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数学:第二章《推理与证明》测试(2)(新人教A版选修1-2)


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高中新课标选修(1-2)推理与证明测试题
一 选择题(5×12=60 分) 1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第 36 颗珠子应是什 么颜色的( ) A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大

2. “所有 9 的倍数(

M)都是 3 的倍数(P) ,某奇数(S)是 9 的倍数(M) ,故某奇数(S)是 3 的倍数(P).”上述推理是( ) A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错 3.F(n)是一个关于自然数 n 的命题,若 F(k) (k∈N+)真,则 F(k+1)真,现已知 F(7) 不真,则有:①F(8)不真;②F(8)真;③F(6)不真;④F(6)真;⑤F(5)不真;⑥F (5)真.其中真命题是( ) A.③⑤ B.①② C.④⑥ D.③④ 4.下面叙述正确的是( ) A .综合法、分析法是直接证明的方法 B .综合法是直接证法、分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的 5.类比平面正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可知正四面体的下列哪些性质, 你认为比较恰当的是( ) ① 各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; ② 各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③ 各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 A.① B.①② C.①②③ D.③ 2 2 6. (05·春季上海,15)若 a,b,c 是常数,则“a>0 且 b -4ac<0”是“对 x∈R,有 ax +bx+c>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充 要条件 D.不充分不必要条件 1 7. (04·全国Ⅳ,理 12)设 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f 2 (2) ,f(5)=( ) 5 2

A.0

B.1

C.

D.5


1 1 1 1 1 8.设 S(n)= + + + +?+ 2 ,则( n n+1 n+2 n+3 n

A.S(n)共有 n 项,当 n=2 时,S(2)= +
1 2

1 2

1 3 1 3 1 4

B.S(n)共有 n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + +

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1 2 1 3 1 4 1 4 1 2 1 3

C.S(n)共有 n2-n 项,当 n=2 时,S(2)= + +

D.S(n)共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + + x

9.在 R 上定义运算⊙:x⊙y= ,若关于 x 的不等式(x-a)⊙(x+1-a)>0 的解集 2-y 是集合{x|-2≤x≤2,x∈R}的子集,则实数 a 的取值范围是( ) A.-2≤a≤2 B.-1≤a≤1 C.-2≤a≤1 D.1≤a≤2 x 10.已知 f(x)为偶函数,且 f(2+x)=f(2-x) ,当-2≤x≤0 时,f(x)=2 ,若 n∈ N*,an=f(n) ,则 a2006=( )

A.2006

B.4

C.

1 4

D.-4

11.函数 f(x)在[-1,1]上满足 f(-x)=-f(x)是减函数,α 、β 是锐角三角形的 两个内角,且α ≠β ,则下列不等式中正确的是( ) A.f(sinα )>f(sinβ ) B. f(cosα )>f(sinβ ) C.f(cosα )<f(cosβ ) D.f(sinα )<f(sinβ ) 12.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说: “是乙或丙获奖” ,乙说: “甲、丙都未获奖” ,丙说: “我获奖了” ,丁说: “是乙获奖” 。四位 歌手的话只有两名是对的,则奖的歌手是( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

二 填空题(4×4=16 分) 13. “开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数,现给出 1 1 3 1 5 一组数: ,- , ,- , ,它的第 8 个数可以是 2 2 8 4 32 。
2 .

14. 在平面几何里有射影定理: 设△ABC 的两边 AB⊥AC, D 是 A 点在 BC 边上的射影, 则 AB =BD BC. 拓展到空间,在四面体 A—BCD 中, DA⊥面 ABC, 点 O 是 A 在面 BCD 内的射影, 且 O 在面 BCD 内, 类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC 三者面积之间关系为 。 n * 15. (05·天津)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1) ,n∈N ,S10=__ __________. 16. (05 黄冈市一模题)当 a0,a1,a2 成等差数时,有 a0-2a1+a2=0,当 a0,a1,a2,a3 成等 差数列时,有 a0-3a1+3a2-a3=0,当 a0,a1,a2,a3,a4 成等差数列时,有 a0-4a1+6a2-4a3 +a =0,由此归纳:当 a ,a ,a ,?,a 成等差数列时有 C0a -C1a +C2a -?+Cna =0. 如
4 0 1 2

n

n

0

n

1

n

2

n

n

果 a0,a1,a2,?,an 成等差数列,类比上述方法归纳出的等式为___。 三 解答题(74 分) 1 1 3 17 已知△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,求证: + = (12 分) a+b b+c a+b+c π π π 2 2 2 18.若 a、b、c 均为实数,且 a=x -2x+ ,b=y -2y+ ,c=z -2z+ ,求证:a、b、 2 3 6

c 中至少有一个大于 0. (12 分)
19.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=

n+2 Sn(n=1,2,3,?). n

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n
1

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1

Sn 证明:⑴数列{ }是等比数列;⑵Sn+1=4an. (12 分) 20.用分析法证明:若 a>0,则

a2+ 2- 2≥a+ -2.(12 分) a a

21.设事件 A 发生的概率为 P,若在 A 发生的条件下 B 发生概率为 P′,则由 A 产生 B 的概率 为 P·P′.根据这一事实解答下题. 一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第 0、1、2、?、100,共 101 站,一枚棋子开始在 第 0 站(即 P0=1) ,由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳 动一站,出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第 99 站(获胜)或第 100 站(失败)时, 游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同,设棋子跳到第到第 n 站时的概率为 Pn. (1)求 P1,P2,P3; (2)设 an=Pn-Pn-1(1≤n≤100) ,求证:数列{an}是等比数列 (12 分) 22.(14 分) 在Δ ABC 中(如图 1) ,若 CE 是∠ACB 的平分线,则 ⊥AC 于点 G,EH⊥BC 于点 H,CF⊥AB 于 点 F ∵CE 是∠ACB 的平分线, ∴EG=EH. 又∵

