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新课标(宁夏卷)2009年高考试题-数学文(Word版有答案)


本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数学(文史类)
第I卷
一, 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知集合 A ? ?1, 3, 5, 7, 9 ? , B ? ? 0,

3, 6, 9,12 ? ,则 A ? B ? (A) (C)

? 3, 5?
? 3, 7 ?
3 ? 2i 2 ? 3i ?

(B) (D)

? 3, 6 ?

? 3, 9 ?

(2) 复数 (A) 1

(B) ? 1

(C) i

(D) ? i ) ,得散点图 1;对变量 u , v 有观测

(3)对变量 x , y 有观测数据( x1 , y 1 ) i,.?.2 ( 1 . ,,1 0

数据( u 1 , v 1 ) (i=1,2,…,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (4)有四个关于三角函数的命题:
p1 : ? x? R, sin
2

(B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

x 2

+ co s

2

x 2

=

1 2

p 2 : ? x , y ? R , sin( x ? y ) ? sin x ? sin y

p 3 : ? x? ? 0, ? ? ,

1 ? co s 2 x 2

? sin x

p 4 : sin x ? co s y ? x ? y ?

?
2

其中假命题的是 (A) p1 , p 4 (B) p 2 , p 4
2 2

(3) p1 , p 3

(4) p 2 , p 3

(5) 已知圆 C 1 :( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C 2 与圆 C 1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C 2 的 方程为 (A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2 ) =1
2 2

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2 ) =1
2 2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

? 2 x ? y ? 4, ? (6)设 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?

(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值

(B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

(7)已知 a ? ? ? 3, 2 ? , b ? ? ? 1, 0 ? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2 b 垂直,则实数 ? 的值为 (A) ?
1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

2 (8) 等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a m ? 1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 ,

S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9

(9) 如图, 正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的棱线长为 1, 线段 B1 D 1 上有两个动点 E,F,且 E F ? (A) A C ? B E (B) E F // 平 面 A B C D (C)三棱锥 A ? B E F 的体积为定值 (D) ? A E F 的 面 积 与 ? B E F 的 面 积 相 等 (10)如果执行右边的程序框图,输入 x ? ? 2, h ? 0 .5 ,那么输出的各 个数的和等于 (A)3 (B) 3.5 (C) 4 (D)4.5
1 2

,则下列结论中错误的是

(11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm 2 )为 (A) 4 8 ? 1 2 2 (C) 3 6 ? 1 2 2 (B) 4 8 ? 2 4 2 (D) 3 6 ? 2 4 2

(12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值。 设 f ( x ) ? m in ? 2 x , x ? 2,1 0 ? x ? (x ? 0),则 f ? x ? 的最大值为 (A) 4 7 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13 题)~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第(22 题)~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x

(B) 5

(C) 6

(D)



(14)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2, 2 ? 为 A B 的中点,则抛物线 C 的方程为 。

(15)等比数列{ a n }的公比 q ? 0 , 已知 a 2 =1, a n ? 2 ? a n ? 1 ? 6 a n ,则{ a n }的前 4 项和

S4 =


? 7? ? ?? ? 12 ?

(16)已知函数 f ( x ) ? 2 sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知
A B ? 5 0 m , B C ? 120 m ,于 A 处测得水深 A D ? 80 m ,于 B 处测得水深 B E ? 200 m ,

于 C 处测得水深 C F ? 110 m ,求∠DEF 的余弦值。

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? A B C 中,⊿ P A B 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 P C ? 4 ,且平面 P A C ⊥平面 P B C , 求三棱锥 P ? A B C 体积。

(19) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名 工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该工 厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人? (Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1: 生产能力分 组 人数 表 2: 生产能力分组 4 8
x

?1 0 0,1 1 0 ?

?1 1 0,1 2 0 ?

?1 2 0,1 3 0 ?

?1 3 0,1 4 0 ?
5

?1 4 0,1 5 0 ?
3

?1 1 0,1 2 0 ?

?1 2 0,1 3 0 ?

?1 3 0,1 4 0 ?

