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江苏省前黄高级中学2013届高三数学模拟考试


江苏省前黄高级中学 2013 届高三数学模拟考试
命题人:顾松 一、填空题(每题 5 分,共计 70 分) 江苏省前黄高级中学

, 1.已知集合 M ? ??11? , N ? ? x

? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? __ ? 2 ?
3


>
) ( 2 . 已 知 a, b? R, 若 a ? b i?( 1 ? i i 其 中 i 为 虚 数 单 位 ) 则 ,
. a ?b ? 3.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位:kg)情 况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图) ,已知图中从左 到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第一小组的频数为 6,则该校 报考飞行员的总人数为 . 4.已知 a, b ? { 1,1, 2} ,则直线 ax + by - 3 = 0(a + b
2 2

0) 与圆

x 2 + y 2 = 4 有公共点的概率是

.

x2 y 2 5.已知双曲线 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,过双曲线 ? 的左焦点 F 作圆 a b
O : x2 ? y2 ? a2 的两条切线,切点分别为 A 、 ,则 ?AFB = B
.

6. 正四面体 ABCD 中,AO ⊥平面 BCD , 垂足为 O , M 是线段 AO 上一点, ?BMC 设 且 是直角,则

AM 的值为 MO

.

7.已知 cos(? +

?
4

) =

10 ? ? ,? ? 0 , ) 则 sin(2? ? ) ? ( , 10 2 3

.

8.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值 与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有 个

9.在 Rt?ABC 中,?C ? 90? , AC ? 4, BC ? 2 , D 是 BC 的中点, E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC (包

1

括边界)内任一点.则 AD ? EP 的取值范围是___________. 10.已知函数 f ( x) ?| e x ? 的取值范围是 .

uuu uur r

a ,在区间 [0,1] 上单调递增,则 a | , (a ? R, e 是自然对数底数) ex

x2 y 2 11.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,F1 , F2 是左右焦点,l 是右准线, 若椭圆上存在点 P , a b 使 | PF1 | 是 P 到直线 l 的距离的 2 倍,则椭圆离心率的取值范围是_______.
12 . 若 不 等 式 组 ? 是 .

?| x | ? | y |? 2 表示的平面区域是三角形,则实数 k 的取值范围 ? y ? 2 ? k ( x ? 1)

13.若曲线 y ? sin x , x ? (?? , ? ) 在点 P 处的切线平行于曲线 y ? 切线,则 PQ 的斜率为 14.数列 {an } 满足 an ? ? .

x x ( ? 1) 在点 Q 处的 3

? n, n ? 2 k ? 1 ? ,其中 k ? N ,设 f (n) ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ?1 ? a2n , ? ak , n ? 2 k
.

则 f (2013 ) ? f (2012 ) 等于

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.本题 14 分) ( 已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0, 上单调递减; 如图,四边形 OACB 中, a , b , c 为 △ABC 的内角 A B,C 的对边,且满足 ,

?

? 2? ] 上单调递增,在区间 [ , ] 3 3 3

4? ? cos B ? cos C sin B ? sin C . ? 3 sin A cos A
(1)证明: b ? c ? 2a ; (2)若 b ? c ,设 ?AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 ,求四边形 OACB 面积的最 大值.

2

16. (本题 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ DC , DC ? 2 AB , AP ? AD , PB ⊥ (1) AE ∥平面 PBC ; (2) PD ⊥平面 ACE . AC , BD ⊥ AC , E 为 PD 的中点.求证:

P E D C

A

B

17. (本题 14 分) 如图, 某小区有一边长为 2 (单位: 百米) 的正方形地块 OABC , 其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M ,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平 面直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y ? ? x ? 2(0 ? x ?
2

2 )的图象,且点 M 到边 OA 距

2 4 ?t ? ). 3 3 2 (1)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?
离为 t (

18.(本题 16 分)如图,椭圆的中心在坐标原点,长轴端点为 A, B ,右焦点为 F ,且

??? ??? ? ? ??? ? AF ?FB ? 1,OF |? 1 . |
3

(1) 求椭圆的标准方程; (2) 过椭圆的右焦点 F 作直线 l1 , l2 , 直线 l1 与椭圆分别交于点 M , N , 直线 l 2 与椭圆分别交 于点 P, Q ,且 | MP |2 ? | NQ |2 ?| NP |2 ? | MQ |2 .

