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数列的概念及表示方法1ppt


观察下列图形:
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..

正方形数 1, 4, 9, 16, ……

提问:这些数有什么规律吗?

1,2,3,4,5,· · ·n, · · · .(1)
1 1 1 1 1 1, , , , ,· · · ,· · ·. (2) 2 3 4 5 n

/>
1,1.4,1.41,1.414, · · ·. (3) 4,5,6,7,8,9,10.
10,9,8,7,6,5,4.

(4)
(5)

-1,1,-1,1, · · ·.

(6)

1,1,1,1, · · ·.

(7)

定义:
按照一定顺序排列的一列数叫数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号有关,排第 一位的数称为这个数列的第1项(首项),
排第二位的数称为这个数列的第2项,· · · · · · ,排第 n位的数称为这个数列的第n项.

根据数列的定义知数列是按一定顺序排列 的一列数,因此若数列中被排列的数相同,但 次序不同,则不是同一数列. 如: 数列(4) 4,5,6,7,8,9,10. 数列(5) 10,9,8,7,6,5,4.

又如:数列(6) -1,1,-1,1,· · · .
数列(6') 1,-1,1,-1,· · · .

数列的一般形式可以写成:
其中 an是数列的第n项,上面的数列又可简记为

a1, a2 , a3 ,?an ,?,

?an ?

数列的分类:

1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6.是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 2)根据数列项的大小分:
递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 常数数列:各项相等的数列. 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,
有些项小于它的前一项的数列.

看书本P33页观察 观察下列数列的每一项与这一项的序号是 否有一定的对应关系? 1 1 1 1 1 , ,, , . 项 2 3 4 5 序号 项
1 2 3 4 5

2, 4, 6, 8, 10.
1 2 3 4 5

序号

数列中的每一个数都对应着一个序号, 反过来,每个序号也都对应着一个数.

项 序号

1 1 1 1 1 , ,, , . 2 3 4 5
1 2 3 4 5

这说明:数列的项是序号的函数,序号从1 开始依次增加时,对应的函数值按次序排出就 是数列,这就是数列的实质.
所以:数列可以看成以正整数集N*(或它的有 限子集{1,2,3,4,…,n})为定义域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时, 所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果 f(i) (i=1,2,3,…)有意义,那可得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…f(n),… 即数列是一种特殊的函数.

1 1 1 1 1 数列: 1, , , , ,· · · ,· · ·. 2 3 4 5 n 的第n项an与序号n之间的函数关系能表示出来吗

如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n之间可以用一个式子来表示,那这 个公式就叫做这个数列的通项公式.
1 如上面数列的通项公式为: a n ? n 又如数列:-1,1,-1,1, · · ·.

通项公式为: an ? (? 1 )
n

如果只知道数列的通项公式, 那能写出这个数列吗?
根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出 它的前5项:
( 1)
n an ? n ?1

(2) an ? ?? 1? ? n
n

例1、 写出下面数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:

( 1 ) 1,3,5,7; (2) 4, 9, 16 , 25 ;

an ? 2n ? 1

an ? (n ? 1)

2

1 1 1 a ? (?1) n ?1 1 (3)1 , ? ,, ? ;n n 2 3 4 n?1 an ? 1 ? (?1) (4) 2, 0, 2, 0.

:求以下各数列的通项公式
1)1,4,9,16,25,?
1 9 25 2) , 2, ,8, ,? 2 2 2

an ? n n2 an ? 2
2

3)1,3,5,7,9,?
4)1, ?3,5, ?7,9,?
2 ?1 3 ? 2 4 ? 3 5 ? 4 5) , , , ,? 1 3 5 7
2 2 2 2

an ? 2 n ? 1
an ? ? ?1?
n?1

? ? 2n ? 1?
2

an

n ? 1? ? ?

?n

2n ? 1

6)7,77,777,7777,?

7 an ? ?10n ? 1? 9

:写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数:

( 1 ) 1,2,4,8. ( 2)10 , 100 , 1000 , 10000 . (3 ) 9, 99 , 999 , 9999 . (4) 5, 55 , 555 , 5555 . (5) 0.9,0.99,0.999 ,0.9999 . (6) 2, 5 ,2 2, 11.

数列

2,4,6,8,10,……

其通项公式是:

图象为:

an
10 9 8

an ? 2n

7
6 5

4
3 2
0

1

2

3

4

5

n

例2、图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三 角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项 公式,并在直角坐标系中画出它的图象.

an 30 27 24 21 18 15

an ? 3

n ?1

12
9 6 3

o

1

2

3

4

5

n

问题:如果一个数列{an}的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1, 即 an = 2 an-1 + 1(n∈N,n>1),(※) 你能写出这个数列的前三项吗?

像上述问题中给出数列的方法叫做递推法, 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式.递推公式 也是数列的一种表示方法. 例3 设数列{an}满足

写出这个数列的前五项.

小结:
本节课学习的主要内容有: 1、数列的定义—按照一定顺序排列的一列数 2、数列的实质—特殊的函数(离散函数); 3、数列的通项公式(即函数解析式)及求法; 4、数列的表示方法:(类比函数的表示法) 列表法,通项公式法,图象法, 递推公式法.


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