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2013高中数学奥数培训资料之立体图形


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §19 立体图形,空间向量
一. 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法 1.运用定义证明(有时要用反证法); 2.运用平行关系证明; 3.运用垂直关系证明; 4.建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如,在证明:直线 a ? 直线 b 时.可以这样考虑 (1)运用定义证明直线 a 与 b 所成的角为 90 ; (3)运

用“若 a ? 平面 ? , b ? ? ,则 a ? b ”; (5)建立空间直角坐标系,证明 a ? b ? 0 . 二. 空间中的角和距离的计算 1.求异面直线所成的角 (1)(平移法)过 P 作 a // a , b // b ,则 a 与 b 的夹角就是 a 与 b 的夹角;
0 0 (2)证明 a ? b (或 a // b ),则 a 与 b 的夹角为 90 (或 0 ); ' 0

(2)运用三垂线定理或其逆定理; (4)运用“若 b // c 且 a ? c ,则 a ? b ”;

? ?

'

'

'

(3)求 a 与 b 所成的角( ? ?[0, ? ] ),再化为异面直线 a 与 b 所成的角( ? ? (0,

?

?

?
2

] ).

2,求直线与平面所成的角 (1) (定义法)若直线 a 在平面 ? 内的射影是直线 b ,则 a 与 b 的夹角就是 a 与 ? 的夹角; (2) 证明 a ? ? (或 a // ? ),则 a 与 ? 的夹角为 90 (或 0 );
0

0

(3) 求 a 与 ? 的法向量 n 所成的角 ? ,则 a 与 ? 所成的角为 90 ? ? 或 ? ? 90 .
0 0

?

?

3.求二面角 (1) (直接计算)在二面角 ? ? AB ? ? 的半平面 ? 内任取一点 P ? AB ,过 P 作 AB 的垂线, 交 AB 于 C,再过 P 作 ? 的垂线,垂足为 D,连结 CD,则 CD ? AB ,故 ?PCD 为所求的二面角. (2) (面积射影定理)设二面角 ? ? AB ? ? 的大小为 ? ( ? ? 90 ),平面 ? 内一个平面图形 F
0

的面积为 S1 ,F 在 ? 内的射影图形的面积为 S2 ,则 cos ? ? ?

S2 .(当 ? 为钝角时取“ ? ”). S1

(3) (异面直线上两点的距离公式): EF ? d ? m ? n ? 2mn cos ? ,其中 ? 是二面角
2 2 2 2

? ? AB ? ? 的平面角,EA 在半平面 ? 内且 EA ? AB 于点 A,BF 在半平面 ? 内且 FB ?
AB 于 B,而 AB ? d , EA ? m , FB ? n .

(4) (三面角的余弦定理),三面角 S ? ABC 中, ?BSC ? ? , ?CSA ? ? , ?ASB ? ? ,又二面角

B ? SA ? C ? ? ,则 cos ? ?

cos ? ? cos ? cos ? . sin ? sin ?

(5)(法向量法)平面 ? 的法向量 n1 与平面 ? 的法向量 n2 所成的角为 ? ,则所求的二面角为

??

?? ?

? (同类)或 ? ? ? (异类).
4.求两点 A,B 间距离 (1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求 AB . 5.求点到直线的距离 (1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离. 6.求点到平面的距离 (1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的 距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高 h ?

??? ?

3V ,其中 V 为棱锥体积,S 为底面面积, h 为底面 S

上的高.(4)在平面上取一点 A,求 AP 与平面的法向量 n 的夹角的余弦 cos ? ,则点 P 到平面 的距离为 d ? AP ? cos ? . 7.求异面直线的距离 (1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线 a , b 在同一平面内的射影分别是一个点 P 和一条直线 l , 则 a 与 b 的距离等于 P 到 l 的距离; (6)(公式法) d ? EF ? m ? n ? 2mn cos ? .
2 2 2 2

??? ?

??? ?

8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 三.多面体与旋转体 1.柱体(棱柱和圆柱) (1)侧面积 S侧 ? c ? l ( c 为直截面周长, l 为侧棱或母线长)(2)体积 V ? Sh ( S 为底面积, h 为高) 2.锥体(棱锥与圆锥)

1 c ? h ' ( c 为底面周长, h ' 为斜高)(2)圆锥的侧面积: S侧 ? ? rl 2 1 ( r 为底面周长, l 为母线长)(3)锥体的体积: V ? Sh ( S 为底面面积, h 为高). 3
(1)正棱锥的侧面积 S侧 ?

