理得:

GB sin ? BP sin ?PBC ? ? GD sin ? DP sin ?PDC

BF sin ?BFP sin ?PBC BF ? ? ? DE sin ?DEP sin ?PDC DE

β α

C

由∠GBF=∠GDE 得△FBG∽△EDG. 所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF.

45

8.对于恰有 120 个元素的集合 A.问是否存在子集 A1,A2,?,A10 满足: (1)|Ai|=36,i=1,2,?,10; (2)A1∪A2∪?∪A10=A; (3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕文 供题) 解:答案:存在. 考虑长度为 10 的 0,1 数列.其中仅 3 项为 1 的恰有 C10 对每个 j=1,2,?,10,第 j 项为 1 的 0,1 数列恰有 C9
2 3

? 120 个,每个作为集合 A 的一个元素. ? 36 个,它们是集合 A 的 36 个元素.对
j

每对 i,j∈{1,2,?,10}(i<j),第 i 项与第 j 项均为 1 的 0,1 数列恰有 C8

1

? 8 个,它们是 A ∩A 的
i j

元素. 综上知,存在满足条件的 10 个子集. 9.求最小的正整数 m,n(n≥2),使得 n 个边长为 m 的正方形,恰好可以割并成 n 个边长分别为 1,2,?,n 的正方形. (邹 明 供题) 解:依题意 n 个边长为 m 的正方形,恰好可以割并成 n 个边长分别为 1,2,?,n 的正方形 2 ? 1 +22+?+n2=nm2,即 6m2=(n+1)(2n+1), 则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6), 由 n2≡0,1,3,4(mod6)知 n≡±1(mod6). 若 6|n+1,设 n=6k-1(k∈N),得 m2=k(12k-1), 因(k,12k-1)=1,所以 k 与 12k-1 都是完全平方数,但 12k-1≡3 (mod4)矛盾! 若 6|n-1,设 n=6k+1(k∈N),得 m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以, 3k+1=v2,4k+1=u2,消去 k 得 4v2-3u2=1,v=u=1 时,k=0,n=1,但 n≥2,故 u>1,v>1. 由 4v2-3u2≡1(mod8)知 u,v 为奇数, 直接计算得 umin=15,vmin=13,k=56,所以, m 最小=15?13=195,n 最小=337. 10.设实系数三次多项式 求证: 6a
3 2

p( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 有三个非零实数根.
3 2

? 10(a ? 2b) ?12ab ? 27c .

(李胜宏 供题)

证明:设 ? , ? , ? 为 p(x)=0 的三个根,由根与系数关系

?? ? ? ? ? ? ? a ? ??? ? ?? ? ?? ? b 得: ???? ? ?c ?

a ? 2b ? ? ? ? ? ?
2 2 2

2

.原式 ? 6a(a

2

? 2b) ? 10(a ? 2b) ? 27c
2
2 2 3 2 2

3 2

? 6(? ? ? ? ? )(? ? ? ? ? ) ? 10(? ? ? ? ? ) ? 27???
2 2 2

①.

46

若? 若?

2

? ? 2 ? ? 2 ? 0 ,则①成立.
? ? 2 ? ? 2 ? 0 ,不妨设 | ? |?| ? |?| ? | ,由①的齐次性,不妨设

2

? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 9 ,则 ? 2 ? 3 , 2?? ? ? 2 ? ? 2 ? 9 ? ? 2 ? 6 .
① ? 2(?

? ? ? ? ) ? ??? ? 10 .因

[2(? ? ? ? ? ) ? ??? ]2 ? [2(? ? ? ) ? (2 ? ?? )? ]2 ? [4 ? (2 ? ?? )2 ][(? ? ? ) 2 ? ? 2 ] ? [ 8 ? 4 ? ? ( ?2 ) ] (? ? ? ?) ? ? 9 2
2 ?3( ? ) ? ( ? ) 2? ?

2 0?( ? ?

