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2014-2015学年北京市东城区(南片)高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年北京市东城区(南片)高二(下)期末数学试卷 (理科)
一、 选择题 (每小题 3 分, 共 60 分.在每小题给出的四个选项中. 选出符合题目要求的一项) 1.在复平面内,复数 A. 第一象限 2.C +C +C +C 对应的点位于( B. 第二象限 +C 的值为( ) C. 62 D. 61 ) C. 第三象限 D. 第四象限

/>A. 64

B. 63

3.反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾,这个矛盾可以是( ) ①与已知矛盾;②与假设矛盾;③与定义、定理、公理、法则矛盾;④与事实矛盾. A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 4.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y=cosx(x∈R)是三角函数; ②三角函数是周期函数; ③y=cosx(x∈R)是周期函数. A. ①②③ B. ②①③ C. ②③①

D. ③②①

5.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A. B. C. D.

6.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 是( A. ) B. C. D.

7.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为 一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( A. B. C. ) D.

8.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有( )

A. 70 种

B. 80 种

C. 100 种

D. 140 种

9.观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x,y) 的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 ….则|x|+|y|=20 的不同整数解(x, y)的个数为( ) A. 76 B. 80 C. 86 D. 92

10.已知复数 z1=a+i,z2=1+i,其中 a∈R, A. ﹣l B. 1

是纯虚数,则实数 a 的取值为( C. ﹣2 D. 2



11.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1) (x﹣a) ,若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (0,+∞) 12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,σ ) , 且 P(﹣2≤X≤1) =0.4, 则 P(X>4)= ( A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 13.若二项式(2x+ ) 的展开式中 A. 2 B.
7 2



项的系数是 84,则实数 a=( C.

) D. 1

14.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A. 63.6 万元
6

B. 65.5 万元
4 m n

C. 67.7 万元

D. 72.0 万元

15.在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)的值为 ( ) A. 4 B. 10 C. 20 D. 40 16.要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、 司机四项不同工作, 若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作, 则不同的选派方案共有( ) A. 48 种 B. 36 种 C. 18 种 D. 12 种 17.由曲线 y= ,x=1,x=2,y=0 所围成的封闭图形的面积为( A. 4 B. 2 C. 2ln2 ) D. ln2

18. 用数学归纳法证明 1+ 时,左端增加的项数是( A. 2 +1
3 k

+ )
k

(n∈N 且 n>1) , 第二步证明中从“k 到 k+1”

B. 2 ﹣1

C. 2

k

D. 2

k﹣1

19.设函数 f(x)=x +x,若 0<θ≤ 取值范围是( ) A. (﹣∞,1)

时,f(mcosθ)+f(1﹣m)>0 恒成立,则实数 m 的

B. (﹣∞,﹣1)

C. (﹣1,+∞)

D. (1,+∞)

20.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)﹣f(x)>0,对 任意正数 a、b,若 a<b,则 af(a) ,bf(b)的大小关系为( ) A. af(a)<bf(b) B. af(a)=bf(b) C. af(a)≤bf(b) D. af(a) ≥bf(b)

二、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分,解答题中的填空只需写出答案即可, 其他应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 21.已知复数 z=1+i. (I)若复数 ω=z +3 ﹣4,则复数 ω 的模长|ω|= (Ⅱ)如果 =1﹣i,求实数 a,b 的值.
2



22.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了 4 次试验,得到 数据如下: 零件的个数 x(个) 2 345 加工的时间 y(小时)2.5344.5 (Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; (Ⅱ)求 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (Ⅲ)试预测加工 10 个零件需要的时间.

参考公式:



23.2014 年 12 月 28 日开始,北京市地铁按照里程分段计价.具体如下表: 乘坐地铁方案 (不含机场线) 6 公里(含)内 3 元; 6 公里至 12 公里(含)内 4 元; 12 公里至 22 公里(含)内 5 元; 22 公里至 32 公里(含)内 6 元; 32 公里以上部分,每增加 l 元可乘坐 20 公里(含) . 已知在北京地铁四号线上, 任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元, 现从那些只乘坐四号线 地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出 120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示. (Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人,试估计此人乘 坐地铁的票价大于 3 元的概率为 ; (Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选 2 人,记 X 为这 2 人 乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求 X 的分布列和数学期望.

