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2015人教版高中数学选修4-5学案:3.1.2柯西不等式(2)


选修 4-5 学案

§ 3.1.2 柯西不等式(2)
2. 会证明二维柯西不等式及向量形式

姓名

☆学习目标:

1. 认识二维柯西不等式的几种形式,进一步理解它们的几何意义;

?知识情景:

2 2 2 2 1. 如果 a, b, c, d

? R , 那么 a2 ? b2 ? 2ab , c2 ? d 2 ? 2cd ? (a ? b )(c ? d ) ? 2 2 2 2 2 另一方面,有 (ac ? bd ) ? a c ? b d ? 2abcd ? 2 2 2 2 问题: (a ? b )(c ? d )

(ac ? bd )2

???

2. 柯西不等式的证明: 证法 10.(综合法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? a2c2 ? a2 d 2 ? b2c2 ? b2d 2

?(
当且仅当
0
2

)2 ? (

)2

(ac ? bd )2

时, 等号成立.
0 恒成立. . 得证.

证法 2 .(构造法) 设 f ( x) ? (a ? b2 ) x2 ? 2(ac ? bd ) x ? c2 ? d 2 ,
∵ f ( x) ? (ax ? c)2 ? (bx ? d )2

∴ ?? ?? ? 证法 30.(向量法)设向量 m ? (a, b) , n ? (c, d ) ,则 | m |? ∵ | m?n |

? , | n |?

.

| m|?| n |.
∴ . 得证.

3. 柯西不等式的变式: 变式 10.
a 2 ? b 2? c 2? d
2

| ac ? bd | 或 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2

ac ? bd ;

? R 变式 20. 若 a, b, c, d ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2

(a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ; ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 .

变式 30. 若 x1 , y1 , x2 , y2 ? R ,则 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2

变式 40.(三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数,则:
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( y2 ? y3 ) 2 ?

?新知建构:
前面的柯西不等式,称二维形式的柯西不等式. 意味着还有多维形式的柯西不等式.

1.三维形式的柯西不等式:若 a, b, c, d , e, f ? R , 则 当且仅当 2. 柯西不等式的一般形式: 时, 等号成立.
.

设 n 为大于 1 的自然数, ai , bi ? R ( i ? 1,2,…, n ),则: ,_____________________
其中等号当且仅当

b b1 b2 ? ? ? ? n 时成立(当 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 ,i ? 1,2,…, n ). a1 a2 an

-1-

3. 柯西不等式的应用: 例 1 已知 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:
1 1 1 ? ? ? 9. a b c

例 2、已知 a,b,c,d 是不全相等的正数,证明 A2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da

[来源:]

例3

已知 x+2y+3z=1,求 x2+y2+z2 的最小值。

-2-


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