)

72

? (?? ? 2)2 (2?? ? 7) ? 100 ? 100 ,所以, 2(? ? ? ? ? ) ? ??? ? 10 .故原式成立.
二O一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷 (2012 年 6 月 24 日上午 9:00-11:30) 考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 一、填空题( 本题满分 56 分,每小题 7 分) 1. 空间四点 A ,B ,C ,D两两间的距离均为1,点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动,则点 P 与点Q间的最小距离为____________;

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ?0 ? OP ? OA ? 1 ? 2.向量 OA ? ?1, 0 ? , OB ? ?1,1? , O 为坐标原点,动点 P ? x, y ? 满足 ? , 则点 ??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2 ?
Q ? x ? y, y ? 构成的图形的面积 为

3. 设有非空集合 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? 且当 a ? A 时,必有 8 ? a ? A ,这样的集合A的个数是 _____________; 4.设 f ? x ? ? ?

? x ? ? x? , x ? 0 ? 若 , 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, f ? x ? ? kx ? k ? k ? 0 ? 有三个 ? f ? x ? 1? , x ? 0 ?

不同的实数根,则实数 k 的取值范围是 5. 11位数的手机号码, 前七位数字是1390931, 若余下的4 个数字只能是1、 、 且都至少出现1 次, 3 5 这样的手机号码有___________个; 6.若 tan x1 ? tan x2 ?? ? tan x2012 ? 1, 则 sin x1 ? sin x2 ?? ? sin x2012 的最大值是 7.设函数 f : R ? R ,满足 f ? 0 ? ? 1 且对任意 x, y ? R 都有 ;

47

f ? xy ? 1? ? f ? x ? f ? y ? ? f ? y ? ? x ? 2 ,则 f ? x ? ?
8.实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值为
2 2 2

; ;

二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分,第11、12 题每题18 分) 9.已知数列 ? an ? 满足

an ?1 ? an ? 1 ? n ? n ? N * ? ,且 a2 ? 6 。 an ?1 ? an ? 1

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an ? n ? N * ? , c 为非零常数,若数列 ?bn ? 是等差数列,记 n?c

cn ?

bn , Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,求 S n. 2n
2

10.M是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的准线上任意点,过M作抛物线的切线 l1 , l2 ,切点分别为A、B(A在 x轴上方)。 (1)证明:直线AB过定点; (2)设AB的中点为P,求|MP|的最小值。

11.设 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1,求证:

?a

2

b c ? 1 ? a ? b2 ? c 2 ? ? ? ? ?? . ?b?c a ?c a ?b ? 2

12.某校数学兴趣小组由m 位同学组成,学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组的一次活 动中,每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题,并 且每位指导教师也向全组提出一个问题,以上所有问题互不相同,这样共提出了51个问题.试求m , n 的值.

48

49

50

51

2012 年河北省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解 答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号 里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

5? 3? ) , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( D 4 2 A. 2sin ? B. ?2sin ? C. ?2cos ? D. 2cos? 5? 3? 解答:因为 ? ? [ , ] ,所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? 4 2 ? 2 c o? 。正确答案为 D。 s
1. 已知 ? ? [ 2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( C ) A. 2 B. 2 2 C.
2

?2

D. ?2 2

解答:由题意得 2 ? a ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的 ( B ) A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件

解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 过椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2

C )

52

A.

2 6 3

B.

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?
?1 ? 5? x f ( x) ? ? x 5. 函数 ? 5 ?1

4 4 2 。正确答案为 C。 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 3 3
,则该函数为( A )

x?0 x?0

A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 3 正视图 A. 4+ 1 侧视图 B. 4+ 1

2

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

5? 2

3? 2

C. 4+

? 2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?
2

? 4?

5? 。正确答案为 A。 2

? ) ,所以该几何体的体积 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( B ) A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D.8

8. 在 平 面 区 域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上 恒 有 ax ? 2by ? 2 , 则 动 点

?

?

P( a, b)所形成平面区域的面积为( A



53

A. 4

B.8

C. 16

D. 32

解答:平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1)(—1,1)(1,—1)(1,1) , , , 满足 ax ? 2by ? 2 ,即有

?

?

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2
由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( C ) 6 ? 2?
C. ? , 1 ? ?2 ?

A. ?

?1 ? , 1? ?2 ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

?1

?

D. ?

?1 ? , 1? ?2 ?