24.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. (Ⅰ)若 a=b=c,则( ﹣1) ( ﹣1) ( ﹣1)的值为 (Ⅱ)求证: ( ﹣1) ( ﹣1) ( ﹣1)≥8. ;

25.若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x)和 g(x)的“隔离直线”.已知 2 h(x)=x ,φ(x)=2elnx(e 为自然对数的底数) . (1)求 F(x)=h(x)﹣φ(x)的极值; (2)函数 h(x)和 φ(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在, 请说明理由.

2014-2015 学年北京市东城区(南片)高二(下)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、 选择题 (每小题 3 分, 共 60 分.在每小题给出的四个选项中. 选出符合题目要求的一项) 1.在复平面内,复数 A. 第一象限 对应的点位于( B. 第二象限 ) C. 第三象限 D. 第四象限

考点:复数代数形式的混合运算. 分析:复数分母实数化,再化简即可. 解答: 解: =

故选 D. 点评:本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内的点的对应关系,是基础题. 2.C +C +C +C +C 的值为( ) C. 62 D. 61

A. 64

B. 63

考点:组合及组合数公式. 专题:排列组合. 分析:利用组合数公式进行求解即可. 解答: 解:∵C ∴C +C +C +C +C +C +C +C =2 ﹣C
6

+C

+C

+C

=2 ,

6

﹣C

=64﹣1﹣1=62,

故选:C 点评:本题主要考查组合数公式的应用,比较基础. 3.反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾,这个矛盾可以是( ) ①与已知矛盾;②与假设矛盾;③与定义、定理、公理、法则矛盾;④与事实矛盾. A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 考点:反证法与放缩法. 专题:证明题;推理和证明. 分析:直接利用反证法的定义判断正误即可. 解答: 解:利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明 的定理或公认的简单事实相矛盾的结论, 以此说明原假设的结论不成立, 从而肯定原命题的 结论成立的方法称为反证法. ①与已知条件矛盾;正确.

②与假设矛盾;正确. ③与定义、定理、公理、法则矛盾;正确. ④与事实矛盾.正确. 故选:D. 点评:本题考查反证法定义的连结与应用,基础题. 4.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y=cosx(x∈R)是三角函数; ②三角函数是周期函数; ③y=cosx(x∈R)是周期函数. A. ①②③ B. ②①③ C. ②③①

D. ③②①

考点:演绎推理的基本方法. 专题:规律型;推理和证明. 分析:根据三段论”的排列模式:“大前提”→“小前提”?“结论”,分析即可得到正确的次序. 解答: 解:根据“三段论”:“大前提”→“小前提”?“结论”可知: ①y=cosx( (x∈R )是三角函数是“小前提”; ②三角函数是周期函数是“大前提”; ③y=cosx( (x∈R )是周期函数是“结论”; 故“三段论”模式排列顺序为②①③ 故选 B 点评:本题考查的知识点是演绎推理的基本方法: 大前提一定是一个一般性的结论, 小前提 表示从属关系,结论是特殊性结论. 5.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A. B. C. D.

考点:等可能事件的概率;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:首先由组合数公式, 计算从袋中的 6 个球中任取 2 个的情况数目, 再由分步计数原理 计算取出的两球为一白一黑的情况数目,进而由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 2 解答: 解:根据题意,袋中共有 6 个球,从中任取 2 个,有 C6 =15 种不同的取法, 6 个球中,有 2 个白球和 3 个黑球,则取出的两球为一白一黑的情况有 2×3=6 种; 则两球颜色为一白一黑的概率 P= = ;

故选 B. 点评:本题考查等可能事件的概率计算,是基础题,注意正确使用排列、组合公式.

6.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 是( )

A.

B.

C.

D.

考点:n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题:计算题. 分析:每 1 粒发芽的概率为 ,播下 3 粒种子相当于做了 3 次试验,由题意知独立重复实验 服从二项分布,即 X~B(3, ) ,根据二项分布的概率求法,做出结果. 解答: 解:∵每 1 粒发芽的概率为定值,播下 3 粒种子相当于做了 3 次试验, 由题意知独立重复实验服从二项分布 即 X~B(3, ) ∴P(X=2)= =

故选 B 点评:二项分布要满足的条件是每次试验中, 事件发生的概率是相同的, 各次试验中的事件 是相互独立的,每次试验只要两种结果,要么发生要么不发生,随机变量是这 n 次独立重复 试验中事件发生的次数.

