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【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 平面向量的概念、性质和计算(真题为例)


平面向量的概念、性质和计算
典型例题: 例 1. ( 2012 年 全 国 大 纲 卷 理 5 分 ) ?ABC 中 , AB 边 上 的 高 为 CD , 若

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? C B? ,a C ? ,b ? a ?b 0 A ,
A. a ? b 【答案】D。

? a

/>?

? ???? 1 ,? b 2 ,则 AD ? 【

】 C. a ? b

1? 1? 3 3

B.

2? 2? a? b 3 3

3? 3? 5 5

D. a ? b

4? 5

4? 5

【考点】向量垂直的判定,勾股定理,向量的加减法几何意义的运用 。

? ? 【解析】∵ a ? b ? 0 ,∴ ?ACB=900 ,
∴在 Rt ?ABC 中,根据勾股定理得 AB=

?2 ?2 a ? b ? 12 ? 22 = 5 。

? ? 2 ∴由等面积法得 AB ? CD = a ? b ,即 5CD= 1? 2 ,得 CD= 5。

5

? 2 5 b ? CD 2 ? 4 5 ? ? 5。 ∴ AD = ? 1 5 a
又 ∵点 D 在 AB 上,∴ AD ?

????

? ? ? ? a b 例 2.(2012 年四川省理 5 分 )设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立 |a| |b|
的充分条件是 【 A、 a ? ?b 【答案】C。 【考点】充分条件。 】 B、 a // b

? ? ? 4? 4? 4 ??? 4 ??? ??? AB ? CB ? CA ? a ? b 。故选 D。 5 5 5 5

?

?

?

?

? ?

C、 a ? 2b

?

?

D、 a // b 且 | a |?| b |

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? a b 【解析】若使 ? ? ? 成立, 即要 a 、 b 共线且方向相同,即要 a ? ? b ? ? > 0 ? 。所以使 | a | | b| ? ? ? ? a b ? ? ? 成立的充分条件是 a ? 2b 。故选 C。 |a| |b|
例 3. (2012 年天津市理 5 分)已知 ?ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P, Q 满足

??? ??? ? ? ??? ??? ???? ? ? ??? ? 3 AP=? AB, AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP = ? ,则 ? = 【 2



1

(A)

1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3 ? 2 2 2

【答案】A。 【考点】向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定 理及其数量积的综合运 用.。 【分析】∵ BQ= AQ ? AB = (1 ? ? )AC ? AB , CP= AP ? AC = ? AB ? AC ,

??? ??? ??? ? ? ?
??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3 ,且 | AB|=| AC|=2 , < AB, AC >=600 , 2 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∴ AB ? AC =| AB?|| AC|cos600 =2 ,
又∵ BQ ? CP = ?

3 , 2 ??? 2 ? ??? ???? ? ???? 2 3 2 即 ? | AB| +(? ? ? ? 1) AB ? AC +(1 ? ? )| AC| = , 2 3 1 2 ∴ 4? +2(? ? ? ? 1)+4(1 ? ? )= ,解得 ? = 。 故选 A 。 2 2
即 [(1 ? ? ) AC ? AB ](? AB ? AC )= ? 例 4. ( 2012 年 天 津 市文 5 分 ) 在 △ ABC 中 , ?A =90° , AB =1 , 设 点 P , Q 满 足

???? ??? ?

??? ???? ?

??? ? ??? ???? ? ???? AP ? ? AB, AQ ? ?1 ? ? ? AC ,
??? ??? ? ? ? ? R 。若 BP ? CQ ? ?2 ,则 ? =【
(A) 】

1 3

(B)

2 3

(C)

4 3

(D)2

【答案】B。 【考点】 向量加减法的几何意义, 平面向量基本定理, 共线向量定理及其数量积的综合运用。

? ? ? ? 【分析】如图,设 AB ? b, AC ? c ,则 b ? 1, c ? 2, b ? c ? 0 。
又 BQ ? BA ? AQ ? ?b ? (1 ? ?)c , CP ? CA ? AP ? ?c ? ?b 。 由 BP ? CQ ? ?2 得

??? ??? ? ?

? ? ? ? ?2 ?2 [?b ? (1 ? ? )c] ? (?c ? ? b) ? (? ? 1) c ? ? b ? 4(? ? 1) ? ? ? ?2 ,
即 3? ? 2, ? ?