AC AE = .其证明过程:作 EG BC BE

AC AC·EG SΔ AEC = = , BC BC·EH SΔ BEC

AE AE·CF SΔ AEC = = , BE BE·CF SΔ BEC


AC AE = . BC BE

(Ⅰ)把上面结论推广到空间中:在四面体 A-BCD 中(如图 2) ,平面 CDE 是二面角 A-

CD-B 的角平分面,类比三角形中的结论,你得到的相应空间的结论是______
(Ⅱ)证明你所得到的结论.

A h11 E E F B h2 F D 图2 答案: 一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D 9C10C 11B 12 C C

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π π π 11 分析:因为锐角三角形,所以α +β > ,所以 0< -α <β < , 2 2 2 π sin( -α )<sinβ ,0<cosα <sinβ <1,函数 f(x)在[ -1,1]上满 足是减函 2 数 所以 f(cosα )>f(sinβ ) 。 12 分析:先猜测甲、乙对,则丙丁错,甲、乙可看出乙获奖则丁不错,所以丙丁中必有 一个是对的,设丙对,则甲对,乙错,丁错. ∴答案为 C. 1 2 . 二 13 14 (S△ABC) = S△BOC S△BDC 15. 35 32 16

a0Cn·a1-Cn·a2 Cn·?·an (-1)nCn=1.

0

1

2

n

[解析]解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解,类 比去探求等 比数列相应的性质.实际上,等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比,即等差数列中 的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应. 三 解答题 1 1 3 17 (分析法) 要证 + = a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 需证: + =3 a+b b+c 即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c) 即证:c +a =ac+b
2 2 2

因为△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,所以 B=60 ,由余弦定理 b = c +a -2cacosB 即 b = c +a -ca 所以 c +a =ac+b 1 1 3 因此 + = a+b b+c a+b+c 18 (反证法).证明:设 a、b、c 都不大于 0,a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0, π π π 2 2 2 而 a+b+c=(x -2y+ )+(y -2z+ )+(z -2x+ ) 2 3 6 =(x -2x)+(y -2y)+(z -2z)+π =(x-1) +(y-1) +(z-1) +π -3, ∴a+b+c>0,这与 a+b +c≤0 矛盾,故 a、b、c 中至少有一个大于 0. 19(综合法).证明:⑴由 an+1=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0

2

2

2

n+2 Sn,而 an+1=Sn+1-Sn 得 n
Sn+1



n+1 2(n+1) Sn Sn=Sn+1-Sn,∴Sn+1= Sn,∴ =2,∴数列{ }为等比数列. n n Sn n n

n+1

Sn Sn+1 Sn-1 4 an(n-1) ⑵由⑴知{ }公比为 2,∴ =4 = · ,∴Sn+1=4an. n n+1 n-1 n-1 n+1 20(分析法).证明:要证

a2+ 2- 2≥a+ -2,只需证 a a
1

1

1

a2+ 2+2≥a+ + 2. a a
1

1

1

∵a>0, ∴两边均大于零,因此只需证( 1 2 只需证 a + 2+4+4 1 1

a2+ 2+2)2≥(a+ + 2)2, a a
1

a

a2+ 2≥a2+ 2+2+2 2(a+ ) , a a a
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只需证 1 2 1

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1 1 1

2 2 a2+ 2≥ (a+ ) ,只需证 a + 2≥ (a + 2+2) , a 2 a a 2 a

1 2 即证 a + 2≥2,它显然是成立,∴原不等式成立.

a

1 1 1 1 3 1 1 3 1 5 21.(1)解:P0=1,∴P1= , P2= × + = ,P3= × + × = . 2 2 2 2 4 2 2 4 2 8 1 (2)证明:棋子跳到第 n 站,必是从第 n-1 站或第 n-2 站跳来的(2≤n≤100) ,所以 Pn= 2

Pn-1+ Pn-2
1 1 1 ∴Pn-Pn-1=-Pn-1+ Pn-1+ Pn-2=- (Pn-1-Pn-2) , 2 2 2 1 1 ∴an=- an-1(2≤n≤100) ,且 an=P1-P0=- . 2 2 1 1 故{an}是公比为- ,首项为- 的等比数列(1≤n≤100). 2 2 22.结论: SΔ ACD AE SΔ ACD SΔ AEC SΔ ACD SΔ AED = 或 = 或 = SΔ BCD BE SΔ BCD SΔ BEC SΔ BCD SΔ BED

1 2

证明:设点 E 是平面 ACD、平面 BCD 的距离分别为 h1,h2,则由平面 CDE 平分二面角 A-

CD-B 知 h1=h2. SΔ ACD h1SΔ ACD VA-CDE 又∵ = = SΔ BCD h2SΔ BCD VB-CDE AE SΔ AED VC-AED VA-CDE = = = BE SΔ BED VC-BED VB-CDE
∴ SΔ ACD AE = SΔ BCD BE A A G E F B h2 B H 图1 D 图2 C F E h11 C

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