7.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为 一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( A. B. C. ) D.

考点:相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题:计算题. 分析:根据题意, 分析可得, 这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品 与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件, 而两个零件是否加工为一等品相互独立, 进 而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案. 解答: 解:记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A, 即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况, 则 P(A)=P(A1)+P(A2)= ,

故选 B. 点评:本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式, 解题前, 注意 区分事件之间的相互关系(对立,互斥,相互独立) . 8.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有( ) A. 70 种 B. 80 种 C. 100 种 D. 140 种 考点:分步乘法计数原理.

分析:不同的组队方案:选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,方法 共有两类,一是:一男二女,另一类是:两男一女;在每一类中都用分步计数原理解答. 解答: 解:直接法:一男两女,有 C5 C4 =5×6=30 种, 2 1 两男一女,有 C5 C4 =10×4=40 种,共计 70 种 3 3 间接法:任意选取 C9 =84 种,其中都是男医生有 C5 =10 种, 1 都是女医生有 C4 =4 种,于是符合条件的有 84﹣10﹣4=70 种. 故选 A 点评:直接法:先分类后分步;间接法:总数中剔除不合要求的方法. 9.观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x,y) 的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 ….则|x|+|y|=20 的不同整数解(x, y)的个数为( ) A. 76 B. 80 C. 86 D. 92 考点:归纳推理. 专题:阅读型. 分析:观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为 4,公差为 4 的等差数列,则所求为 第 20 项,可计算得结果. 解答: 解:观察可得不同整数解的个数 4,8,12,…可以构成一个首项为 4,公差为 4 的 等差数列, 通项公式为 an=4n,则所求为第 20 项,所以 a20=80 故选 B. 点评:本题考查归纳推理,分寻找关系式内部,关系式与关系式之间数字的变化特征,从特 殊到一般,进行归纳推理.
1 2

10.已知复数 z1=a+i,z2=1+i,其中 a∈R, A. ﹣l B. 1

是纯虚数,则实数 a 的取值为( C. ﹣2 D. 2



考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把复数 z1=a+i,z2=1+i 代入 ,然后由复数代数形式的乘除运算化简求值,再由纯

虚数的条件列出方程组,解方程组则答案可求. 解答: 解:由复数 z1=a+i,z2=1+i, 得 = = ,



是纯虚数,





解得:a=﹣1. 故选:A. 点评:本题考查了,考查了复数的基本概念,是基础题. 11.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1) (x﹣a) ,若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (0,+∞) 考点:函数在某点取得极值的条件. 专题:计算题. 分析:讨论 a 的正负,以及 a 与﹣1 的大小,分别判定在 x=a 处的导数符号,从而确定是否 在 x=a 处取到极大值,从而求出所求. 解答: 解:当 a>0 时,当﹣1<x<a 时,f'(x)<0, 当 x>a 时,f'(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; 当 a=0 时,函数 f(x)无极值,不符合题意; 当﹣1<a<0 时,当﹣1<x<a 时,f'(x)>0, 当 x>a 时,f'(x)<0, 则 f(x)在 x=a 处取到极大值,符合题意; 当 a=﹣1 时,f'(x)≤0,函数 f(x)无极值,不符合题意; 当 a<﹣1 时,当 x<a 时,f'(x)<0, 当 a<x<﹣1 时,f'(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; 综上所述﹣1<a<0, 故选 B. 点评:本题主要考查了函数在某点取得极值的条件, 解题的关键是分类讨论的数学思想, 属 于中档题. 12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,σ ) , 且 P(﹣2≤X≤1) =0.4, 则 P(X>4)= ( A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6
2



考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 2 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,得到曲线关于 x=1 对称,根据曲线的对称性得 到结果. 2 解答: 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) , ∴曲线关于 x=1 对称, ∴P(X>4)=P(X<﹣2)=1﹣P(﹣2≤X≤1)=0.1 故选:A.

点评:本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、 函数图象对称性的应用等基 础知识,属于基础题. 13.若二项式(2x+ ) 的展开式中 A. 2 B.
7

项的系数是 84,则实数 a=( C.