S1 h12 V1 h13 ? , ? 3.锥体的平行于底面的截面性质: . S h 2 V h3
2 4.球的表面积: S ? 4? R ; 球的体积: V ?

4 ? R3 . 3

四.解题思想与方法导引 1.空间想象能力; 2.数形结合能力; 3.平几与立几间的相互转化; 4.向量法

例题讲解
1.正四面体的内切球和外接球的半径之比为( A,1:2 B,1:3 ) C,1:4 D,1:9

2.由曲线 x2 ? 4 y , x2 ? ?4 y , x ? 4 , x ? ?4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的几何体的体 积为 V1 ;满足 x2 ? y 2 ? 16 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的点 ( x, y ) 组成的图形绕

y 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V2 ,则(
A, V1 ?

) D, V1 ? 2V2 D

1 V2 2

B, V1 ?

2 V2 3

C, V1 ? V2

3.如右图,底面半径 r ? 1 ,被过 A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心 率为

2 的椭圆,若圆柱母线截后最短处 AB ? 1 ,则截面以下部分的 2
) C B, 2? C, ?

A B

几何体体积是(

3? A, 2

2 D, (1 ? )? 2

4.在四面体 ABCD 中,设 AB ? 1 , CD ? 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 面体 ABCD 的体积等于( A, ) C,

? ,则四 3

3 2

B,

1 2

1 3

D,

3 3

5.三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是 1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是( ) A, 2 ? 1 B,

2 ?1 2

C,

5 ?1 2

D,

5 ?1 4

6.四面体 ABCD 的顶点为 A,B,C,D,其 6 条棱的中点为 M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 ,共 10 个 点,任取 4 个点,则这 4 个点不共面的概率是( ) D,

5 A, 7

7 B, 10

24 C, 35

47 70

7. 正方体 ABCD ? A B C D 的棱长为 a ,则异面直线 C D 与 BD 间的距离等于
' ' ' '
'

.

8.正四棱锥 S ? ABCD 中, ?ASB ? 45 ,二面角 A ? SB ? C 为 ? 且 cos? ? m ? n ,( m ,
0

n 为整数),则 m ? n ?

.

9.在正三棱锥 P ? ABC 中, AB ? a , PA ? 2a ,过 A 作平面分别交平面 PBC 于 DE.当截面

?ADE 的周长最小时, S?ADE ?

,P 到截面 ADE 的距离为

.

10.空间四个球,它们的半径分别是 2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于 . 11.三个 12 ? 12 的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 A,B 两 片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个 多面体的体积为 . 12.直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,平面 A BC ? 平面 ABB1 A ,且 AC = 1 1 A

B

3AA1 ,则 AC 与平面 A1BC 所成的角 ? 的取值范围是
13.如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ,连接 AB1 , BC1 ,

.

C1 B1

A1

CA1 ,若 AB1 ? BC1 ,求证: AB1 ? CA1

C 14.如图,设 S ? ABCD 是一个高为 3,底面边长为 2 的正四棱锥, K 是棱 SC 的中点,过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别交于 M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥 S ? AMKN 的体积 V 的最大值与最小值. SB

A

N D A M

K C B

15.有一个 m ? n ? p 的长方体盒子,另有一个 (m ? 2) ? (n ? 2) ? ( p ? 2) 的长方体盒子, 其中 m, n, p 均为正整数( m ? n ? p ),并且前者的体积是后者一半,求 p 的最大值.

课后练习

1.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为 a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,

8 3 a 27

B,

8 3 3 a 27

C, a

1 3

3

D, a

8 9

3

2.夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( ) A,3:2:1 B,2:3:1
0

C,3:6:2

D,6:8:3

3.设二面角 ? ? a ? ? 的大小是 60 ,P 是二面角内的一点,P 点到 ? , ? 的距离分别为 1cm, 2cm,则点 P 到棱 a 的距离是( A, ) C,

2 21 cm 3

B,

21 cm 3

2 cm 3
)

