tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2012年全国高中数学联赛郑州市预赛高一试题及答案(1)


2012 年全国高中数学联赛郑州市预赛试卷及答案 高中一年级
(2012 年 5 月 13 日上午 8:30---11:00) 考生注意:本试卷共五道大题,满分 140 分. 一、填空题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本题要求直接把结果写在横线上. 1.设集合 A ? {1,3,5}, B ? {2, 4,6}. 若集合 C ? {s | s ? a ? b, a

? A, b ? B}, 在集合 C 的元 素个数为 .解:5. . 过原点有 2

2.与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条;斜率为-1 的也有 2 条,共 4 条. 3.已知 a ? b ? 1 , c ? a ? b 恒成立,则 c 的取值范围是
2 2

. (??, ? 2)

t ? 3)? 0 4. 设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 则关于 x 的方程 (t ? 1)(t ? 2)( 的所有实数解的和
x x x

1 2

2 3

5 6



.解:4.

1 2 5 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x 是单调减函数,当 x ? 0,1,3 时其值分别为 3,2,1,其和为 4. 2 3 6
5.当 x, y 满足条件 | x | ? | y |? 1 时,变量 z ? x ? y ? 2 的范围是 . [1,3] ). 的值为 .

, 12 , 0 1 2 6.方程 x ? 2 x ? a ? a ? 0 的根为( ? a , ?a ) ( a ?2
2 2

2012



? (?
a ?1

1
a

?
2

1

?a

)?

1

?1
2

?

1

?2

?

1

?2

?

1

?2

?

?

1

? 2012

?

1

? 2012

解:方程 x ? 2 x ? a ? a ? 0 的根应满足 ?a ? ?a ? 2,?a ? ?a ? ?a2 ? a,
2012 1 4024 2 1 1 )?? . 则 ?( ? ) ? ?? 2 ? ?2 ? ( ? ) ? ?2(1 ? 2013 2013 ?a a ?1 a ?1 ? a a ?1 a ? a a ?1 a 2012

1

1

2012

二、选择题:在每小题给出的四个答案中只有一个是正确的,请把正确的结果选出来填 在题后的小括号里. 7.若两个正数的算术平均数为 2 3 ,几何平均数为 3 ,则这两个数的差是( A.3 B.4 C.5 D.6 )

8. 函数 y ? ? log3 ( x2 ? ax ? a) 在(??,1 ? 3) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是
2012 年郑州市高一数学竞赛预赛试卷 第 1 页 共 4 页

________. 答案: 2(1- 3) ? a ? 2. 解析: y ? ? log3 ( x2 ? ax ? a) 在( ??,1 ? 3 )上递增, 所以 y ? x2 ? ax ? a在(-?,1- 3 )上递减,且大于0.

a a 对称轴为x= , 可知,1- 3 ? , 即2(1- 3) ? a. 2 2

f (1- 3) ? 0, 得a ? 2.所以 ,2(1- 3) ? a ? 2.
9.函数 y ? f ( x) 的定义域为( 0, ?? ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ( ) ? 3 x ? 0, 则 y ? f ( x) 的
2

1 x

最小值为( ) A.1 B.2

C.3
2

D.4 解:C.

由 f ( x) ? 2 xf ( ) ? 3 x ? 0, 得 f ( ) ? 2

1 x

1 x

1 3 f ( x) ? 2 ? 0, x x

所以 f ( x) ? x ?
2

2 1 1 ? x 2 ? ? ? 3. x x x

10.一个盒子里有 3 个黑球和 4 个白球,现从盒子里随即每次取出 1 个球,取出后不在放 回,每个球被取出的可能性相等,直到某种颜色的球全部被取出,则最后取出的是黑球 的概率是( ) A.

3 5

B.

4 7

C.

1 2

D.

3 解:B. 7

11.已知函数 y ? ?

?

x 2 ? 2 x, x ? 3;
C.1

2 ? x ? 10 x ? 24, x ? 3,

若 y ? k 成立的 x 的值恰有 3 个, 则 k 的值为 (



A.3 B.2 解:A.结合图像易得.

D.0

12.设 a , b 是两个相互垂直的单位向量,已知 OP ? a,OQ ? b, OR ? ra + kb. 若 ?PQR 为 等边三角形,则 k,r 的取值为( )解:C.

A. k ? r ?

?1 ? 3 2

B. k ?

?1 ? 3 1? 3 ,r ? 2 2

C. k ? r ?

1? 3 2

D. k ?

1? 3 ?1 ? 3 ,r ? 2 2
第 2 页 共 4 页

2012 年郑州市高一数学竞赛预赛试卷

三、 (本题满分 20 分) 在一条直线上依次排列 3 点 A,B,C, 且 AB ? 6, AC ? 24, D 为直线外一点,且

DA ? AB, 当 ?BDC 取最大值时,求 AD 的值.
解:设 ?BDC ? ? ,(? ? 90 ) ?BDC 的外接圆的半径为 R, 则 sin ? ?