) D. 1

考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于﹣3,求得 r 的值,即可求得 展开式中 项的系数,再根据
7

项的系数为 84,求得 a 的值. ?2
5 7﹣r

解答: 解:二项式(2x+ ) 的展开式的通项公式 Tr+1= 令 7﹣2r=﹣3,求得 r=5,可得展开式中 项的系数是

?a ?x

r

7﹣2r



×4×a =84,求得 a=1,

故选:D. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题. 14.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A. 63.6 万元

B. 65.5 万元

C. 67.7 万元

D. 72.0 万元

考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点,求 出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果. 解答: 解:∵ =42, ∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程 ∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9.4×6+9.1=65.5, 中的 为 9.4, =3.5,

故选:B. 点评:本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个基 础题,这个原题在 2011 年山东卷第八题出现. 15.在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)的值为 ( ) A. 4 B. 10 C. 20 D. 40 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 3 0 分析:由条件利用二项展开式的通项公式求得含 x y 的系数,即 f(3,0)的值. 解答: 解:∵(1+x) (1+y) 的展开式中,含 x y 的系数是:f(3,0)=
6 4 3 0 6 4 m n

=20,

故选:C. 点评:本题考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,考查计算能力,属于基础题. 16.要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、 司机四项不同工作, 若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作, 则不同的选派方案共有( ) A. 48 种 B. 36 种 C. 18 种 D. 12 种 考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:根据题意,小张和小赵只能从事前两项工作,由此分 2 种情况讨论,①若小张或小 赵入选,②若小张、小赵都入选,分别计算其情况数目,由加法原理,计算可得答案. 解答: 解:根据题意分 2 种情况讨论, 1 1 3 ①若小张或小赵入选,则有选法 C2 C2 A3 =24; 2 2 ②若小张、小赵都入选,则有选法 A2 A3 =12, 共有选法 12+24=36 种, 故选:B. 点评:本题考查组合、排列的综合运用,涉及分类讨论的思想,注意按一定顺序,做到不重 不漏.

17.由曲线 y= ,x=1,x=2,y=0 所围成的封闭图形的面积为( A. 4 B. 2 C. 2ln2

) D. ln2

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:首先利用定积分表示面积,然后计算即可. 解答: 解: 由曲线 y= , x=1, x=2, y=0 所围成的封闭图形的面积为: 故选 D. =lnx| =ln2;

点评:本题考查了运用定积分求瞿塘峡的面积; 关键是正确利用定积分表示面积, 然后正确 计算.

18. 用数学归纳法证明 1+ 时,左端增加的项数是( A. 2 +1
k

+ )
k

(n∈N 且 n>1) , 第二步证明中从“k 到 k+1”

B. 2 ﹣1

C. 2

k

D. 2

k﹣1

考点:数学归纳法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:当 n=k 时,写出左端,并当 n=k+1 时,写出左端,两者比较,关键是最后一项和增 加的第一项的关系. 解答: 解:当 n=k 时,左端=1+ 那么当 n=k+1 时 左端 =1+ + + +…+ =1+ + + + …+ , + ,

∴左端增加的项为

+

+ …+

,所以项数为:2 .

k

故选:C. 点评:本题考查数学归纳法证明,其中关键一步就是从 k 到 k+1,是学习中的难点,也是学 习中重点,解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项.
3

19.设函数 f(x)=x +x,若 0<θ≤ 取值范围是( ) A. (﹣∞,1)

时,f(mcosθ)+f(1﹣m)>0 恒成立,则实数 m 的

B. (﹣∞,﹣1)

C. (﹣1,+∞)

D. (1,+∞)

考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:利用函数 f(x)=x +x 是奇函数又是[0,
3 3

]上的增函数,把不等式转化求解. ]上的增函数,

解答: 解:∵函数 f(x)=x +x 是奇函数又是(0,

∴f(mcosθ)+f(1﹣m)>0 恒成立,等价于 f(mcosθ)>﹣f(1﹣m) 即 f(mcosθ)>f(m﹣1)即 mcosθ>m﹣1?m< 又 0<θ≤ 时,0≤cosθ<1, ,