解答: 问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? 所以 m 的取值范 ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点, 6 ? 2?

围为 ? , 1 ? 。正确答案为 C。 10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C )
2

?1 ?2

? ?

A. x ? 3 或 x ? 2

B. x ? 2 或 x ? 1

C. x ? 3 或 x ? 1

D. 1 ? x ? 3
2

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4) 由 f (?1) ? x ? 5 x ? 6 ? 0, f (1) ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。
2 2

正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 函数 f ( x) ? 2sin

解答:最小正周期为 4 ? 。

x ? 3 cos x 的最小正周期为______4 ? ____。 2

12. 已知等差数列 ? an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______. 解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos ? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3] 。 解答: a ? b ? (1 ? cos ? )2 ? (sin ? ? 3)2 ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? )

?

?

? ?

? ?

54

= 5 ? 4sin(

?
6

?? )

,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , 底面 ?ABC 是正三角形, E 分别为 BB1 ,CC1 上的动点 P, (含端点) , D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90 _。
?

解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15.设 x, y 为实数,则
2 2

?

5 x ? 4 y ?10 x
2

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____4________。 2
2 2

解答: 5 x ? 4 y ? 10 x ? 4 y ? 10 x ? 5 x ? 0 ? 0 ? x ? 2

4( x 2 ? y 2 ) ? 10 x ? x 2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x 2 ? y 2 ? 4
16. 马路上有编号为 1,2,3,?,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,但 不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___ C1710 _______种。 (用组合数符号表示) 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。 17. 设 x, y, z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x ? y ? z ? 3 ,则 x ? y ? z ? _3 或 57_。
3 3 3 2 2 2
300 300

解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x ? y ? z ? 3
3 3 3

得到

xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?

8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x? y

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解;后两个方程组解得 ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16

x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。 解答:当 x ? 0, y ? ?( x ? 1) ? 1,
2

当 x ? 0, y ? ( x ? 1) ? 1,
2

---------------------------------- 5 分

55

由此可知 ymax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, ymin ? a ? 2a ;
2

---------------------------------- 10 分

当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ; 当 a ? 1 ? 2, ymin ? ? a ? 2a 。
2

---------------------------------- 17 分

? 19. 给定两个数列 ?x n ? , y n ?满足 x0 ? y 0 ? 1 ,x n ?
证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得

2 y n ?1 x n ?1 (n ? 1) 。 (n ? 1) , y n ? 1 ? 2 y n ?1 2 ? x n ?1

y n ? x jn 。
解答:由已知得到:

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2, xn xn ?1 xn xn ?1 xn
所以

1 1 ? 1 ? 2n ?1 ? xn ? n ?1 。 xn 2 ?1

----------------- 5 分

又由已知, yn ? 1 ?

( yn ?1 ? 1) 2 y ?1 y ?1 1 1 2 ? n ? ( n ?1 ) 2 ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n ?1 yn y n ?1 yn yn ?1

由1 ?

n 1 1 1 , ? 2 ? 1 ? ? 22 ? yn ? n y0 yn 22 ? 1
------------------- 17 分

n 所以取 jn ? 2 ? 1 即可。

20. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D (a, 0) 为 F1 右侧一点, 52 4 2

连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3

56

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 25 16

2 2 ? ( 1 6? 2k5 x) ? 1 k 20x ? 5

2 2k2 5 ?

400 ?得

0

x1 ? x2 ? ?

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ? 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
----------------------10 分

设 M (?

(3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 25 25 。 ,同理y4 ? , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 ) 3 3
, 得



????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

y3 y 4? ?

(3a ? 25) 2 y1 y2 256 (3a ? 25) 2 256k 2 256 , 而y 3 y 4 ? ,即 ? ? =? , 整理得 2 9( a ? x1 )( a ? x2 ) 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 ? 25k 9

(1 ? k 2 )(16a 2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。
--------------17 分

四、附加题(本大题共 2 小题,每小题 25 分,共计 50 分) 21. 在锐角三角形 ABC 中,?A ?

