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求函数零点近似解的一种计算方法(1)


第 周 第 课 第 节 题 课 题 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法 ——二分法

总课时

第 1 课时

理解用二分法求方程近似解的原理; 知识与技能 能够借助计算器用二分法求方程的近似解

教 教 学 目 标 过程与方法 体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法; 在学习过程中,让

学生感受近似、逼近的思想方法; 培养学生利用信息技术和计算工具的能力。

情感态度 价值观

培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力; 让学生在自我解决问题的过程中,体验成功的喜悦

教学重点

能够借助计算器用二分法求方程的近似解

教学难点

方程近似解所在初始区间的确定

教学方法

启发式教学

教学手段

多媒体辅助教学









作 业

课 后 记









教学过程: 一、游戏引入 同学们,现在是幸运 52 现场直播,下面进行一个猜数字游戏:给定 1~100 这 100 个 自然数,计算机随机出一个 1~100 之间的整数,通过操作键盘让同学们去猜这个数,对 于大家每次猜测的结果,计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了” 。 讨论 1、 任给一个 1~100 的整数,我都可以在 7 次以内猜出,你们能做到吗? 2、 为什么采用正确的方法,7 次以内一定可以猜中? (第一次猜 50,若“大了” ,则猜 1 与 50 中间的整数 25,依次类推,由于每猜一次,就 排除一半,范围不断缩小,7 次以内一定可以猜中。 ) 上述游戏,每次都将所给区间一分为二,进行比较后得到新的区间,再一分为二,如此下 去,使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。这种思想就是二分法。 设计意图: 通过做游戏,来提高学生的学习兴趣,让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想。 感受领悟 在刚才的游戏中,我们体会到了二分法的用处,你还能列举一些二分法在实际生活中 的应用吗? 如:翻字典查英语单词(类似二分法);输电线路的故障检测(如:一条电缆上有 15 个接点,现某一接点发生故障,如何可以尽快找到故障接点?) 我们体会到了二分法在实际生活中的用处,其实它在数学中也有很大的用处。 因为对于一些函数,我们要用因式分解的方法来求它的精确值,比较困难,所以我们 采用二分法来求其近似值,先把二分法的思想介绍给大家 二分法就其求函数零点近似值的一种方法,比如说函 f(X) ?a, b? 1、 看判断端点处的函数值是否异号,若异号,则 f(a) 。f(b)一定存在零点, 现在把 a,b 一分为二,那么零点是在左边呢? 还在右边呢?我们得判断,能怎么判断 中点处的函数值若 f(M)恰好为 0,那么零点一定是 M,现在如果 f(M)不为 0 则必 然可能正,或者负的 f(a)相反,那么 零点在哪?(左边)现在把 ?a.M ? 区间一分为二,NM 现在我们把零点所在的区间缩小到 3 ?M , N ? 这个区间内, 依此类推我们可以把零点所 在的区间一直缩小,一直缩小,缩小到什么程度?两端点的近似值恰好相等,那么此 时,零点这个近似值就应该是 y ? f ( x) 的近似零点,计算结束了。 二分法体现了一种逼近的思想,把零点所在区间逼近缩小,缩小,再缩小让它逐渐的 逼近为零点,从而求得其零点的近似值。 P80 2、求函数 y ? x ? 3x ? 2 x ? 6 ,的一个正零点的近似值(0,1)
3 2

x 3 ? 3x 2 ? 2 x ? 6 ? 0

x 2 ( x ? 3) ? 2( x ? 3) ? ( x 2 ? 2)(x ? 3) ? 0
?x ? 3
例 2、 ①判断方程 x 正零点为 3

3

? 3x ? 1 ? 0 在区间(0,1)内是否有解?若有,有几解?

(利用两个端点的函数值异号得到在(0,1)内至少有一解; x 个数就是函数 y

3

? 3x ? 1 ? 0 解的

? x3 与 y ? 1 ? 3x 图象交点的个数,作出两者图象,知只有一解。 )

②这个实数解大概是多少?你能利用二分法来解决这个问题吗? 让学生展示自己的解决策略。 (师生共同得出前三次,下面请学生再操作 5 步,2 人一 组互相配合,一人按计算器,一人记录过程) 借助几何画板来显示这个实数解的范围逐步缩小的过程。 记

f ( x) ? x3 ? 3x ? 1,设方程 x3 ? 3x ? 1 ? 0 的实数解为 x0 , x0 ∈(0,1)

第一次: 第二次: 第三次: 第四次: 第五次: 第六次: 第 七

f (0) ? 0, f (0.5) ? 0 ? x0 ∈(0,0.5)
f (0.25) ? 0, f (0.5) ? 0 ? x0 ∈(0.25,0.5) f (0.25) ? 0, f (0.375 ) ? 0 ? x0 ∈(0.25,0.375) f (0.3125 ) ? 0, f (0.375 ) ? 0 ? x0 ∈(0.3125,0.375) f (0.3125 ) ? 0, f (0.34375 ) ? 0 ? x0 ∈(0.3125,0.34375) f (0.3125 ) ? 0, f (0.328125 ) ? 0 ? x0 ∈(0.3125,0.328125)
次 :

f (0.3203125 ) ? 0, f (0.328125 ) ? 0

?

x0



(0.3203125,0.328125) 第八次:

f (0.3203125 ) ? 0, f (0.32421875 ) ? 0 ? x0 ∈(0.3203125
讨论 若精确到 0.1,算几次就可以了? 若精确到 0.01 呢? (第 5 次,两个端点精确到 0.1 的近似值都为 0.3,故 x0

,0.32421875)

? 0.3;
) ? 0.32;

第 8 次,两个端点精确到 0.01 的近似值都为 0.32,故 x0 作业:课后练习 A 第二题


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