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高中数学函数单调性在解题中的巧妙应用


5数理化解题研究 6 20 1 3 年第 8 期(臼巾)

数学篇

建嫩

高中数学函数 单调性在解题 中的巧妙应用
吉林省 白城 市镇妾县 第一 中学 (1 3 7 3 0 ) 刘海武 .

在高中数学中 , 常常会涉及到对函数单调性的研究 , 和 对函数单调区间的考察 , 函数单调性这一方面的内容 , 成为
函数 问题 考察 中的重 中之重 , 甚 至 在方 程 有 解 求参 数 的 范

三个步骤 , 第一 , 在单调区间的划分上设定存在两个任意值 x , , 气;第二 , 比较 八x ) 和入x ) 的大小 ; 第三 , 标注区间 , 根据 函数 的单调性定义 , 下 结论.
(2 ) 研究 函数单 调性 时 可 以用 导数 知识 的理 论来 进行 解题 : 如果定 f ( : ) 在 区间 D 内可导 , 如果f .( x ) = O , 那么 f ( 二) 是常 函数.如果了 . ( : ) > 0 , 则有了( x ) 为增

围和不等式恒成立求参数等方面的问题 , 也可 以通过对其 进行的转化 , 利用函数的单调性进行解答. 函数单调性还可
以对一些特殊的不等式进行解答 , 但是 , 熟练地掌握函数单 调性是解决这些问题的一个必要前提. 这就需要高中数学 教师在进行 日 常教学 内容 的同时 , 对 函数的求解方法的讲 解不能太过单一, 要有针对性地灵 活运用函数单调性的定
义 , 巧妙 地运用各 种 方法 进行 习题 的解答 并 不是 很 容易 , 因

函数 ;如果f ( 二) < o , 那么了( 二) 为减函数 同理 , 设定 f ( x ) 在区间刀 内可导 , f ( x ) 在 刀上是减函数 , 则一定
有厂.( 二) 芝0. 若了( 二) 在 区间 D 内可导 , f ( x ) 在 D 上 是增 函数 , 则一定 有了 .( x ) 鑫0.根据对上述 导数知 识的研 究 , 可 导函数单 调性的解题 方式 就变成 了对f (x ) > 0 或 f .( x ) < 0 的研究 .可导 函数的解题 方法就 是求其导数 .导

此需要对函数单调性的解题方法进行系统性 的探究.本文 将通过具体的例子来分析 , 探究高中函数的解题方法. 一 !函数单调性定义在解题中的应用 (l ) 目前的高中函数的教材这样定义函数单调性 :假定 函数八劝 , (定义域)二 " S 有意义 , 任意两个 自变量x; , 气在 某个区间段 平(平 " S ) 内 , 并 且 : , > :: 时 , 则f ( 二 :) >
( 气) , 称 之为 f f ( 幻 在 区 间段 W 是 严格 单 调 递增 的. 相反 ,

数求出来了 , 那么函数的单调性问题就会变得很简单 了.在 处理复杂的高次函数 ! 含参数函数等问题时 , 对于其单调性
的问题的解答 就可 以手到擒 来 了.

(3 ) 在运用复合 函数 来进行 求解 时 , 需要先 知道复合 函

数单调性的复合法则. 内 !外 函数单调性相反 时 , 复合之后
为减 函数 ;内 ! 外 函数 单调性 一致 时 , 复 合 之后 为增 函数.在

( x:) < f f ( 气) , 称之为f ( 幻 在区间段 平是严格的单调递减

的.在对 函数单调性 的研究 中 , 一定要对单调 区间进行说
明 , 不然 就没有任何 的意 义.

具体的复合函数解题过程 中 , 可将复合函数常见的基本函
数分解成 为内 ! 外 两 函数 , 并 分 别 对 其单 调性 进行 研 究 , 便 可快速地得 出复合 函数 的单调性 .

(2 ) 函数单调性定义的运用. 假设函数f ( x )

二 /八 (a

> O) , 试判断该函数的单调性 , 并写出其单调区间. 解 :由题意可得出J ( x ) 的定义域为 x 尹O 也就是定义
域为 :( 一a o ,0 ) u (0 , + . ).设 在 区间( 一o o ,0 ) 内存在 x, !

(4) 当学生将各种基本函数的具体图象熟练地掌握了 之后 , 就可以直接通过对 函数图象 的分析 , 解决函数单调性 的问题 , 并且可以通过对 函数图象的变化 , 从而直接地观察
出函数 的单 调性.函数 图象的对 称 性 , 是学 生解 题 的一个 突 破 口, 可 以利用两 个 函数 的对 称 性 和 函数 自 身 的对称 性 来
研究 函数 的单 调性.总 之需要认 真观察熟 练掌握.

气两个任意值 , 二 , > 气 , 设f ( ::) 一 式xZ) 二 / 八, 一 /八: 二
" (介 一 x ;)八, 气 , 而 x, 气 > o , ! 一 二 , < 0 , 则f ( x:) 一 ( x2) < f o , 可得 出f ( :, ) < f ( 二 2) 了 (幻 在 区间段 (0 , + a o ) 内严格单
调递 减的.同理 了 (劝 在 区间段 (0 , + a o ) 内是严 格单 调递 减 的. 二 !函数单调 性 的不 同解 题 方法

通过对历 年来数 学高 考 试 卷 的分 析 可 知 , 有关 函数 的 考查 比例有增 无减. 而 对 高 中数 学 函 数单 调 性 方面 的 内容 的考查 , 在高考 数 学 中屡 见 不 鲜 . 有 考 查 函数 的单 调 区 间 的 , 有 直接对 函数 的单调 性进行 考 查 的 , 还 有对 分段 函数 的 "最值和极值进 行考查 的等 .高 考试 题 灵活 多变 , 因此 在其 教 学过程 中 , 教师 也一定 要对 函数单 调 性进 行 注重 , 从 而不 断 地对学生 的解 题能力 进行 提升.

函数单 调性 定义 研究 ! 导 数 研究 ! 复 合 函数 研 究 !图象 研究是 高 中函数单调 性 的 主要 研 究 方法 .下 面将 结合 具 体 的实 例 , 利用 这 四种方法进行 解题 分析, (1 ) 研究 函数单调 性 的定 义可知 :在 函数解题 中往往分



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