?1 4 0,1 5 0 ?

人数

6

y

36

18

(1) 先确定 x , y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通 过观察直方图直接回答结论)

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平均 数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表) 。

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xO y 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (I) (II) 求椭圆 C 的方程‘ 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,
OP OM ?e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ax ? 9 a x ? a .
3 2 2 3

(1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?
1 4

,且当 x ? ?1, 4 a ? 时, f ' ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 、 、 计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,已知 ? ABC 中的两条角平分线 A D 和 C E 相交于 H ,? B=60 , F 在 A C 上,且 A E ? A F 。 (1)证明: B , D , H , E 四点共圆; (2)证明:CE 平分 ? DEF。
?

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?
? x ? ? 4 ? co s t , ? y ? 3 ? sin t ,

(t 为参数) C 2 : ? ,

? x ? 8 co s ? , ? y ? 3 sin ? ,

( ? 为参数) 。

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?
? x ? 3 ? 2t, C3 : ? ? y ? ?2 ? t

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 P Q 中点 M 到直线

(t 为参数)距离的最小值。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图, O 为数轴的原点, A , B , M 为数轴上三点, C 为线段 O M 上的动点,设 x 表示 C 与 原点的距离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案
一. 选择题 (1)D (7)A 二. 填空题 (13) y ? 3 x ? 1 三. 解答题 (14) y ? 4 x
2

(2)C (8)C

(3)C (9)D

(4)A (10)B

(5)B (11)A

(6)B (12)C

(15)

15 2

(16)0

(17) 解: 作 D M // A C 交 BE 于 N,交 CF 于 M.
DF ? MF ? DM
2 2

?

30 ? 170 ? 10 198 ,
2 2

DE ?
EF ?

DN ? EN
2

2

?

50 ? 120 ? 130
2 2
2


? 150 .

(BE ? FC ) ? BC
2

?

90 ? 120
2

2

... 分 ...6

在 ? D E F 中,由余弦定理,
co s ? D E F ? DE ? EF ? DF
2 2 2

2DE ? EF

?

130 ? 150 ? 10 ? 298
2 2 2

2 ? 130 ? 150

?

16 65

.

... ...12 分

(18)解: ( Ⅰ ) 因 为 ?PAB
? P A C ? ? P B C ? 90 ? ,

是 等 边 三 角 形 ,

所以 R t ? P B C ? R t ? P A C ,可得 A C ? B C 。 如图,取 A B 中点 D ,连结 P D , C D , 则 PD ? AB ,CD ? AB , 所以 A B ? 平面 P D C , 所以 A B ? P C 。 ... 分 ...6

(Ⅱ)作 B E ? P C ,垂足为 E ,连结 A E . 因为
Rt?PBC ? Rt?PAC ,

所以 A E ? P C , A E ? B E . 由已知,平面 P A C ? 平面 P B C ,故 ? A E B ? 90 ? . ... 分 ...8

因为 R t ? A E B ? R t ? P E B ,所以 ? A E B , ? P E B , ? C E B 都是等腰直角三角形。 由已知 P C ? 4 ,得 A E ? B E ? 2 , ? A E B 的面积 S ? 2 . 因为 P C ? 平面 A E B , 所以三角锥 P ? A B C 的体积
V ? 1 3 ? S ? PC ? 8 3

....12 分 ...

(19)解: (Ⅰ) A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 (Ⅱ)(ⅰ)由 4 ? 8 ? x ? 5 ? 3 ? 25 ,得 x ? 5 ,
6 ? y ? 3 6 ? 1 8 ? 7 5 ,得 y ? 1 5 。

... 分 ...4

频率分布直方图如下

... 分 ...8 从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。 (ii) x A ?
xB ? x ? 6 75 25 100 ?1 2 3 ? 4 25 ?1 1 5 ? ? 105 ? 8 25 15 75 75 ? 1 2 5? ? 115 ? 5 25 36 75 ? 125 ? 5 25 ? 135 ? 18 75 131.1 ? 135 ? 3 25 ? 145 ? 1 ,3 3 . 8 ? 145 ? 123 ,

... 分 ...9

?1 3 3 . 8 ? 100

A 类工人生产能力的平均数, 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的 B 估计值分别为 123,133.8 和 131.1. (20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {
a ? c ? 1, a ? c ? 7.