2 。故选 B。 3


例 5. (2 012 年浙江省理 5 分)设 a , b 是两个非零向量【 A.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b

2

B.若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | C.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 ? ,使得 b ? ? a D.若存在实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 | a ? b |?| a | ? | b |

【答案】C。 【考点】平面向量的综合题。 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的: ∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实数 λ ,使得 a=λ b, ∴选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量,不正确; 选项 B:若 a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|,不正确; 选项 D:若存在实数 λ ,使得 a=λ b,a,b 可为同向的共线向量,此时显然|a+

b|=|a|-|b|,不正确。
故选 C。 例 6. (2012 年辽宁 省理 5 分)已知两个非零向量 a,b 满 足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正 确的是【 (A) a∥b (C) a=b 【答案】B。 【考点】平面向量的运算,向量的位置关系。 【解析】由|a+b|=|a ? b|,平方可得 a ? b=0,所以 a⊥b。故选 B。 或根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a ? b|分别为以向量 a,b 为邻边的 平行四边形的两 条对角线的长,因为|a+b|=|a ? b|,所以该平行四边形为矩形,所以 a⊥b。故选 B。 例 7. (2012 年全国课标卷理 5 分)已知向量 a, b 夹 角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ; 则b ? 】 (B) a⊥b (D)a+b=a ? b

? ?

?

?

? ?

?



【答案】 3 2 。 【考点】向量运算。

3

【解析】∵ 2a ? b ? 10 ,∴ (2a ? b)2 ? 10 。 ∵ 向 量 a, b 夹 角 为 45

? ?

? ?

? ?

?

? , 且 a ? 1 , ∴ 4 ? b ? 4 b cos 45 ? 10 , 解 得 ,

?

?2

?

? b ?3 2。
??? ??? ? ? 例 8.(2012 年北京市理 5 分) 已知正方形 ABCD 的边长为 l, E 是 AB 边上的动点。 DE ? CB 点 则
的值为 ▲

??? ??? ? ? ; DE ? DC 的最大值为



【答案】1;1。 【考点】平面向量的运算法则。 【解析】如图,根据平面向量的运算法则,得

??? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? DE ? CB=DE ? DA ? DE ? DA cos ? 。

??? ? ???? ??? ??? ???? 2 ? ? ∵ DE cos ? = DA ,正方形 ABCD 的边长为 l,∴ DE ? CB= DA =1 。
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 又∵ DE ? DC= DE ? DC cos ? = DE cos ? ,

??? ? ??? ? 而 DE cos ? 就是 DE 在 DC 上的射影,要使 其最大即要点 E 与点 B
重合,此时 ? =450 。

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ∴ DE ? DC 的最大值为 DE cos ? = DC =1 。
例 9. (2012 年浙江省理 4 分)在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? 10 ,则

??? ??? ? ? AB ? BC ?
【答案】 ?16 。





【考点】平面向量数量积的运算。 【解析】此题最适合的 方法是特殊元素法: 如图,假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,

AM=3,BC=10,由勾股定理得 AB=AC= 34 。
34 ? 34 ? 100 16 ?? , 2 ? 34 34 ??? ???? ? ??? ???? ? ∴ AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? ?16 。

则 cos∠BAC=

例 10. (2012 年江苏省 5 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的 BC
4

中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

【答案】 2 。 【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 【解析】由 AB ? AF ? 2 ,得 AB ? AF ?cos ?FAB ? 2 ,由矩形的性质,得
???? AF ?cos ?FAB =DF 。
∵ AB ? 2 ,∴ 2 ?DF ? 2 ,∴ DF ? 1。∴ CF ? 2 ? 1 。 记 AE 和BF 之间的夹角为 ?,?AEB ? ? , ?FBC ? ? ,则 ? ? ? ? ? 。 又∵ BC ? 2 , E 为 BC 的中点,∴ BE ?1。 点

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AE ? BF = AE ? BF ?cos ? = AE ? BF ?cos ?? ? ? ? = AE ? BF ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? = AE cos ? ? BF ?cos ? ? AE sin ? ? BF sin ? =BE ?BC ? AB?CF ? 1 ? 2 ? 2
。 本题也可建立以 AB, AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。

?

2 ?1 ? 2

?

例 11.(2012 年湖南省文 5 分 ) 如图, 在平行四边形 ABCD 中 , ⊥BD, AP 垂足为 P, AP ? 3 , 且 则 AP?AC = ▲ .

??? ??? ? ?

【答案】18 【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。
5

【解析】设 AC ? BD ? O ,则

? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? AC ? 2( AB ? BO) AP?AC = AP? 2( AB ? BO) ? 2 AP?AB ? 2 AP?BO

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? ? 2 AP?AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 。

6


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