?
3

, 设在其内部同时满足 PA ? PB 和 PA ? PC 的点 P 的全体形

成的区域 G 的面积为三角形 ABC 面积的

1 。证明三角形 ABC 为等边三角形。 3

解答:做 ?ABC 的外接圆 O,做 OE ? AB于 E, OF ? AC于 F, OM ? BC于M, 则 G 为四边形 A AEOF。又

57

E

F

O

C B M D

1 S四边形AEOF ? S?ABC , 2S四边形AEOF ? 2S?AEO ? 2S?AOF ? S?AOB ? S?AOC 3 1 所以 S?OBC ? S?ABC 。 --------------------------10 分 3 1 由已知?BOC ? 120? , 则?OBC ? 30? ,则OM= R(R为?ABC外接圆半径) 2 3 作AD ? BC于D, 则AD ? AO ? OM ? R 2 1 3R S?ABC ? ? BC ? 3S?OBC ,等号成立当且仅当 A、O、M 共线,即 ?ABC 为等边三角形。 2 2
--------------------------25 分
? 22. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 3 。求证:

a?b b?c c?a 3 ? ? ? , 2?a?b 2?b?c 2?c?a 2
并指明等号成立的条件。

证明:由柯西不等式

ai2 ?b ? i ?1 i
n

(? ai ) 2
i ?1 n

n

?b
i ?1

得到

i

( a ? b ? c ? b ? a ? c )2 a?b b?c c?a ? ? ? 6 ? 2(a ? b ? c) 2?a?b 2?b?c 2?c?a

(1) --------------------10 分

(1)式右边的分子= 2(a ? b ? c) ? 2( a ? b c ? b ? c ? b a ? c ? a ? c c ? b ) = 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? b(a ? c ) ? ac ? ?) ? 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? 2b ac ? ac ? ?)
2 2

58

? 2(a ? b ? c) ? 2(b ? ac ? a ? bc ? c ? ab ) ? 3(a ? b ? c) ? ( a ? b ? c ) 2

? 3(a ? b ? c ? 3) 。
等号成立条件是 a ? b ? c ? 1 。结论成立。

--------------------------20 分 --------------------------25 分

2012 年浙江省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解 答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1 的 125

最小整数 n 是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA、PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式

1 1 1 ( ? ? PQ PR PS



A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数
2005

3xn ? 1 3 ? xn

,则

?x
n ?1

n

=(



A.1 4.已知 a =(cos

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

2 2 π, sin π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角 3 3
) C.2 D. B.

三角形,则△OAB 的面积等于( A.1

1 2

3 2

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) 5.过椭圆 C: ,延长 PH 到点 3 2
Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为( A. (0, )

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2
b

6. 在△ABC 中, A、 C 的对边分别记为 a、 c(b≠1), 角 B、 b、 且 的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形

C sin B , 都是方程 log A sin A

x=logb(4x-4)

B.是直角三角形,但不是等腰三角形

59

C.是等腰直角三角形

D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( A.64 B.32 C.16 ) D.8

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 , 则动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 ( ) A. 4 B.8 C. 16 D. 32

?

?

9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( ) 6 ? 2?
C. ? , 1 ? ?2 ?

A. ?

?1 ? , 1? ?2 ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

?1

?

D. ?

?1 ? , 1? ?2 ?

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为(
2

) D. 1 ? x ? 3

A. x ? 3 或 x ? 2

B. x ? 2 或 x ? 1

C. x ? 3 或 x ? 1

二、填空题(每题 7 分.共 49 分) 11.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 12.如果: (1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 13.设 n 是正整数,集合 M={1,2,?,2n}.求最小的正整数 k,使得对于 M 的任何一个 k 元子集, 其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 14.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 15.我们注意到 6!=8?9?10,试求能使 n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数 n 为 __________. 16.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所 有整数 a=__________. 17.已知 a, b, c∈R+,且满足

kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,则 k 的最小值为__________.。 a?b?c

三、解答题(每题 17 分,共 51 分) 18.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切, ⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

60

19.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2, (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

20.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D (a, 0) 为 F1 右侧一点, 52 4 2

连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

附加题 (每题 25 分,共 50 分) 21. 如图,已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线与△ABC 的外接圆交于点 D,以 CD 为直径的圆分 别交 BC,CA 于点 P、Q,求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长。 E A Q D

