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湖北省黄石市有色第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


2015--2016 学年度下学期有色一中期中考试文科数学试卷(高二)
命题人 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? ,集合 A ? ?2,3,5,6? ,集合 B ? ?1,3,4,6,7? , 则集合 A

?(

C B) ?
U





A

?3, 6?

B ?2,5?

C

?2,5,6?


D ?2,3,5,6,8?

2.已知 i 为虚数单位,则复数

2i = ( 1? i

A. 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i 3. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用茎叶图 表示,如图,则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为( ) A 20、18 B 13、19 C 19、13 D18、20
开始

输入正整数P,Q Q=0? 是

否 R为P除以Q的余数 P=Q 输出P 结束

4.执行如图所示的程序框图,如果输入 P=153,Q=63, 则输出的 P 的值是( ) A. 2 B. 3 C. 9 D. 27

Q=R

b ?a ? b 5、.已知非零平面向量 a ? b , “ a?
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

”是“ a ? b ”的(



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 3a cos B ? b sin A ? 0 ,则 B ? ( A.

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6
)

7. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 1(n ? N? ) ,则 a5 ? ( A. ?16 B. 16 C. 31 D. 32

8. 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线的离心率 e ?

6 , 其焦点到渐近线的距离为 1, 2
1

则此双曲线的方程为( A.

) C.

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 B. ? ?1 2 2 3

x2 ? y2 ? 1 4

D. x 2 ? y 2 ? 1

9.下列四种说法中,正确的个数有( ) ① 命题“ ? x ? R ,均有 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的否定是: “ ?x0 ? R ,使得 ; x0 ? 3 x0 ? 2 ? 0 ”
m ② ?m ? R ,使 f ? x ? ? mx
2

2

?2m

是幂函数,且在 (0,? ?) 上是单调递增;

③ 不过原点 (0,0) 的直线方程都可以表示成

x y ? ?1; a b

④ 回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 ? =1.23x+0.08 y A 3个 B 2个 C. 1 个 D. 0 个 10.抛物线 y 2 ? 2nx ( n <0)与双曲线 轨迹是( ) B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.直线的一部分

x2 y 2 ? ? 1 有一个相同的焦点,则动点 ? m, n? 的 4 m2

A.椭圆的一部分

11.设椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 e = ,右焦点为 F ? c,0? ,方程 2 2 a b
)

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1, 和 x2 ,则点 P ? x1, x2 ? (
A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 D.以上三种情形都有可能

12. 在平面直角坐标系中,点 P 是直线 l : x ? ?1 上一动点,点 F(1,0),点 Q 为 PF 的中点,点 M
2 满足 MQ ? PF 且 MP ? ? OF ,过点 M 作圆 ? x ? 3? ? y ? 2 的切线,切点分别 A,B,则|AB| 2

????
)

??? ?

的最小值为(

A. 3

B.

3 2

C.

6 2

D.

6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上 13. 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,则此双曲线的渐近线方程为 m


14.

设曲线

f ( x) ? 2ax3 ? a 在点 ?1, a ? 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则实数 a 的值为

2

? y ? 0, 15. 设 x, y 满足约束条件 ? y ? x, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是________; 使 z ? ?2 x ? y ? 3 ? 0, ?

取得最大值时的点 ( x, y ) 的坐标是________。
? 1 x 3 ( ) ? , x ? 2, 则 f ( f (2)) 的值为 ;函数 g ( x) ? f ( x ) ? k 恰有 16. 已知函数 f ( x) ? ? 4 ? 2 ? ? log 2 x, 0 ? x ? 2,

两个零点,则实数 k 的取值范围是 . 三、解答题:共 70 分.解答应 写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)经过双曲线 x ?
2

y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 的弦 AB, 6 3

求(1)线段 AB 的长 ; (2)设 F2 为右焦点,求 ?F2 AB 的周长 18. (本题满分 12 分) 某数学教师对所任教的两个班级各抽取 20 名学生进行测试, 分数分布如右表: (Ⅰ)若成绩 120 分以上(含 120 分)为优秀,求从乙班参 加测试的 90 分以上(含 90 分)的同学中, 随机任取 2 名同学,恰有 1 人为优秀的概率; (Ⅱ) 根据以上数据完成下面的 2 × 2 列联表: 在犯错概率 小于 0.1 的前提下,你是否有足够的把握认为学生的数学成 绩是否优秀与班级有关系? 其 K2 ? 分数区间 甲班频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 乙班频率 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1

[0,30) [30,60)

[60,90) [90,120)
[120,150]

n ? ad ? bc ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2

n ? a?b?c?d

P P??K K22≥ ? ?k k00?
优秀 甲班 乙班 总计

k0

2.072 0.15

2.706 0.10

3.841 0.05

5.024 0.025

6.635 0.010

7.879 0.005

10.828 0.001

不优秀

总计

19. ( 本小题满分 10 分已知曲线 C 的极坐标 方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是

? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ?
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值
3

1 20. (本小题满分 12 分)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ +b(a>0). ax (1)求 f(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2 21. (本小题共 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(2,0) ,离心率 e ? ,斜率为 k (0 ? k ? 1) 直 2 2 a b

线 l 过点 M(0,2) ,与椭圆 C 交于 G,H 两点(G 在 M,H 之间) ,与 x 轴交于点 B. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)P 为 x 轴上不同于点 B 的一点,Q 为线段 GH 的中 点,设△HPG 的面积为 S1 ,△BPQ 面积为 S2 ,求 取值范围. 22. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 1 ? e x , a ? R . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 时取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间.
y G H B Q P O A x M

S1 的 S2

?

?

4

2015-2016 学年度下学期有色一中期中考试文科数学试卷(高二) 答案 1.-5BACCC,6-10 CBABB。11-12AD 13. y ? ?

