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河南省周口市2013届高三数学上学期期中考试(文)人教版


河南省周口市 2013 届高三上学期期中考试(数学文)
一、选择题:本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
ks5u

只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 I ? {1,2,3,4,5,6}, 集合A ? {1,3,4,5}, 集合B ? {1,4}, 则A ? CI B 等于 A.{1,4}

2.已知 sin ? ? A. ? B.{2,6} C.{3,5} D.{2,3,5,6}

4 3

4 , 且?是第二象限角 , 那么 tan ? 的值是 5 3 3 B. ? C. 4 4

D. (

3.函数 f ( x) ? 2 cos( x ?

?

4 3
)

6

) 的一个减区间为 [?

, ?] , ?] B. [ , ? ] C. 6 6 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
A. [ ?

? 2

? 4

? 5

D. [ (

? 7

, ?] 6 6
)

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

5.若 a ? (2,3), b ? (?4,7),则a在b 方向上的投影为

A. 13

65 B. 5

C.

13 5

D. 65

6.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积 S ?ABC ? A. 3

3 ,则边 BC 的长为 2
D.7

B.3
a

C. 7

7.在同一坐标系内,函数 y ? x ( a ? 0)和y ? ax ?

1 的图象可能是 a

ks 5u

8.已知 Sn 是等比数列 {an } 的前n项和, a5 ? ?2, a8 ? 16, 则S6 等于
用心 爱心 专心

21 A. 8

B.-

21 8

C.

17 8

D.-

17 8
( )

9.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A 向右平移

?
6

) 的图像,可以将函数 y ? cos 2 x 的图像
B 向右平移

? 个单位 6

2? 个单位 3

? C 向左平移 个单位 3
10. 已知直线 l 的倾斜角为

? D 向右平移 3 个单位
3 ? ,直线 l1 经过点 A(3,2), B(a,?1),且l1与l 垂直,直线 l2: t 4
x C.0 D.2

2 x ? by ? 1 ? 0与直线l1平行,则a ? b 等于
A.-4 B.-2

11. 已知函数 f ( x) 的导数为 f ' ( x) , f ' ( x ? 若 ) 0 内必有 A. f ( x) ? 0 12、数 f ( x) ? ? A. [?1,1] B. f ( x) ? 0

(a ? x ? b) 且 f (b) ? 0 , 则在 ? a, b ?

C. f ( x) ? 0

D.不能确定

? x ? 2, ?? x ? 2,

x?0 ,则不等式 f ( x) ? x2 的解集是 x?0
C. [?2,1] D. [?1, 2]

B. [?2, 2]

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题, t 每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。
ks5u

13.已知曲线 y ?

x3 1 x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 4
1 4 ? 的最小值是 a b
.



14.若 a ? 0, b ? 0, 且4a ? b ? 1, 则 15.已知函数 f ( x) ? ? 间的形式表示) 。 16.设函数 f ( x) ? cos( 2 x ? 的一个对称中心;②直线 x ?

?log2 x, x ? 0, 1 则满足f (a) ? 的a 的取值范围是 x 2 ?2 , x ? 0.

(用区

?
3

) ? 1 ,有下列结论:①点 ( ?

?
3

5 ? ,0) 是函数 f (x) 图象 12

是函数 f (x) 图象的一条对称轴;③函数 f (x) 的最小正周

用心

爱心

专心

期是 π;④将函数 f (x) 的图象向右平移 结论的序号是 。

? 个单位后,对应的函数是偶函数。其中所有正确 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程并演算步骤。
ks5u

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 OP ? (2cos x ? 1,cos 2x ? sin x ? 1), OQ ? (cos x, ?1) ,定义 f ( x) ? OP ? OQ (1)求函数 f (x) 的单调递减区间; (2)求函数 f (x) 的最大值及取得最大值时的 x 的取值集合。

??? ?

??? ?

??? ???? ?

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前n项和S n ? 12n ? n 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {| an |}的前n项和Tn . 19. (本小题满分 12 分)
2 已 知 p : 方程x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 负 实 根 ; q : 不 等 式

4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 的解集为 R, 若p ? q为真命题, p ? q 为假命题,求 m 的取值范围。
ks5u

20. (本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 数列

?an ? 前 n 项和记为 S , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1,(n ? 1) ,
n

用心

爱心

专心

(Ⅰ )求 ?an ? 的的通项公式; ( Ⅱ) 等 差 数 列

?bn ?

的各项为正,其前 n 项和为

Tn , 且 T3 ? 15, 又

a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .
. ( 分 ) 已 知 函 数

22

14

f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? c(b, c为常数), 当x ? 2时,函数f ( x)取得极值. 3

(Ⅰ )求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f (x) 的图象与 x 轴有且只有三个交点,求实数 c 的取值范围.