B

P

C

61

22.(50 分)求所有实多项式 f 和 g,使得对所有 x∈R,有:(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。

参考答案 一、选择题 1 . 由 递 推 式 得 : 3(an+1-1)=-(an-1) , 则 {an-1} 是 以 8 为 首 项 , 公 比 为 -

1 的等比数列,∴ 3

62

1 8[1 ? (? ) n ] 3 =6-6?(- 1 )n,∴|S -n-6|=6?( 1 )n< 1 ,得:3n-1>250, Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)= n 1 3 3 125 1? 3
∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。 2.设正三棱锥 P-ABC 中,各侧棱两两夹角为α ,PC 与面 PAB 所成角为β ,则 vS-PQR=
PQR

1 S△ 3

1 1 ( PQ ? PRsin α ) ? PS ? sin β 。 另 一 方 面 , 记 O 到 各 面 的 距 离 为 d , 则 3 2 1 1 1 1 d 1 vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS , S △ PQR ?d= △ PRS ?d+ S △ PRS ?d+ △ PQS ?d= ? PQ?PRsinα 3 3 3 3 3 2 d 1 d 1 + ? PS?PRsinα + ? PQ?PS?sinα ,故有:PQ?PR?PS?sinβ =d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS), 3 2 3 2
? h= 即

1 1 1 sin ? =常数。故选 D。 ? ? ? PQ PR PS d
xn ?

3 3 ,令 x =tanα ,∴x =tan(α + ? ), ∴x =x , x =1,x =2+ 3 , x =-2- 3 , x =-1, 3. n+1= x n n n+1 n n+6 n 1 2 3 4 6 3 1? xn 3
2005

x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,??,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

4.设向量 b =(x, y),则 ?

?(a ? b)( a ? b) ? 0 ? ?| a ? b |?| a ? b | ?



? 1 3 1 3 ) ? ( ? x ? ,? y ? ?0 ?( x ? , y ? ?x 2 ? y 2 ? 1 3 1 ? ? 2 2 2 2 , ) 或 即 ? , 即 ? . ∴ b?( 2 2 ?x ? 3 y 1 2 3 2 1 2 3 2 ?( x ? ) ? ( y ? ? ) ? (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2 2 ?
(? 3 1 1 , ) ,∴S△AOB= | a ? b || a ? b | =1。 2 2 2

5.设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λ PH,所以

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? ? ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q 点轨迹为 ? PQ 1 ? ? ? y1 ? y ?

63

3?2 ? 2 2 3 [ x ? 3(1 ? ? )] 2 y 2 ? 1 ? 2 ?[ ,1) 。故选 C。 ? ? 1 ,所以离心率 e= 2 3 2 3? 3? 2 3?
6.由 log
b

x=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,因 A+B+C=180°,

所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA≠0,所

1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 4 2 7. 经计算 x ? 32 。正确答案为 B
以 sin2A= 8. 平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1)(—1,1)(1,—1)(1,1)满足 , , ,

?

?

ax ? 2by ? 2 ,即有

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2
由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A 9.问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? 所以 m 的取值范围为 ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点, 6 ? 2?

?1 ? ? ? 2 , 1 ? 。正确答案为 C ?
10.不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)
2

由 f (?1) ? x ? 5 x ? 6 ? 0, f (1) ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。
2 2

正确答案为 C。 . 二、填空题

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 11. 3 。 ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?
由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u ,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 12.46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数字时, 能组成 C3 C 2 C 2 ? C 2 C 2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时,能组成 A 4 =24 个不同数,所
1 1 1 1 1

2

4

以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 13. 解考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-l,n,n+1,?,2n}.

64

P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以 k≥n+3. 将 M 的元配为 n 对,Bi=(i,2n+1-i),1≤i≤n. 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A(i1、i 2、i 3 两两不同). 又将 M 的元配为 n-1 对,C i (i,2n-i),1≤i≤n-1. 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有一对 Ci4 同属于 A, 这一对 Ci4 必与 Bi1 , Bi2 , Bi3 中至少一个无公共元素, 4 个元素互不相同, 这 且和为 2n+1+2n=4n+1, 最小的正整数 k=n+3 14.

