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必修4数学第一章三角函数讲解课件


必修 4 数学 第一章 三角函数 知识点总结复习
一、基础知识点总结

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第 几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?

?

? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?

?

? ?

第四象限角的集合为 ? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?

?

?

?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90 , k ? ?

?

?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

?

?
l . r

5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?

? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

7、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,
C ? 2r ? l , S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

8 、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

y P v O M A T

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 11、角三角函数的基本关系:

x

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1

? sin
? 2?

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;
sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

sin ? ? tan ? cos ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? .
? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .

?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

二 、三角函数伸缩平移变换 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与函数 y ? sin x 的图象之间可以通过变化 A,?,?,k 来相互转 化. A,? 影响图象的形状, ?,k 影响图象与 x 轴交点的位置.由 A 引起的变换称振幅变换,由 ? 引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由 ? 引起的变换称相位变换,由 k 引起的变换称上 下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩

y ? sin x 的图象

向左(? >0)或向右(? ?0) 横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1) ??????? ? 得 y ? sin( x ? ? ) 的图象 ?????????? 1 平移 ? 个单位长度
到原来的 (纵坐标不变)

?

得 y ? sin(? x ? ? ) 的图象

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1) ????????? ? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0) ??????? ? 平移 k 个单位长度 得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 的图象.

先伸缩后平移
y ? sin x 的图象

纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1) ????????? ? 为原来的A倍(横坐标不变)

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1) ????????? ? 1 得 y ? A sin x 的图象 到原来的 (纵坐标不变)

?

得 y ? A sin(? x) 的图象

向左(? ? 0)或向右(? ? 0) ??????? ? ? 平移

?

个单位

得 y ? A sin x(? x ? ? ) 的图象

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0) ??????? ? 得 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象. 平移 k 个单位长度

14、函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ; ④相位: ? x ? ? ; ②周期: ? ?
2?

?

; ③频率: f ?

1 ? ? ; ? 2?

⑤初相: ? .

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax , 则? ?
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函 性 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

值域 当 x ? 2k? ? 最值

??1,1?
?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

? k ? ? ? 时, 2
?
2

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性
2? 2?

?
奇函数

奇函数

偶函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数;
单调性

在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上是 增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?

? 3? ? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2 ? ?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴 x ? k? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

?
2

?k ? ??

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

无对称轴

补充知识点:三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 降幂公式 cos 2 ? ?
⑶ tan 2? ?

?
2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?
2

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 2 2

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

高考试题
1、把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

2、将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图像向右平移 小值是( A.
1 3

? 3? 个单位长度,所得图像经过点 ( , 0) ,则 ? 的最 4 4

) B.1 C.
5 3

D.2 )

3、函数 y ? 2sin ? A. 2 ? 3

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( 3? ? 6

B.0

C.-1

D. ?1 ? 3

4、 已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x =

5? ? 和x= 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,则 4 4

? =(
π A. 4

) B. π 3 C. π 2 ) D. x ? ? D. 3π 4

? 5、函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的图像的一条对称轴是( 4
A. x ?

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

?
2

6、若函数 f ( x) ? sin A.

x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 是偶函数,则 ? ? ( 3

) D.
5? 3

? 2

B.

2? 3

C.

3? 2

7、要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象





A.向左平移 1 个单位 C.向左平移
1 个单位 2

B.向右平移 1 个单位 D.向右平移
1 个单位 2

? ? 8、已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是 2 4
1 5 A. [ 2 , 4 ] 1 3 B. [ , ] 2 4 1 C. (0, ] 2





D. (0, 2]

9、 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ? 的相邻两个交点的距离为 (I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函数 g ( x) ?
6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?
6

处取得最大值 2,其图象与轴

? 2

?

的值域.

? 10、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离 6


? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式;

? ? (2)设 ? ? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2


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