D,

4 21 cm 3
A

4.如图,E,F 分别是正三棱锥 A ? BCD 的棱 AB,BC 的中点,且 DE ? EF.若 BC= a ,则此正三棱锥的体积是( A,

a3 24

B,

2 3 a 24
B

E D F C ) C,

C,

2 3 a 12

D,

3 3 a 12

5.棱长为的正八面体的外接球的体积是( A,

? 6

B,

4 3 ? 27

8 2 ? 3

D,

2 ? 3

6.若线段 AB 的两端点到平面 ? 的距离都等于 2,则线段 AB 所在的直线和平面 ? 的位置关系是 . 7.若异面直线 a , b 所原角为 60 ,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 a , b 上到 A,B 距离为 2 和平共处的两点,当 EF ? 3 时,线段 AB 的长为 .
0

8.如图(1),在直四棱柱 A B1C1D1 ? ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 1 时,有 A C ? B1 D1 (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 1

A B AC B C 图(1)

D D D E N F C A M 图(2) B

9.如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与 EF 所连直线平行; ②AB 与 CD 所在直线异面; ③MN 与 BF 所在直线成 60 ;
0

④MN 与 CD 所在直线互相垂直.

其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出) 10.如图,在 ?ABC 中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交 AB,AC 于 D,E.将 ?ADE 沿 DE 折起来使得 A 到 A ,且 A1 ? DE ? B 为 60 的二面角,求 A 到直线 BC 的最小距离. 1 1
0

A

A E C B O

D

O

11.如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= a (a ? 0) ,PA ? 平面 ABCD,且 PA=1. (1)问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQ ? QD?并说明理由; (2)若边上有且只有一个点 Q,使得 PQ ? QD,求这时二面角 Q ? PD ? A 的正切.

P

A B Q C

D

课后习题答案

1.过顶点 A,V 与高作一截面交 BC 于点 M,点 O 为正四面体的中心, O1 为底面 ABC 的中心,

设正四面体 VABC 的棱长为 m ,则 AM=

3 1 3 m =VM, O1M = AM ? m, 2 3 6

O1 A ?

6 6 2 3 m ,得 OO1 ? VO1 ? VO ? m?a AM ? m , VO1 ? VM 2 ? O1M 2 ? 3 3 3 3
2

在 Rt ?AOO1 中, AO2 ? OO12 ? AO12 ,即 a ? (

6 3 2 6 m ? a)2 ? ( m)2 ,得 m ? a. 3 3 3

则 VO1 ?

4 1 1 8 3 3 a ,有 VV ? ABC ? ? ( ? m2 ? sin 600 ) ?VO1 ? a .选 B. 3 3 2 27

温馨提示:正四面体外接球的半径 VO :内切球的半径 OO1 = a :

1 a ? 3 :1 . 3

2. V1 : V2 : V3 ? ( ? R ) : (? R ? 2 R) : ( ? ? R ? 2 R) ? 2 : 3 :1 ,选 B.
3 2 2

4 3

1 3

3.设 PA ? 棱 a 于点 A,PM ? 平面 ? 于点 M,PN ? 平面 ? 于点 N,PA= t , ?PAM ? ? ,则

?t sin ? ? 1 3 3 ,得 3 cos ? ? 5sin ? ,有 sin ? ? 或? (舍去), ? 0 2 7 2 7 ?t sin(60 ? ? ) ? 2
所以 t ?

1 21 ? cm ,选 B. sin ? 3

4.由 DE ? EF,EF//AC,有 DE ? AC,又 AC ? BD,DE ? BD=D,得 AC ? 平面 ABD. 由对称性得 ?BAC ? ?CAD ? ?BAD ? 90 ,于是 AB ? AC ? AD ?
0

2 a. 2

1 1 2 2 2 2 3 VB ? ACD ? ? ( ? a? a) ? a? a ,选 B. 3 2 2 2 2 24
5.可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有 2r ?

2 ,得 r ?

2 , 2

外接球的体积 V ?

4 3 2 ?r ? ? ,选 D. 3 3

6.当 AB ? 2 时,AB// ? ;当 AB ? 2 时,AB// ? 或 AB ? 交. 7.由 EF ? EA ? AB ? BF ,得 EF

? ;当 AB ? 2 时,AB// ? 或与 ? 斜

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? 2 ?

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ? EA ? AB ? BF ? 2 EA ? BF ? cos ?

