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全国高中数学竞赛二试模拟训练题(3)


加试模拟训练题(3)
1.设 a1,a2,…,a10 是十个两两不同的正整数,它们的和为 1995,试求 a1a2+a2a3+…+a9a10+a10a1 的最小值.

2、设 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 ,且

? xi ? a , ? xi ? b ,求证:
2 i ?1 i ?1


n

n

?1? x
i ?1

n

xi

3

?
i

a ? ab ? nb n?a
2

3、 在 2000×2000 的表格中,每格填上 1 或-1.已知表格中所有数的和非负.证明:可以
-1-

找到 1000 行与 1000 列,这些行与列交叉处的数,和不小于 1000.

4、求出有序整数对( m, n )的个数,其中 1 ? m ? 99 , 1 ? n ? 99 , (m ? n) ? 3m ? n 是
2

完全平方数。

加试模拟训练题(3)

-2-

1.设 a1,a2,…,a10 是十个两两不同的正整数,它们的和为 1995,试求 a1a2+a2a3+…+a9a10+a10a1 的最小值. 【解】设在 a1+a2+…+a10=n 时,a1a2+a2a2+…+a9a10+a10a1 (1) 的最小值为 Sn,其中 a1,a2,…,a10 为自然数,并且将它们依大小顺序排成 b1≤b2 ≤…≤b10 时,bk≥k(k=1,2,…,10). 在 n>55 时,至少有一个 k 使 bk>k,将这个 bk 减少 1,Sn 至少减少 1×(1+2)=3.所以 Sn ≥Sn-1+3 从而 S1995≥S1994+3≥…≥S55+3(1995-55)=S55+5820 对于 a1+a2+…+a10=55,必有{a1,a2,…,a10}={1,2,…,10} 将 10 减少为 9,和(1)至少减少 3.再将 2 个 9 减少为 8,和至少减少 1×2+2+3(在 2 个 9 之间恰好为 1,另两个与 9 相邻的数为 2 与 3 时正好减少这么多).依此类推,直至最大的 数为 6(共 5 个 6),和(1)至少减少 (1+2)+(1×2+2+3)+((1+2)×2+3+4)+((1+2+3)×2+4+5)=44 而由 5 个 6 与 1,2,3,4,5 这 10 个数形成的和(1),如果有两个 6 相邻,总可将一个 6 与 另一个相邻的数 a 对调.设…ba 66…变为…b6a6…,和(1)减少 6×6+ab-6a-6b=(6- a)(6-b)≥0.因此,在 5 个 6 均不相邻时,和最小,最小值为 6×2×(1+2+3+4+5)=180 所以 S1995≥44+180+5820=6044 又在(a1,a2,a3,…,a10)=(1950,1,9,3,7,5,6,4,8,2)时,a1a2+a2a3+…+a9a10 +a10a1=6044.因此 6044 即为所求的最小值.

2、设 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 ,且

? xi ? a , ? xi ? b ,求证:
2 i ?1 i ?1

n

n

?1? x
i ?1

n

xi

3

?
i

a ? ab ? nb n?a
2

证明: P ?

?1? x ,Q ? 1? x
i ?1 i
3 3

n

xi

3

1

?

1

1 1 ,则 ??? 1 ? x2 1 ? xn
3

Q?P?

1 ? xn 1 ? x1 1 ? x 2 ? ??? 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? xn
2 2

? (1 ? x1 ? x1 ) ? (1 ? x 2 ? x 2 ) ? ? ? (1 ? x n ? x n ) ? n ? ? xi ? ? xi ? n ? a ? b
2 2 i ?1 i ?1

n

n

而Q ?

n n ? (1 ? x1 ) ? (1 ? x 2 ) ? ? ? (1 ? x n ) n ? a

2

2

故P ?Q?n?a ?

n2 a 2 ? ab ? nb ?n?a?b ? n?a n?a

3、 在 2000×2000 的表格中,每格填上 1 或-1.已知表格中所有数的和非负.证明:可以 找到 1000 行与 1000 列,这些行与列交叉处的数,和不小于 1000.
-3-

【证】 因为表格中所有数的和非负,所以必有一行,至少有 1000 个 1,不妨设前 1000 个数 为 1(否则变动列的顺序). 令 A 为表格中前 1000 列组成的矩形,B 为后 1000 列组成的矩形. 在 A 中,行和(行中各数之和)最大的 1000 行用 A1 表示,其余的用 A2 表示.如果 A1 中各数之 和不小于 1000,那么命题就得到证明. 设 A1 中各数之和小于 1000.如果 A2 中有一行和非负,那么 A1 中所有行和均非负.而且 A1 中 有一行,所有数均为 1,于是 A1 中各数之和不小于 1000,矛盾.因此 A2 中行和均为负数.因 为任一行和均为偶数,所以 A2 中任一行和≤-2.这就是说,在 A 中,各数之和大于(-2)× 1000 + 1000,即小于-1000.但由题设,整个表格中各数之和非负,因此矩形 B 的各数之 和必大于 1000. 设 B1 是矩形 B 中行和最大的 1000 行,B2 是其余的 1000 行. 如果 B2 中行和均≤0,那么,由于 B 中各数之和大于 1000,所以 B1 中各数之和大于 1000.如 果 B2 中有一行和是正的,那么 B1 中行和均正,从而 B1 中各数之和仍大于 1000. 综上所述,总存在 1000 行及 1000 列,这些行与列交叉处的数的和不小于 1000. 4、求出有序整数对( m, n )的个数,其中 1 ? m ? 99 , 1 ? n ? 99 , (m ? n) ? 3m ? n 是
2

完全平方数。 解:由于 1 ? m ? 99 , 1 ? n ? 99 可得:

(m ? n) 2 ? 3m ? n < (m ? n) 2 ? 4(m ? n) ? 4 ? (m ? n ? 2) 2 。
又 (m ? n) ? (m ? n) ? 3m ? n ,于是 (m ? n) ? (m ? n) ? 3m ? n ? (m ? n ? 2)
2 2 2 2 2

若 (m ? n) ? 3m ? n 是完全平方数,则必有 (m ? n) ? 3m ? n = (m ? n ? 1) 。
2 2 2

然而 (m ? n) ? 3m ? n = (m ? n ? 1) ? n ? m ? 1 ,于是必有 n ? m ? 1 ? 0 ,即 m ? n ? 1 ,
2 2

此时 n ? 2,3,? ,99 , m ? 1,2,? ,98 。所以所求的有序整数对( m, n )共有 98 对:

(m, n) ? (1,2), (2,3), (3,4),? , (98,99) 。

-4-


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