即有

≥1,

∴m<1. 故选:A. 点评:考查函数的奇偶性单调性的综合运用以及三角函数的单调性的运用能力,属中档题. 20.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)﹣f(x)>0,对 任意正数 a、b,若 a<b,则 af(a) ,bf(b)的大小关系为( ) A. af(a)<bf(b) B. af(a)=bf(b) C. af(a)≤bf(b) D. af(a) ≥bf(b) 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 分析:令 g(x)= 质即可得出. 解答: 解:令 g(x)= ∵xf′(x)﹣f(x)>0, 则 g′(x)= >0, ,[x∈(0,+∞)], ,[x∈(0,+∞)],利用导数研究其单调性,再利用不等式的性

∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)单调递增, ∵a<b,∴ < ,

∴bf(a)<af(b) , ∴af(a)<bf(a)<af(b)<bf(b) . 故选:A. 点评:本题考查了利用导数研究其单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 二、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分,解答题中的填空只需写出答案即可, 其他应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 21.已知复数 z=1+i. (I)若复数 ω=z +3 ﹣4,则复数 ω 的模长|ω|= (Ⅱ)如果 =1﹣i,求实数 a,b 的值.
2



考点:复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (I)由复数 z 求出 ,然后代入复数 ω=z +3 ﹣4 化简求值则复数 ω 的模长可求;
2

(Ⅱ)把复数 z 代入

,然后由复数代数形式的乘除运算化简求值,再根据复数相

等的定义列出方程组,从而解方程组可求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵复数 z=1+i. ∴ , 2 2 ∴ω=z +3 ﹣4=(1+i) +3(1﹣i)﹣4=﹣1﹣i. 则复数 ω 的模长|ω|= 故答案为: ; (Ⅱ)由复数 z=1+i. 得 = =a+2﹣(a+b)i,

由题设条件知 a+2﹣(a+b)i=1﹣i, 根据复数相等的定义,得 ,解得: .

点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算, 考查了复数模的求法, 考查了复数相等的定义, 是基础题. 22.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了 4 次试验,得到 数据如下: 零件的个数 x(个) 2 345 加工的时间 y(小时)2.5344.5 (Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; (Ⅱ)求 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (Ⅲ)试预测加工 10 个零件需要的时间.

参考公式:



考点:线性回归方程. 专题:概率与统计.

分析: (Ⅰ)利用描点法描出数据对应的四组点,进而作图,可得数据的散点图; (Ⅱ)利用公式计算 , 及系数 a,b,可得回归方程; (Ⅲ)把 x=10 代入回归方程可得 y 值,即为预测加工 10 个零件需要的时间. 解答: 解: (Ⅰ)散点图如图所示: (3 分)

(Ⅱ)由题中表格数据得 =3.5, =3.5, =3.5,

=5.



=0.7,

=1.05,

∴线性回归方程为 =0.7x+1.05 (Ⅲ)当 x=10 时, =0.7x+1.05=8.05, 所以预测加工 10 个零件需要 8.05 小时. (8 分) 点评:本题主要考查了线性回归分析的方法,包括散点图,用最小二乘法求参数,以及用回 归方程进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力. 23.2014 年 12 月 28 日开始,北京市地铁按照里程分段计价.具体如下表: 乘坐地铁方案 (不含机场线) 6 公里(含)内 3 元; 6 公里至 12 公里(含)内 4 元; 12 公里至 22 公里(含)内 5 元; 22 公里至 32 公里(含)内 6 元; 32 公里以上部分,每增加 l 元可乘坐 20 公里(含) . 已知在北京地铁四号线上, 任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元, 现从那些只乘坐四号线 地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出 120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人,试估计此人乘 坐地铁的票价大于 3 元的概率为 ;

(Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选 2 人,记 X 为这 2 人 乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求 X 的分布列和数学期望.

考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)直接由频率分布直方图得到此人乘坐地铁的票价大于 3 元的概率为 ; (Ⅱ)120 人中地铁票价为 3 元、4 元、5 元,X 的所有可能取值为 6,7,8,9,10.由频 率分布直方图得到地铁票价为 3 元、4 元、5 元的频率,以频率作为概率求得 P(X=6) ,P (X=7) ,P(X=8) ,P(X=9) ,P(X=10) ,列出频率分布表,代入期望公式求得期望. 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布直方图可得,此人乘坐地铁的票价大于 3 元的概率为 . 故答案为: ; (Ⅱ)X 的所有可能取值为 6,7,8,9,10. 根据统计图,可知 120 人中地铁票价为 3 元、4 元、5 元的频率分别为 即 , , , 以频率作为概率,知乘客地铁票价为 3 元、4 元、5 元的概率分别为 , , . ∴P(X=6)= P(X=7)= P(X=8)= P(X=9)= P(X=10)= . , , , , , , ,

∴随机变量 X 的分布列为: X6 7 8 9 10 P ∴ = .