????

????

??? ?

???? ?

①证明: l1 ? l2 ; ②求四边形 MPNQ 的面积 S 的最小值.

19. (本题 16 分)对于数列 { xn } ,如果存在一个正整数 m ,使得对任意的 n ( n ? N )都有

?

xn ? m ? xn 成立,那么就把这样一类数列 { xn } 称作周期为 m 的周期数列, m 的最小值称作数
列 { xn } 的最小正周期,以下简称周期.例如当 xn ? 2 时 { xn } 是周期为 1 的周期数列,当

yn ? sin( n) 时 { yn } 是周期为 4 的周期数列. 2 ? (Ⅰ)设数列 { an } 满足 an ? 2 ? an ?1 ? an ( n ? N ), a1 ? a, a2 ? b ( a, b 不同时为 0),求 证:数列 { an } 是周期为 6 的周期数列,并求数列 { an } 的前 2013 项的和 S 2013 ;
(Ⅱ)设数列 { an } 的前 n 项和为 S n ,且 4S n ? (an ? 1) .
2

?

①若 an ? 0 ,试判断数列 { an } 是否为周期数列,并说明理由; ②若 an an ?1 ? 0 ,试判断数列 { an } 是否为周期数列,并说明理由;
? (Ⅲ)设数列 { an } 满足 an ? 2 ? an ?1 ? an ? 1( n ? N ) a1 ? 2 , a2 ? 3 ,数列 { an } 的前 n 项和 ,

为 S n ,试问是否存在 p, q ,使对任意的 n ? N 都有 p ? (?1)

?

n

Sn ? q 成立,若存在,求出 n

p, q 的取值范围;不存在,说明理由.
20. (本题 16 分)已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? 则称 f ( x ) 为“一阶比增函数” ;若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增 x2

4

函数”. 我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为 ?1 , “二阶比增函数” 所有 组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c
t

a?b?c
4

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ?2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k , 请 问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x) ? M 成立?若存在,求 出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

?

?

参考答案
一、填空题 1、 {?1} 2、2 3、48 4、

5 9

5、 60

0

6、1

7、

4?3 3 10
13、

8、3

9、 [?9,9]

10、 [?1,1] 二、解答题

11、 [

?3 ? 17 ,1) 2

12、 k ? ?2 或 0 ? k ?

2 3

4 3

14、 4

2012

4? 3 ,解得: ? ? , ? 3 2 sin B ? sin C 2 - cos B - cosC ? ? sin A cos A
15、解: (Ⅰ)由题意知:

2?

?

?sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cosC sin A ?sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cosC sin A ? 2 sin A
? sin( A ? B) ? sin( A ? C) ? 2 sin A

?sin C ? sin B ? 2 sin A ??b ? c ? 2a …………………………………………………7 分
(Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ABC 为等边三角形

5

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4 ? sin ? ? 3 (OA2 ? OB 2 -2OA ? OB cos ? ) 4
E D P F C

5 3 ? 5 3 ? s in - 3 c o s ? ? ? , ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

?? ? (0,? ) ,?? -

? 2? ?(- , ), 3 3 3 ? ? 5? 当且仅当 ? - ? , ? ? 即 时取最大值, S OACB 的最大值为 3 2 6
2? 5 3 ………………14 分 4

?