解得 a=4,c=3,

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

16

7

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y 1 ),其中 x ? ? ? 4, 4 ? . 由已知得
x ? y1
2 2 2 2

x ? y

? e .
2

而e ?

3 4

,故 1 6 ( x 2 ? y12 ) ? 9 ( x 2 ? y 2 ).
y1 ?
2


2

由点 P 在椭圆 C 上得

112 ? 7 x 16

,

代入①式并化简得 9 y ? 1 1 2,
2

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? (21)解:

4 7 3

( ? 4 ? x ? 4 ), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段.

(Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得
f ( x) ? 3 x ? 6 x ? 9.
' 2

令 f ' ( x ) ? 0, 解 得 x1 ? ? 1, x 2 ? 3 . 列表讨论 f ( x ), f ( x ) 的变化情况:
x
f (x)
'

'

( ? ? , ? 1)

?1

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ? ? )

+

0 极大值 6

+

f (x)

?

?

?

所以, f ( x ) 的极大值是 f ( ? 1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ? 26. (Ⅱ) f ( x ) ? 3 x ? 6 a x ? 9 a 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称.
' 2 2


'

1 4

? a ? 1, 则 f ( x ) 在 [ 1 , 4 a ] 上是增函数,从而
'

f ( x ) 在 [ 1 , 4 a ] 上的最小值是 f (1) ? 3 ? 6 a ? 9 a , 最大值是 f ( 4 a ) ? 1 5 a .
' 2 ' 2

由 | f ( x ) |? 1 2 a , 得 ? 1 2 a ? 3 x ? 6 a x ? 9 a ? 1 2 a , 于是有
' 2 2

f (1) ? 3 ? 6 a ? 9 a ? ? 12 a , 且 f (4 a ) ? 15 a ? 12 a .
' 2 ' 2
' 由 f (1) ? ? 1 2 a 得 ?

1 3

? a ? 1,由 f ( 4 a ) ? 1 2 a 得 0 ? a ?
'

4 5

.

所以 a ? ( ,1] ? [ ?
4
'

1

1 3

,1] ? [0,
2

4 5

], 即 a ? (

1 4 , ]. 4 5
'

若 a>1,则 | f ( a ) |? 12 a ? 12 a .故 当 x ? [1, 4 a ]时 | f ( x ) |? 12 a 不恒成立. 所以使 | f ( x ) |? 1 2 a ( x ? [1, 4 a ]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].
'

1 4 4 5

(22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆。 (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为 ? A B C 的平分线,得 ? H B D ? 30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以 ? C E D ? ? H B D ? 30° 又 ? A H E ? ? E B D ? 60°,由已知可得 E F ? A D , 可得 ? C E F ? 30° 所以 CE 平分 ? D E F (23)解: (Ⅰ) C 1 : ( x ? 4 ) ? ( y ? 3) ? 1, C 2 :
2 2

x

2

?

y

2

?1

64

9

C 1 为圆心是 ( ? 4, 3) ,半径是 1 的圆。 C 2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆。

(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P ( ? 4, 4).Q (8 cos ? , 3 sin ? ) ,故 M ( ? 2 ? 4 co s ? , 2 ?

3 2

sin ? )

C 3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,
5 5

M 到 C 3 的距离 d ?

| 4 co s ? ? 3 sin ? ? 1 3 |

从而当 co s ? ? (24)解:

4 5

, sin ? ? ?

3 5

时, d 取得最小值

8 5 5

(Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ? 6 | x ? 20 |, 0 ? x ? 30 (Ⅱ)依题意, x 满足
? 4 | x ? 1 0 | ? 6 | x ? 2 0 |? 7 0, ? ?0 ? x ? 30

解不等式组,其解集为 [9, 2 3] 所以
x ? [9, 2 3]

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