??? ? 1 ,得 AB ? 2 ; 2 ??? 2 ? ??? ? 1 0 (2)当 ? ? 120 时,有 9 ? 4 ? AB ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? ,得 AB ? 6 . 2 8. AC ? BD.(或 ABCD 是正方形或菱形等) 9.将展开的平面图形还原为正方体 NACF ? EMBD ,可得只②,④正确.
0 (1)当 ? ? 60 时,有 9 ? 4 ? AB ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ?

??? 2 ?

10.解:设 ?ABC 的高 AO 交 DE 于点 O1 ,令 AO1 ? x , 由 AO= 132 ? 52 ? 12 ,有 OO1 ? 12 ? x , 在 ?AOO1 中, ?AO1O ? 600 ,有 AO2 ? AO12 ? OO2 ? 2 ? AO1 ? OO ? cos600 1 1 1 1 1 1 1
2 得 A1O ? 3( x ? 6) ? 36 .

当 x ? 6 时, A 到直线 BC 的最小距离为 6. 1 11.解:(1)(如图)以 A 为原点建立空间直角坐标系,设 BQ ? x ,则 Q (1, x, 0) ,P(0,0,1),D (0, a,0) 得 PQ ? (1, x, ?1) , QD ? (?1, a ? x,0) 由 PQ ? QD ,有 (1, x, ?1) ? (?1, a ? x,0) ? 0 ,得 x ? ax ? 1 ? 0
2

??? ?

??? ?

??? ?

????



若方程①有解,必为正数解,且小于 a .由 ? ? (?a)2 ? 4 ? 0 , a ? 0 ,得 a ? 2 . (i)当 a ? 2 时,BC 上存在点 Q,使 PQ ? QD; (ii)当 0 ? a ? 2 时, BC 上不存在点 Q,使 PQ ? QD. (2)要使 BC 边上有且只有一个点 Q,使 PQ ? QD,则方程①有两个相等的实根,
2 这时, ? ? (?a) ? 4 ? 0 ,得 a ? 2 ,有 x ? 1 .

又平面 APD 的法向量 n1 ? (1,0,0) ,设平面 PQD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) 而 QD ? (?1,1,0) , PD ? (0, 2,0) ? (0,0,1) ? (0, 2, ?1) ,

????

??? ?

???? ?n2 ? QD ? 0 ?( x, y, z ) ? (?1,1,0) ? 0 ? 由? ,得 ? ,解得 x ? y, z ? 2 y 有 n2 ? (1,1, 2) ,则 ??? ? ?n2 ? PD ? 0 ?( x, y, z ) ? (0, 2, ?1) ? 0 ?

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 (1,0,0) ? (1,1, 2) 1 ? ? , 则 tan ? n1 , n2 ?? 5 所 以 二 面 角 n1 ? n2 1? 6 6

Q ? P D 的正切为 5 . ? A

例题答案:

1,B 设棱长为 a ,外接球的半径为 R,内切球的半径为 r ,则 R ? (
2

3 2 6 a) ? ( a ? R) 2 3 3

解得 R ?

6 6 6 6 a,r ? a? a? a ,有 r :R=1:3. 4 3 4 12

2,C 设 A(0, a)(a ? 0) ,则过 A 的两个截面都是圆环,面积分别是 (42 ? x2 )? ? (42 ? 4a)? 和

( x12 ? x22 )? ? {(42 ? a2 ) ? [22 ? (a ? 2)2 ]}? ? (42 ? 4a)? ,于是 V1 ? V2 .
3,B 在椭圆中 b ? r ? 1 ,又

1 c 2 2 2 ,得 a ? 2 ,所求的体积 V ? ? ?1 ?1 ? (? ?1 ? 2) ? 2? ? 2 a 2

4,B 过 C 作 CE // AB ,以 ?CDE 为底面,BC 为侧棱作棱柱 ABF ? ECD ,则所求四面体的体

1 1 ,而 ?CDE 的面积 S ? CE ? CD ? sin ?ECD ,AB 与 CD 3 2 1 的公垂线 MN 就是棱柱 ABF ? ECD 的高,于是 V2 ? MN ? CE ? CD ? sin ?ECD = 2
积 V1 等于上述棱柱体积 V2 的

1 1 1 3 3 ? 2 ? 1? 3 ? ? ,因此 V1 ? V2 ? . 3 2 2 2 2
5,A 为 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为 2,则所求球的半径

r ? 2 ? 1.
6,D
4 4 C10 ? 6C6 ? 6 ? 3 141 47 . ? ? 4 C10 270 70

7,

3 a 3

设 E 是 CD 上的点,过 E 作 EH ? DC 于 H,所以 EH ? 面 ABCD,过 H 在面 ABCD
'

内作 HF ? BD ,连接 EF,所以 EF ? BD,令 DH ? x , HE ? a ? x , FH ?