A

B

(第 16 题图)

16、 证明: (1) PC 中点 F , 取 连结 EF ,BF , E 为 PD 中点, EF ∥ DC 且 EF = ∵ ∴

1 DC . 2

1 ∵ AB ∥ DC 且 AB ? DC ,∴ EF ∥ AB 且 EF ? AB .∴四边形 ABEF 为平行四边形. 2

∴ AE ∥ BF . ∵ AE ? 平面 PBC , BF ? 平面 PBC , ∴ AE ∥平面 PBC . ……………………………………………7 分 (2)∵ PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , PB ? BD ? B ,∴ AC ? 平面 PBD .∵ PD ? 平面 PBD , ∴ AC ? PD . ∵ AP ? AD , E 为 PD 的中点,∴ PD ? AE .∵ AE ? AC ? A , ∴ PD ⊥平面 ACE . 17、 (1) M ( ,
2

………………14 分 …………………………………………5 分
2

2 14 ), l : 12 x ? 9 y ? 22 ? 0 3 9

(2) M (t ,?t ? 2) ,过切点 M 的切线 l : y ? (?t ? 2) ? ?2t ( x ? t )

t t ,故切线 l 与 AB 交于点 ( ,2) ; 2 2 t 1 t 1 t 1 17 11 2 4 令 y ? 0 ,得 x ? ? ,又 x ? ? 在 [ , ] 递减,所以 x ? ? ? [ , ] 2 t 2 t 2 t 12 6 3 3 t 1 故切线 l 与 OC 交于点 ( ? ,0) 。 2 t ?地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形, 1 t 1 t 1 1 面积 S ? (2 ? ? ? 2 ? ) ? 2 ? 4 ? t ? ? 4 ? (t ? ) ? 2 , 2 2 t 2 t t
即 y ? ?2tx ? t ? 2 ,令 y ? 2 得 x ?
2

等号 t ? 1 , S max ? 2 。 ??????????????14 分 18、

解:(Ⅰ )设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则由题意知 c ? 1 , a 2 b2
6

又∵ AF ? FB ? 1, 即 (a ? c)( a ? c) ? 1 ? a ? c ,? a ? 2.
2 2 2

∴ b ? a ? c ? 1,
2 2 2

故椭圆的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ????????????????????.4 分 2

(II)①设 M ( xM , yM ) , N ( xN , y N ) , P( xP , yP ) , Q( xQ , yQ ) 则由题意 |MP| +| NQ| =| NP| +|MQ| 即

???? 2 ???? 2 ??? 2 ???? 2 ? ?

( xM ? xP )2 ? ( yM ? yP )2 ? ( xN ? xQ )2 ? ( yN ? yQ )2 ? ( xN ? xP )2 ? ( yN ? yP )2 ? ( xM ? xQ )2 ? ( yM ? yQ )2
xN xP ? xM xQ ? xM xP ? xN xQ ? yN yP ? yM yQ ? yM yP ? yN yQ ? 0

整理得

即 ( xN ? xM )( xP ? xQ ) ? ( yN ? yM )( yP ? yQ ) ? 0

? l1 ? l2
(注: 证明 l1 ? l 2 ,用几何法同样得分)>????????????????10 分 ②( a )若直线 l1 ,l2 中有一条斜率不 存在,不妨设 l 2 的斜率不存在,则可得 l 2 ? x 轴, ∴

MN ? 2 2 , PQ ? 2 ,

故四边形 MPNQ 的面积 S ?

1 1 PQ MN ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 2

( b )若直线 l1 , l2 的斜率存在,设直线 l1 : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

? x2 2 ? ? y ?1 则由 ? 2 ? y ? k ( x ? 1) ?

可得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0
2 2 2 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 2k 2 ? 1 2k ? 1

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1? k 2 ( ? 4 k 2 2 4(2k 2 ? 2) ) ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
???????12 分

2 2(1 ? k 2 ) 2k 2 ? 1

7

2 2(1 ? k 2 ) 同理可求得 |PQ|= 2 ? k2
故四边形 MPNQ 的面积:

????????????14 分

1 1 2 2(1 ? k 2 ) 2 2(1 ? k 2 ) | PQ || MN |? ? ? 2 2 2k 2 ? 1 2 ? k2 4 16 ? ? 1 9 2? 1 2 k ? 2 ?2 k S?
当且仅当 k ? ?1 时取等号 综上:四边形 MPNQ 的面积 S 的最小值为

16 ???????????16 分 9

19、(Ⅰ)证明: ?

? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ? an ?3 ? ?an 又 an ? 6 ? ?an ? 3 ? an , ? a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ?1

所以 { a n } 是周期为 6 的周期数列,

an ? 3 ? ?an ? an ? 3 ? an ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 0 .
所以 S 2013 ? 335 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ) ? a1 ? a2 ? a3 ? 2b .………5 分 (Ⅱ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ,又 4 S1 ? ( a1 ? 1) 得 a1 ? 1 .
2

当 n ? 2 时, 4an ? 4S n ? 4S n?1 ? (an ? 1) ? (an?1 ? 1) ? (an ? 1) ? (an?1 ? 1) ,
2 2 2 2

即 an ? an?1 ? 2 或 an ? ?an?1 (n ? 2) .①由 an ? 0 有 an ? an?1 ? 2 (n ? 2) ,则 { an } 为等 差数列,即 an ? 2n ? 1 , 由于对任意的 n 都有 an ? m ? an ,所以 { an } 不是周期数列. ②由 an an ?1 ? 0 有 an ? ?an?1 (n ? 2) ,数列 { a n } 为等比数列,即 an ? (?1) 存在 m ? 2 使得 an ? 2 ? an 对任意 n ? N 都成立, 即当 an an ?1 ? 0 时 { a n } 是周期为 2 的周期数列. …………………..…………..10 分 (Ⅲ)假设存在 p, q ,满足题设. 于是 ?
?
n ?1



? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ? 1 ? an ? 3 ? an ? 2 又 an ? 6 ? an ? 3 ? 2 即 an ?6 ? an , a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ?

所以 { a n } 是周期为 6 的周期数列, { a n } 的前 6 项分别为 2,3,2,0,?1,0 ,

( n ? 6k ) ? n ? n ? 1( n ? 1或6k ? 1) ? ? 则 Sn ? ? (k ?N ) , n ? 3( n ? 2或6k ? 2) ? ? n ? 4( n ? 6k-3) ? n S 当 n ? 6k 时, (?1) n ? 1 , n 3 5 n S n S 当 n ? 2或6k ? 2 时, (?1) n ? 1 ? ? 1 ? (?1) n ? , n n n 2
8

Sn 1 S ? ?1 ? ? ?2 ? (?1) n n ? ?1 , n n n Sn 4 7 Sn 当 n ? 6k ? 3 时, (?1) n ? ?1 ? ? ? ? (?1) n ? ?1 , n n 3 n 7 S 5 所以 ? ? (?1) n n ? , 3 n 2 S 7 5 为使 p ? (?1)n n ? q 恒成立,只要 p ? ? , q ? 即可, n 3 2 7 5 综上,假设存在 p, q ,满足题设, p ? ? , q ? .…………………..…..16 分 3 2
当 n ? 1或6k ? 1 时, (?1) n 20、 解: (I)因为 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

而 h( x ) ?

当 h ( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h ( x ) 不是增函数时, h ? 0 综上,得 h ? 0 ???????????????????4 分

(Ⅱ) 因为 f ( x ) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? = , a a?b?c a?b?c 4a , a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c

所以 f (a ) ? d ?

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 2d ? t ?

4(a ? b ? c) ? 4, 所以 2d ? t ? 4 ? 0 a?b?c

因为

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, 而 0 ? a ? b , a b ab

所以 d ? 0 ,所以 d (2d ? t ? 4) ? 0 ???????10 分 (Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立,
9

?

?

我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 ,记 因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 所以当 x ? x0 时,
f ( x0 ) ?m?0 x02

f ( x) 是增函数. x2

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x ) ? mx 2 x2 x02

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这与 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立矛盾, f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立, 所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解, 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,
f ( x) 是增函数 x2 f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 一定存在 x3 ? x2 ? 0 , x32 x22

则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x) ?? , x x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

所以 M 的最小值 为 0 ?????????????????????????16 分

10


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