点评:本题考查频率分布直方图, 考查离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法, 关键 是对题意的理解,是中档题. 24.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. (Ⅰ)若 a=b=c,则( ﹣1) ( ﹣1) ( ﹣1)的值为 8 ; (Ⅱ)求证: ( ﹣1) ( ﹣1) ( ﹣1)≥8.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得 a=b=c= ,代入计算可得; (Ⅱ)由题意和基本不等式可得 a+b≥2 结合题意变形可得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 a=b=c= , 代入计算可得( ﹣1) ( ﹣1) ( ﹣1)=2×2×2=8; (Ⅱ)由题意和基本不等式可得 a+b≥2 a+c≥2 >0,b+c≥2 >0, ∴(a+b) (a+c) (b+c)≥2 ?2 ?2 又 a>0,b>0,c>0,∴ 又 a+b+c=1,∴ ∴ ? ? ≥8, ≥8 >0, =8abc, ≥8 >0,a+c≥2 >0,b+c≥2 >0,三式相乘

∴( ﹣1) ( ﹣1) ( ﹣1)≥8 点评:本题考查基本不等式,涉及不等式的证明,属中档题. 25.若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l:y=kx+b 为 f(x)和 g(x)的“隔离直线”.已知 2 h(x)=x ,φ(x)=2elnx(e 为自然对数的底数) . (1)求 F(x)=h(x)﹣φ(x)的极值; (2)函数 h(x)和 φ(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在, 请说明理由.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:新定义;导数的综合应用. 分析: (1)由已知中函数 f(x)和 φ(x)的解析式,求出函数 F(x)的解析式,根据 求导公式,求出函数的导数,根据导数判断函数的单调性并求极值 (2)由(1)可知,函数 f(x)和 φ(x)的图象在( ,e)处相交,即 f(x)和 φ(x) 若存在隔离直线,那么该直线必过这个公共点,设隔离直线的斜率为 k.则隔离直线方程为 y﹣e=k(x﹣ ) ,即 y=kx﹣k +e,根据隔离直线的定义,构造方程,可求出 k 值,进而 得到隔离直线方程. 2 解答: 解: (1)∵F(x)=f(x)﹣φ(x)=x ﹣2elnx(x>0) , ∴F′(x)=2x﹣ = =

令 F′(x)=0,得 x= , 当 0<x< 时,F′(x)<0,x> 时,F′(x)>0 故当 x= 时,F(x)取到最小值,最小值是 0 (2)由(1)可知,函数 f(x)和 φ(x)的图象在( ,e)处相交, 因此存在 f(x)和 φ(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点, 设隔离直线的斜率为 k.则隔离直线方程为 y﹣e=k(x﹣ ,即 y=kx﹣k +e 2 由 f(x)≥kx﹣k +e(x∈R) ,可得 x ﹣kx+k ﹣e≥0 当 x∈R 恒成立, 2 2 则△ =k ﹣4k +4e=(k﹣2 ) ≤0, ∴k=2 ,此时直线方程为:y=2 x﹣e, exx>0 时恒成立令 G(x)=2 下面证明 φ(x)≤2 x﹣e x﹣e﹣φ(x)=2 x﹣e﹣2elnx, G′(x)=2 ﹣ =(2 x﹣2e) =2 (x﹣ ) ,

当 x= 时,G′(X)=0,当 0<x< 时 G′(x)>0, 则当 x= 时,G(x)取到最小值,极小值是 0,也是最小值. 所以 G(x)=2 x﹣e﹣g(x)≥0,则 φ(x)≤2 x﹣e 当 x>0 时恒成立. ∴函数 f(x)和 φ(x)存在唯一的隔离直线 y=2 x﹣e 点评:本题考查的知识点是函数的求导,利用导数求最值,属于中档题,主要做题要仔细.


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