13 ? 1 21 ? 1 t ?1 t ?1 , 。①若 t2-4>0,即 t<-2 或 t>2,则由 2 >x(|x|≤1)恒成立,得 2 ? 1, 2 2 t ?4 t ?4 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 ?t ? ,从而 <t<-2 或 2<t< 。②若 t2-4=0, 2 2 2 2

t+1>t2-4, t2-t-s<0 解得

则 t=2 符合题意。③若 t2-4<0,即-2<t<2,则由

t ?1 t ?1 <x(|x|≤1)恒成立,得 2 ? ?1 ,t+1>-t2+4; 2 t ?4 t ?4

t2+t-3>0,解得:t<

? 1 ? 13 ? 1 ? 13 ? 1 ? 13 或 t> ,从而 <t<2。综上所述,t 的取值范围是: 2 2 2

13 ? 1 21 ? 1 <t< 。 2 2
15.23. 。 16.1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1, 再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的正整 数 t,恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,??,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 17.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2ac +2 2bc )2=

4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ? (a ? b ? c) abc

≥ 8(53

1 a 2b 2c ) ? (55 ) ? 100 。 2a 2 b 2 c 2 24

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。

65

三、解答题 18. l 为 x 轴, P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系, Q 的坐标为(x, 0), A(k, λ ), 以 点 设 点 ⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x ? 2 =1+r。所以 x=± r ? 2r ? 3 , ∴
2 2 2

tan∠MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

o?r o?h ? ? x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh ? ? , 令 2 2 (x ? k) ? r ? h ( ? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

1 2 2 ,所以 m+r ? k r ? 2r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r ? 2r ? 3 ,两 n

边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2 ,因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所以

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 2 (2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 2m=h2+k2-3 得 ?2m(1 ? nh) ? 2k (2) ,由(1) h ?(1 ? nh) 2 ? k 2 (3) ? 1 h=± 3 ,所以 tan∠MAN= =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 时∠ n
MAN=60°) ,故∠MAN=60°。

a2 a 2 a2 a 19. (1)证:依题设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(x)+ ,∴f( )= ≤1,∵ 4b 2b 2b 4b
a>0, b>0, ∴a≤2 b 。 (2)证: (必要性) ,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b≥-1,∴a ≥b-1。对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? f(x)≤1,因为 b>1,可推出 f(

1 b

)≤1。即 a?

1 b

-≤1,∴a

≤2 b ,所以 b-1≤a≤2 b 。 (充分性) :因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1, ax-bx2≥-1; 即: 因为 b>1, a≤2 b , 对任意 x∈[0, 1], 可推出 ax-bx2≤2 b -bx2≤1, ax-bx2 即 ≤1,∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 。 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1; a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。

66

所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 的充要条件是:a≤b+1. 20. F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3
2 2 ? ( 1 6? 2k5 x) ? 1 k 20x ? 5 2 2k2 5 ?

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 25 16

400 ?得

0

x1 ? x2 ? ?

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ? 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
----------------------10 分

设 M (?

(3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 25 25 。 ,同理y4 ? , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 ) 3 3
, 得



????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

(3a ? 25) 2 y1 y2 256 (3a ? 25) 2 256k 2 256 y3 y 4? ? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? ? =? , 整理得 2 9( a ? x1 )( a ? x2 ) 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 ? 25k 9

(1 ? k 2 )(16a 2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。
----------

67

A Q

D

B

P

C

附加题 21 证:如图,连结 DB、OP、DQ,因∠ABD+∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB,则∠EAC= ∠DBC+∠DCB,即: 2∠DAC=∠DBC+∠DCB;又∠DAC=∠DBC, 则: ∠OBC=∠DCB; 故△DBC