2 x ,所以 EF= 2

( a ? x) 2 ? (

2 2 3 2 3 2 a2 3 x) ? x ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a) 2 ? ? a. 2 2 2 3 3 3
450 1 2 2 2 , AB ? BC ? 2sin , AC ? AB ? BC 2 2

8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在 ?SAB 内作高 AE,则 CE 也是 ?SBC 的高,故

?AEC ? ? .设 SA ? 1 则 AE ? CE ?

= 8sin

2

450 AE 2 ? CE 2 ? AC 2 ? 4(1 ? cos 450 ) ? 4 ? 2 2 . cos ? ? ? ?3 ? 8 , 2 2 AE ? CE

得 m ? n ? ?3 ? 8 ? 5 . 9,

3 55 2 3 5 a ; a 64 5

将三棱锥的侧棱 PA 剪开,当 ?ADE 的周长最小时,其展开图如图

?ADE 的周长即是展开图中线段 AA' 的长.易证 ?ABD
∽ ?PAB ,又 PA=2AB= 2a ,故 AD ? AB ? 2 BD ? a ,

P

PD ? PB ? BD ?
DE 上的高 AH ?

3 PD 3 a , DE ? ? BC ? a . ?ADE 中, 2 PB 4

D A B

E C

A’

1 55 AD2 ? ( DE )2 ? a .于是 2 8

1 3 55 2 S?ADE ? ? AH ? DE ? a ; 从 P 向底面作高 PO.则 PO= PA2 ? AO2 2 64
= (2a)2 ? (

1 33 3 2 11 3 1 2 33 a? a ? a . a) ? a .于是 VP ? ABC ? ? 3 3 4 12 3 3



9 9 11 3 3 11 3 S?PDE PD2 9 a ? a .设 P 到截面的距离 ? ? ,得 VA? PDE ? VA? PBC ? ? 2 16 16 12 64 S?PBC PB 16
1 3 11 3 3 5 d ? S?ADE ? a ,于是 d ? a. 3 64 5
C F O E A

为 d ,则 VA? PDE ? VP ? ADE ? 10,

6 11

设半径为 3 的球心为 A,B,半径为 2 的球心为 C,D.则易知

AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为 O,半径为 r ,则 O 在 四面体 ABCD 内且 AO=BO=3+ r ,CO=DO=2+ r .取 AB 中点 E,连结 CE,DE,则 CE ? AB,DE ? AB,故平面 CDE 为线段 AB 的垂直平分面 ? ,所以 O 在平面 CDE 内,又由 OC=OD=2+ r 知 O 在 CD 的垂直平

B

D

分面 ? 内,故 O 在等腰 ?CED 底边 CD 上的高 EF 上(F 为 CD 中点),易算出 ED=EC=

52 ? 32 ? 4 ,得 ?ECD 为等边三角形.于是 EF=
2 2 = (2 ? r ) ? 2 ?

3 ED ? 2 3 .而 OF ? OC 2 ? CF 2 2

r (4 ? r ) .OE= OA2 ? AE 2 ? (3 ? r ) 2 ? 32 ? r (6 ? r ) ,代入 OE+OF

=EF=2 3 得 r (4 ? r ) ? r (6 ? r ) ? 2 3 ,解得 r ?

6 . 11

123 11,864 将几何体补成一个棱长为 12 的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为 . 2
12, 0 ? ? ? 30
0 0

作 AD ? A B 于 D,易证 AD ? 平面 A BC ,所以 ?ACD ? ? .设 AA ? a , 1 1 1

AB ? x ,则 AD ?

ax a2 ? x2

? 3a ? sin ? ,故 x 2 ?

3a 2 sin 2 ? .易证 BC ? 平面 A ABB1 , 1 1 ? 3sin 2 ?
1 3a 2 sin 2 ? ? 3a 2 , sin ? ? , 2 2 1 ? 3sin ?

0 故 ?CBA ? 90 ,从而 AB ? AC ,即 x ? 3a ,于是 0 ?