BC , 当 R 变小时, ? 变大,(此处可以利用平面几何的知识去证明,从略) 2R

所以当 AD 与圆相切与 D 点时, ? 最大, 此时 AD2 ? AB ? AC ? 122 , 所以 AD ? 12. (用三角函数同样给分) 四、 (本题满分 20 分) 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,棱长为 1,在侧面对角线 求这样的 A1D 上取一点 M, CD1 取点 N, MN / /面A1 ACC1, MN 的最小值. 解:作 MM1 ? AD, NN1 ? DC ,易得

M1 N1 / / AC, 设 DM1 ? DN1 ? x, 则 MM1 ? x, NN1 ? 1 ? x,
作 MH ? NN1 , 则 NH ? 1 ? 2x, M1N1 ? 2x, 所以 MN ? ( 2 x) ? (1 ? 2 x) ? 6( x ? ) ? ,
2 2 2 2

1 3

1 3

当x ?

1 3 时, MN 的最小值为 . 3 3

五、 (本题满分 20 分) 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在郑州市高中学生中的普及情况,调 查部门对某校 6 名学生进行问卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这 6 名 学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数; (2) 用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名, 他们的得分组成一个样本.求该 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 【解】
2012 年郑州市高一数学竞赛预赛试卷 第 3 页 共 4 页

(1)总体平均数为

1 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? ? 7.5. 6

(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有: (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共15个基本结果。 事件A包含的基本结果有: (5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有7个基本 结果;所以所求的概率为 P ? A ? ? 六、 (本题满分 20 分) 10.已知函数 f ( x) ? x | x ? 2a |, 试求 f ( x ) 在区间[0,1]上的最大值 g ( a ). 解:当 x ? [0,1]时, f ( x) ? x | x ? 2a |?| x ? 2ax |,
2

7 . 15

记 h( x) ? x2 ? 2ax ? ( x ? a)2 ? a2 , (1)当 a ? 0, 则 h( x) 在区间[0,1]上是增函数,且 h( x) ? 0, 此时 g (a) ? h(1) ? 1 ? 2a. (2)当 a ? 1, 则 h( x) 在区间[0,1]上是减函数,且 h( x) ? 0, 此时 g (a) ? ?h(1) ? 2a ? 1. (3) 当 0 ? a ? 1, 则 h( x) 在区间[0,a]上是减函数,在区间[a ,1]上是增函数, 由 h(0) ? 0, h(a) ? ?a2 , h(1) ? 1 ? 2a, 知 g (a ) 是 h(a) ? ?a2 , h(1) ? 1 ? 2a 中的较大者. 因为 (a ) ? (1 ? 2a) ? (a ?1) (a ? 2a ?1),
2 2 2 2 2

当0 ? a ?

2 ? 1 时, a2 ? 1 ? 2a,

当 2 ? 1 ? a ? 1 时, a 2 ?|1 ? 2a |,

?1 ? 2a, a ? 2 ? 1; ? ? 2 所以 g (a ) ? ?a , 2 ? 1 ? a ? 1; ? 2a ? 1, a ? 1. ? ?

2012 年郑州市高一数学竞赛预赛试卷

第 4 页 共 4 页


推荐相关:

2012年全国高中数学联赛竞赛试卷

2012年各省高中数学竞赛... 82页 1下载券 2011年...2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)一、单项选择...竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级)说明:评阅试卷...


2014年全国高中数学联赛试题及答案

更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》 2014 年全国高中数学联赛 一试一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ...


2012年全国高中数学联赛河南省预赛试题及答案(word版本)

2012年全国高中数学联赛河南省预赛试题及答案(word版本)_高三数学_数学_高中教育...A1 B1C 1 D 1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的最短距离...


2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案

2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 年全国...单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 1、设集合 ...


2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案(高一)

2015 年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 (5 月 10 日 8:30 至 11:00) 一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.若集合 A ? a...


2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编[1]

2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编[1]_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 各省...证明:存在边长是整 6 2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一...


2011、2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题(含答案)

数学竞赛数学竞赛隐藏>> Http://www.fhedu.cn 二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分) 1.已知集合 A ? {x |...


2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)

2012 年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)试题试卷满分 140 分一.填空题(满分 64 分) 1.在小于 20 的正整数中, 取出三个不同的数, 使它们的和能够被 ...


2015年高中数学联赛高一预赛试题及答案

2015 年高中数学联赛高一预赛试题 (5 月 10 日 8:30 至 11:00) 一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) * * 1.若集合 A ? a a ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com