1 BC。在圆内接四边形 ABCD 中,由托勒密定理得: 2 BC ? AD 2 BP ? AD AC?BD=BC?AD+AB?CD,因 BD=CD,则:AC-AB= ,又 DQ⊥AC,则 ? BD BD AQ AD BP ? AD AC ? AB △ADQ∽△BDP,所以 ,即:AQ= 。故 AC-AB=2AQ,即 AQ= 。 ? BP BD BD 2 1 1 AC ? AB 1 从而:CQ+CP=(AC-AQ)+ BC=(AC) ? BC= (AB+BC+CA)。 2 2 2 2
为等腰三角形,因 OP⊥BC,则 CP=

22.设 w 是 1 的非实的立方根,满足 w2+w+1=0,则 g(w2+w+1)g(0)=0,设α 为-1 的非实的立方根, 则 f(α 2-α +1)=f(0)=0, 故可设: f(x)=x? a(x); g(x)=x? b(x)。 因此原条件可化为: 2-x+1)=b(x2+x+1)。 a(x 2 2 2 令 x=-y,得:a(y +y+1)=b(y -y+1), 1]。下面证明无穷多个 n 使得:a(n +3n+3)=a(1)。由 n=1 可得: a(1)=a(7) , 假 设 a[(n-1)2+3(n-1)+3]=a(1)(n ≥ 2) , 则 2 2 2 2 a[(n+1) +3(n+1)+3]=a[(n+2) +(n+2)+1]=a[(n+1) -(n+1)+1]=a[(n-1) +3(n-1) +3]=a(1)。 由于多项式 a(x)-a(1)有无穷多个根, 所以 a(x)-a(1)是零多项式, a(x)为常数, 即 因此 f(x)=kx, 类似可知:g(x)=kx。

68

2012 年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. (B). 2. (C). 3. (C) . 4. (A). 5. (D). 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7. 16? . 8.

6. (A) .

1007 . 3018

9.

n ?1 . 10. (??, ?2) ? (?1,1) . 11. 2

2.

12. 3 .

三.解答题 13.(本小题满分 20 分) 证明:假设 a ? b ,则 13 ? 13 ,5 ? 5 .
a b a b

? 3 ? ? 13 ? 由 3 ? 13 ? 17 , 得 3 ? 13 ? 17 , 即 ? ? ? ? ? ? 1 ,????? ???(5 分) ? 17 ? ? 17 ?
a b a a a a

a

a

3 13 16 ? 3 ? ? 13 ? 由于 f ( x) ? ? ? ? ? ? 单调递减, f (1) ? ? ? ? 1 ,且 f (a) ? 1 ? f (1) , 17 17 17 ? 17 ? ? 17 ?
故 a ? 1.
b b

x

x

??????????(10 分)
b b

由 5 ? 7 ? 11 , 得 5 ? 7 ? 11 ,即 ?
a

b

b

b

?5? ?7? ? ? ? ? ? 1 .??????????(15 分) ? 11 ? ? 11 ?

5 7 12 ?5? ?7? 由于 g ( x) ? ? ? ? ? ? 单调递减, g (1) ? ? ? ? 1, g (b) ? 1 ? g (1) , 11 11 11 ? 11 ? ? 11 ?
故 b ? 1. 因此, a ? 1 ? b ,与 a ? b 矛盾,所以, a ? b . 14. (本小题满分 20 分) 解:由题意可设椭圆方程为 ????????(20 分)

x

x

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) ,

y P

?c 3 ? ? ?a ? 2 ? 2 由 ?a 得 ? , ?b ? 1 ? 2 ? 1 ?1 ? a 2 2b 2 ?
所以,椭圆方程为

O Q

x

x2 4

? y 2 ? 1.

????????(5 分)

由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0 ,故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) ,

69

? y ? kx ? m P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 满足 ? 2 , 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 .
2 2 2

? ? 64k 2 m2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,
且 x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4(m 2 ? 1) 1 ? 4k 2



y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 . ?????(10 分)
因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,

所以,

y1 y2 x1 x2

?

?

k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 x1 x2
2

? k 2 ,即

?8k 2 m 2 1 ? 4k 2

? m2 ? 0 ,
????????(15 分)

又 m ? 0 ,所以 k ?

1 1 ,即 k ? ? . 4 2
2 2

由于直线 OQ 的斜率存在,且 ? ? 0 ,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 . 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S ?OPQ ?