用心

爱心

专心

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分。
ks5u

CACC

BACA

DBBA

t
ks5u

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分。 x 13. ?

3 3

14.16

15. (??,?1) ? (0, 2 )

16.②③④

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? OP ? OQ ? (2 cos x ? 1, cos2x ? sin x ? 1) ? (cosx,?1)

? 2 cos2 x ? cos x ? cos2 x ? sin x ? 1 ? cos ? sin x
? 2 sin( x ? 令2 k? ?

…4 分

?
4

)

…………6 分

3? ? 5? , k ? Z, 解得2k? ? ? x ? 2k? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ], k ? Z. ………9 分 所以,函数 f ( x)的单调递减区间为 [2k? ? ,2k? ? 4 4 ? x? ? 2k? ?
(2)函数 f ( x)的最大值是 所以,函数 f ( x)取得最大值 …………12 分 18. (本小题满分 12 分) (1)当 n ? 1 , a1 ? S1 ? 12?1 ? 1 ? 11 ; …………1 分 时
2

?

?

2 , 此时 x ?

?

4

? 2k? ?

?

2

, 即x ? 2k? ?

?

2时的 x的取值集合为 {x | x ? 2k? ?

?

4

. , k ? Z}.

4

当 n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? (12n ? n 2 ) ? [12(n ? 1) ? (n ? 1) 2 ] ? 13 ? 2n. ………3 分

n ? 1时 , a1 ? 11 也符合 ? 2n的形式 13 .

ks5u

所以, 数列 an }的通项公式为 n ? 13 ? 2n. { a
*

…………4 分

(2)令 an ? 13 ? 2n ? 0, 又n ? N , 解得n ? 6. …………5 分 当 n ? 6时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |? a1 ? a2 ? ? ? an ? S n ? 12n ? n ;
2

当 n ? 6时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | a6 | ? | a7 | ??? | an |

用心

爱心

专心

? a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? a8 ? ? ? an

? 2S6 ? S n ? 2 ? (12? 6 ? 62 ) ? (12n ? n 2 ) ? n 2 ? 12n ? 72.
?12n ? n 2 , n ? 6, ? 综上, Tn ? ? 2 …………12 分 ?n ? 12n ? 72, n ? 6. ?
19. (本小题满分 12 分)

ks5u ks5u

?? ? m 2 ? 4 ? 0, ? p为真命题 ? ?? m ? 0, ? m ? 2. ?1 ? 0. ?

…………3 分

q为真命题 ? ? ? [4(m ? 2)]2 ? 4 ? 4 ?1 ? 0 ? 1 ? m ? 3. …………6 分
? p ? q为真, p ? q为假,? p与q一真一假 .
…………7 分 …………9 分 …………11 分

若 p真q假, 则m ? 2, 且m ? 1或m ? 3, 所以m ? 3. 若 p假q真, 则m ? 2, 且1 ? m ? 3, 所以 ? m ? 2. 1

综上所述,m 的取值范围为 {m | 1 ? m ? 2, 或m ? 3}. …………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3

用心

爱心

专心

2? ? ? ? A? ? , 3 3 6
所以

1 ? ?? 3 . sin ? A ? ? ? 2 ? 3? 2 3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?

由此有

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

? 3 3? ? 2 , ?. 2? ? ?
………………8 分

由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得
2

ks5u ks5u

d1 ? 2, d 2 ? ?10

…………………………………10 分

d ∵ 等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ ? 0
∴ Tn ? 3n ?

d ∴ ?2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

………………………………12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: )? f ( x) ? (Ⅰ

1 3 x ? bx 2 ? c 3

? f ?( x) ? x 2 ? 2bx
用心 爱心 专心

当 x ? 2时, f ( x) 取得极值,得

b ? 1 ………………………………………………………………………………2 分
又 f ?( x) ? x 2 ? 2x ? 0 ? x ? 0或x ? 2 ……………………4 分

f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 2 ? f (x) 的单调增区间为 (??,0)和(2,??) f (x) 的单调减区间(0,2)………………………………………………8 分
(Ⅱ )又当 x 充分小时 f ( x) ? 0 又当 x 充分大时, f ( x) ? 0. ∴ f ( x) ? 0 有 3 个实根,则 若

? f (0) ? c ? 0 ? 1 3 ? 2 ? f (2) ? 3 ? 2 ? 2 ? c ? 0 ?

?0 ? c ?

4 . ……………………………………14 分 3

用心

爱心

专心


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