1 x 2

14.

1 3

17.解: (1) 、 F1 ?? 2,0? 则直线 AB : y ?

?3 ? ,0? ?2 ? ? 3 k ? tan ? 6 3
15. 3, ?

16 0

?3 ? ? ,1? ?4 ?

设 A?x1 y1 ? B?x2 y 2 ?

3 ?x ? 2? 代入 3x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 整理得 8x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 3 ? ?3 8
6分

由距离公式 AB ? 1 ? k 2 (2) 、

F2 A ? 2 x1 ? 1, F2 B ? 1 ? 2 x2

? F2 A ? F2 B ? 2?x1 ? x2 ? ? 2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
12 分

? 2?

3 3 ?3 3 2

? ?F2 AB的周长L ? 3 ? 3 3

18.解: (I)乙班参加测试的 90 分以上的同学有 6 人,记为 A、B、C、D、E、F. 成绩优秀的记为 A、B. 从这六名学生随机抽取两名的基本事件有: {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E}, {B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F}共 15 个??3 分 设事件 G 表示恰有一位学生成绩优秀,符合要求的事件有{A,C},{A,D}, {A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}共 8 个????5 分 所以 P (G ) ? (II) ????8 分

8 ????6 分 15

k?

40 ? (4 ? 18 ? 2 ? 16) ? 0.7843? 2.706 ????10 分 6 ? 34 ? 20 ? 20
2

在犯错概率小于 0.1 的前提下, 没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级 有关系.????12 分 19.解: (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2? sin ? 又 x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,[ 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 。 。 。 。 。 。 。 。 5分 (Ⅱ)将直 线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1,则 MC ? 5 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 20. 解析: (1)f(x)=ax+ 1 +b≥2 ax 1 ax· +b=b+2, ax
5

? 1? 当且仅当 ax=1?x= ?时,f(x)取得最小值为 b+2. ? a?
3 1 3 (2)由题意得:f(1)= ?a+ +b= , ① 2 a 2 1 1 3 f′(x)=a- ? f′(1)=a- = , ax2 a 2 21. (本小题共 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2 , ???? 1 分
G y M



由①②得: a=2,b=-1.

c 1 e? ? a 2 ,所以 c ? 1 , 又
即b ? 3 ,

????2 分 ?????3 分
B

H

Q P O A x

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 C 的标准方程为 4 .???4 分
(Ⅱ) 设

G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ? 2 . ?5 分

? y ? kx ? 2 ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 ? 3 由? 4 得: (3 ? 4k ) x ? 16kx ? 4 ? 0 ??6 分
x1 ? x2 ? ?16k 4 12 , x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k , 3 ? 4k 2

所以

Q(?


8k 6 , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
?k2 ? 1 1 k? 4 ,即 2.

?????7 分

2 ∵ ? ? 16(12k ? 3) ? 0,

1 ? k ?1 因为 0 ? k ? 1 ,所以 2 .

?????8 分



S1 S?PGH | GH | ? ? S2 S?PBQ | BQ |



6 1? k 2 2 8k ?6 | BQ |? (? ? 2 )2 ? ( 2 )2 ? (4k 2 ? 3)k , ??9 分 k 4k ? 3 4k ? 3 而

6

| GH |? 1 ? k 2

4 12k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ,

?????10 分

S1 | GH | 2 3 ? ? 4k 4 ? k 2 S2 | BQ | 3 ,
1 ? ? k2 ?1 4
1 t ? k 2 , ( ? t ? 1) 4 设

??11 分

S1 2 3 S ? 4t 2 ? t ,? 1 ? ? 0,2? S2 3 S2 .
22 本小题共 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? e x . x ? R 依题意得 f ?(1) ? (3a ? 1) ? e = 0 ,解得 a ?

?????12 分

?

?

????????2 分 ???4 分

1 . 经检验符合题意. 3
2

(Ⅱ) f ?( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? e x ,设 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 , (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?e , f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上为单调减函数. ??5 分
x

?

?

(2)当 a ? 0 时,方程 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 = 0 的判别式为 ? ? 4a 2 ? 4a ,
2

令 ? ? 0 , 解得 a ? 0 (舍去)或 a ? ?1 . 1 ° 当

a ? ?1





g ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1) 2 ? 0





f ?( x) ? ? ax2 ? 2 ax ? 1? ? ex ? 0,
且 f ?( x) 在 x ? ?1 两侧同号,仅在 x ? ?1 时等于 0 ,则 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上为单调减函 数.?8 分 2°当 ?1 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,
2

即 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上为单调减函数. 3° a ? ?1 时, ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ,令 g ( x) ? 0 , 方 程 ax 2 ? 2 ax ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根

?????10 分

x1 ? ?1 ?

a2 ? a , a

a2 ? a x2 ? ?1 ? , a
7

a2 ? a a2 ? a a2 ? a ? ?1 ? 作差可知 ?1 ? ,则当 x ? ?1 ? 时, g ( x) ? 0 , a a a
f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 在 (??, ?1 ?

a2 ? a a2 ? a a2 ? a ) 上为单调减函数; ? x ? ?1 ? 当 ?1 ? a a a a2 ? a a2 ? a , ?1 ? ) 上为单调增函 a a

时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1 ? 数;

a2 ? a a2 ? a ? , ??) 上为 当 x ? ?1 ? 时, g ( x) ? 0 , f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1 ? a a
单调减函数. ?13 分 综上所述,当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 ? ??, ?? ? ;当 a ? ?1 时, 函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ?1 ?

a2 ? a a2 ? a ) , (?1 ? , ??) ,函数 f ( x) a a
???????12 分

a2 ? a a2 ? a , ?1 ? ). 的单调增区间为 (?1 ? a a

8


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