又 0 ? ? ? 90 ,得 0 ? ? ? 30 .
0 0 0 0

13,证明:设 D, D1 分别为 AB, A1B1 的中点.连结 CD, C1D1 及 BD1 , DA .因为 BD//D1 A ,所以 1 1 四边形 BD1 A1D 为平行四边形,得 BD1 // DA .因 AC=BC,于是 B1C1 ? C1 A .又 D, D1 分别为 1 1 AB, A1B1 的中点,故 CD ? AB, C1D1 ? A1B1 ,而 AB1 在平面 ABC(或 A1B1C1 )内的射影为 AB (或 A1B1 ),得 AB1 ? CD, AB1 ? C1D1 ,又已知 AB1 ? BC1 ,所以 AB1 ? 平面 B C1D1 ,从而 AB1

? BD1 ,又 BD1 // DA1 ,所以 AB1 ? DA1 .又 AB1 ? C1D1 ,得 AB1 ? 平面 A1 CD,从而得证.
14,解:为了建立 V 与原四棱锥 S ? ABCD 的关系.我们先引用 下面的事实: (如图)设 A1 , B1 , C1 分别在三棱锥 S ? ABC 的侧棱 SA,SB,SC 上, A1 又 S ? A1B1C1 与 S ? ABC 的体积分别是 V1 和 V,则 B1 A H C B S H1 C1

V1 SA1 ? SB1 ? SC1 ? . V SA ? SB ? SC

CH SC1 事实上,设 C, C1 在平面 SAB 的射影分别是 H, H1 .则 1 1 ? , CH SC 1 ?C H ? S S?SA1B1 SA1 ? SB1 V1 3 1 1 ?SA1B1 SA1 ? SB1 ? SC1 又 ,所以 ? .下面回到原题. ? ? 1 V SA ? SB ? SC S?SAB SA ? SB ? CH ? S?SAB 3 SM SN 1 ? x, ? y ,因 S ? ABCD 的体积为 V0 ? ? 3 ? 22 ? 4 .于是由上面的事实有 设 SB SD 3 V SM ? SN ? SA SM ? SN ? SK V V V V V ? = ? S ? AMN ? S ? KMN ? S ? AMK ? S ? ANK .得 ? 1 2 SB ? SD ? SA SB ? SD ? SC VS ? ABD VS ?CBD VS ? ABC VS ? ADC V0 2 SM ? SK ? SA SN ? SK ? SA 1 1 1 x ? = xy ? xy ? x ? y ,于是 y ? , SB ? SC ? SA SD ? SC ? SA 2 2 2 3x ? 1 x 1 x 1 ? 1 , x ? 1 ,得 ? x ? 1 .则 V ? x ? y ? x ? 而由 0 ? y ? ,( ? x ? 1 ). 3x ? 1 2 3x ? 1 2
又得 V ? 1 ?
'

1 3x(3x ? 2) ? .所以 2 (3x ? 1) (3x ? 1) 2

(1)当

1 2 2 ? x ? 时, V ' ? 0 ,V 为减函数,(2)当 ? x ? 1 时, V ' ? 0 ,V 为增函数. 2 3 3
2 x? 3

所以得 Vmin ? V

?

3 4 3 ,又 V 1 ? Vx ?1 ? ,得 Vmax ? V 1 ? Vx ?1 ? . x? x? 2 3 2 2 2
2 2 2 )(1 ? )(1 ? ) ? 2 . m n p

15,解:由题意, 2mnp ? (m ? 2)(n ? 2)( p ? 2) ,得 (1 ?

(1)当 m ? 8 时,由 m ? n ? p ,则 (1 ?

2 2 2 2 )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )3 ? 2 ,矛盾! m n p 8

(2)当 m ? 2 时, (1 ?

2 2 2 )(1 ? )(1 ? ) ? 2 ,矛盾! m n p

(3)当 m ? 3 时,则 6np ? 5(n ? 2)( p ? 2) ,即 (n ? 10)( p ? 10) ? 120 . 所以 p 的最大值为 130; (4)当 m ? 4 时,则 4np ? 3(n ? 2)( p ? 2) ,即 (n ? 6)( p ? 6) ? 48 . 所以 p 的最大值为 54; (5)当 m ? 5 时, (1 ?

2 2 2 ,得 p ? 98 . )? ? p (1 ? 2 )(1 ? 2 ) (1 ? 2 )(1 ? 2 ) m n 5 5

综上所述: p 的最大值为 130.


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