1 1 m d PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 2 2 2 1? k

1 m ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? m2 (2 ? m2 ) , 2 所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1) . ?
15.(本小题满分 25 分)

????????(20 分)

证明:连结 OP, OA, OC, EP ,显然 O, P, N 三点共线,且 OP ? AB , 所以 N 是 AB 中点,由 M 是 PA 的中点,故 MN ? MP ? MA ,

MN ? PQ .

A
????????(5 分)

M
PM ? AM ? ME ? MC ,
2 2

E
O ? N

所以

?MPE ∽ ?MCP , ?MCP ? ?MPE .
????????(10 分)

D
Q

P

又 O, A, P, B 四点共圆,

C

B
ON ? PN ? AN ? BN ? CN ? EN ,
故 O, C, P, E 四点共圆, ?OCN ? ?EPN .
70

????????(15 分)

?PAO 是直角三角形,
有 PN ? PO ? PA ? PD ? PC ,
2

于是 C , D, N , O 四点共圆.

????????(20 分)

?QNP ? ?PCO ? ?MCP ? ?MCO ? ?MPE ? ?EPN ? ?APN ,
所以 M ? NPQ ,四边形 MNQP 是菱形. 16.(本小题满分 25 分)
2 (1)解法一:由 a1 ? 1, 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 ( n ? 1, n ? N + ) 得

????????(25 分)

5 21 85 a2 ? , a3 ? , a4 ? , 2 4 8
由 5 ? 1 ? 4, 21 ? 1 ? 4 ? 4 ,85 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ,猜想
2 2 3

an ?

1 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 4n ? 1 2 n 1 ? ? (2 ? n ) . 2n ?1 3 ? 2n ?1 3 2

????????(5 分)

2 1 (2 ? ) ? 1 显然成立; 3 2 2 k 1 设当 n ? k 时, ak ? (2 ? k ) 成立,当 n ? k ? 1 时, 3 2
证明:当 n ? 1 时, a1 ?
2 5ak ? 9ak ? 16 ?

10 k 1 1 10 1 1 (2 ? k ) ? 4(2k ? k ) 2 ? 16 ? (2 k ? k ) ? 2(2 k ? k ) 3 2 2 3 2 2

16 k 4 1 8 k ?1 1 ? 2 ? ? k ? (2 ? k ?1 ) ? 4a k ?1 成立, 3 3 2 3 2 2 n 1 所以,通项公式为 an ? (2 ? n ) . 3 2

2 解法二:由 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 得

????????(10 分)

5 5 2 2 2 2 ,两式相减得 an?1 ? an ? an ?1an ? 1 ,故 an ? an?1 ? an an ?1 ? 1 ( n ? 1) 2 2

? an?1 ? an?1 ? ? an?1 ? an?1 ? ?
?
故 an ?1 ?

5 ? an ? ? 0 ,又 ?an ? 为递增数列, 2 ?
????????(5 分)

5 an ? an ?1 ? 0 (n ? 1) . 2 5 1 2 特征方程为 x ? x ? 1 ? 0 ,特征根为 x1 ? 2, x2 ? , 2 2 5 n n 所以 an ? ?1 x1 ? ? 2 x2 ,将 a1 ? 1, a2 ? 代入,得 2

71

2 1 ? ? ? ?1 ? 3 ? 2?1 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ,解之得 ? , ? ?4? ? 1 ? ? 5 ? ? ??2 ? 1 4 2 2 ? 2 ? 3 ?
通项公式为 an ?

2? n 1 ? ?2 ? n ?. 3? 2 ?

????????(10 分)

(2)设 S n ?

1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? , a1 a2 a3 an

由2 ?
n

1 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? n 2 2 ? 2 ? ? ?
1 1 1 ? ? ? n ? 2? , an 2 an ?1

? n ? 2? 得
????????(15 分)

an ? 2an?1 ,

Sn ?

1 1? 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? an ?1 ? a1 a2 a3 an a1 2 ? a1 a2 a3

?

1 1? 1 ? 1 1 ? ? Sn ? ? ? ? ? Sn . a1 2 ? an ? a1 2

所以 S n ?

2 ? 2. a1

????????(25 分)

72


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