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3[1].2.1立体几何中的向量方法二:空间距离


3.2 立体几何中的向量方法
——距离问题

1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为 向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间夹角和距离等问题; (进行向量运算) (回到图形 (

3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题)

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则

一、两点间距离:

AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )
2 2

2

?

a ?

?2

a

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
点P与平面α的距离为d , 则
??? ? ? ??? ? ??? ? ? | AP ? u | ? d =| AP | ? |cos ? AP , u? |= ?? . |u|

二、点到平面的距离:

? u

?P

d

?

A?

?O

例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为
1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离.

解1 等体积法

VB1 ? A1BE ? VE ? A1BB1
D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

B

例 1. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长
为1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离. ??? ? ??? ? 1 解2: 建立坐标系. A1E =(-1, ,0),A1B =(0,1,-1) 2 ? 设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量
? ???? ? ? ? ?u ?A1E = 0, 由? ? ???? ? 得 u = (1,2,2) ? ?u ?A1B = 0,

z

D1
A1

E

C1

????? ? A1B1 = ?0,1,0 ?,
B1到面A1BE的距离为 ????? ? ? A1B1 ? n 2 d= = ? 3 n

B1
D
C

A

x

B

y

练习: 如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P D

N
C B

a 点 A 到平面 MNC 的距离为 . 2

M

A

2 线面距
例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
E为D1C1的中点,求D1C到面A1BE的距离. 解1:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离. 仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为
????? ? D1 A1 ? u 1 d? ? ? 3 u

z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

x

B

y

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求D1C到面A1BE的距离. 解2 等体积法

VD1 ? A1BE ? VB? A1D1E
A1

D1

E

C1

B1
D
C

A

B

3 面面距
例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
求面A1DB与面D1CB1的距离. 解1:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离
平面A1 BD的一个法向量为 ???? ? ????? AC1 ? ( ?1,1,1), 且 D1 A1 ? (1, 0, 0)
????? ???? ? D1 A1 ? AC1 3 d? ? ???? ? 3 AC1

z
D1
A1

C1

B1
D
C

x

A

B

y

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
点P与直线l的距离为d , 则

三、点到直线的距离:

??? ? ???? ? d ? AP sin ? AP, a ?

? a



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为

1,E为D1C1的中点,求点E到直线A1B的距离. ??? ? ??? ? 1 解2: 建立坐标系. A1E =(-1, ,0),A 1B =(0,1,-1) 2 ???? ???? 1 cos ? A1E , A1B ?? 10 ???? ???? 3 E D1 sin ? A1E, A1B ?? C1 10 B1 点E到直线A1B的距离为 A1

z

???? ???? ???? 3 d ? A1 E sin ? A1E , A1B ?? 2 4

D
A

C

x

B

y

四、异面直线间的距离
b

已知a,b是异面直线,n为?的 法向量

? n
?
a

C

CD为a,b的公垂线

D

四、异面直线间的距离
方法指导:①作直线a、b的 方向向量a、b,求a、b法 向量n,即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量; ②在直线a、b上各取一点 A、B,作向量AB; ③求向量AB在n上的射影 d,则异面直线a、b间的距 离为

a M

A

n

?

N

B

b

d ? AB ? cos ? AB, n ? ?

AB ? n n

例1. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长 为1,E为D1C1的中点,求异面直线D1B与A1E的距离.
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 ???? ? ???? ? 1 ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? 2 ? ? ? ???? ? ???? ? 设n ? (1, y, z)与A1 E, D1B都垂直 ? ???? ? ? ? D ? n ? A1 E ? 0, 1 得 n ? (1, 2, 3) 由 ? ? ???? ? ? ? n ? D1 B ? 0, A

z

E

C1

????? D1 A1 ? ?1,0,0? ,

1

B1
C

A1 E与BD1的距离为 ????? ? D1 A1 ? n 14 d? ? ? 14 n

D
A

x

B

y

例2.已知:直三棱柱ABC ? A1B1C1的侧棱AA1 ? 4, 底面?ABC中,

AC ? BC ? 2, ?BCA ? 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解:如图建立坐标系C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), z C ? ? ? 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 A ? B ? x ? y ? 0 n ? CE ? 0 即 ? ? ? 2x ? 2 y ? 4z ? 0 n ? AB ? 0
1 1 1

? 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

1

C

? 在两直线上各取点C , A,? C A ? (1,0,0). ? ? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

A

B

x

E

y

小结:
1、怎样利用向量求距离? ①点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影(如果不知道判断方向, 可取其射影的绝对值)。 ②点到直线的距离:求出垂线段的向量的模。 ③直线到平面的距离:可以转化为点到平面的距离。 ④平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。 ⑤异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。

综合问题

例 如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 解:设AB ? AA1 ? AD ? 1 ,?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?

AC1 ? AB ? AD ? AA1
AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 )2
? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )
2 2 2

2

? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos60? ? cos60? ? cos60?)
?6
所以 | AC1 |? 6 答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
A D1 C1
B1

A1

D
图1

C
B

例3

如图,一块均匀的正三 角形面的钢板的

质量为500kg,在它的顶点处分别受 力F1 , F2 , F3 , 每个力与同它相邻的三 角形的两边之间的角都 是60 ,且 F1 ? F2 ? F3 ? 200kg.这块钢板在这些
?

力的作用下将会怎样运 动?这三个力最小为多 少 时,才能提起这块钢板 ?
F1
O

F3
C

F2
B

A
500kg

解:如图,以点 A为原点,平面 ABC为xAy坐标

平面, AB方向为y轴正方向, AB 为y轴的单位长度 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0),C (? , ,0). 2 2 z
F1
O A
x 500kg

F3
C

F2
B

y

例4: 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点 ,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小.

P F
D A

E

C B

练习1:如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点 , CA ? CB ? CD ? BD ? 2 AB ? AD ? 2 (I)求证:AO⊥平面BCD; (II)求异面直线AB与CD所成角的大小; (III)求点E到平面ACD的距离.
A

D O B E C

解:(I)略 (II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0), D(?1,0,0),

??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ? , ? ??? ? z 4 BA CD A
所以异面直线AB与CD所成角的 余弦值为 2 . 4
O x B E C y

D

? (III)解:设平面ACD的法向量为 n ? ( x, y, z), 则 ? ???? ? ? ? x ? z ? 0, ?n. AD ? ( x, y, z ).( ?1, 0, ?1) ? 0, ?? ? ? ???? ? ? 3 y ? z ? 0. ? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面ACD的一个法向量,又 ??? ? 1 3 EC ? (? , , 0), z 2 2 A 所以点E到平面ACD的距离

??? ?? EC.n 3 21 h? ? ? ? . 7 7 n
x B

D O E C y

练习2:
如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B-AS-O的余弦值.
z
S

O C A B

y

x

z 如图,已知:直角梯形OABC中, S OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线SA和OB所成的 O 角的余弦值;
A B

C

y

x

??? ? ??? ? ??? ? (1)解:以OAOC , , OS为正交基底建立空间直角坐标系如图。
则O(0, 0,, 0) S (0, 0,, 1) A(2, 0,, 0) B(11 , , 0) ??? ??? ? SA ? (2, 0, ?1), OB ? (11 , , 0) ??? ??? ? 2?0?0 10 ? cos SAOB , ? ? 5 5? 2

如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, z 且OS=OC=BC=1,OA=2. S 求:(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ;
??? ??? (2)解: SA ? (2, 0, ?1), SB ? (11 , , ?1) O ? 设平面SAB的一个法向量为n ? ( x,y,z) A ?2 x ? z ? 0 ?? 取x ? 1,则y ? 1,z ? 2 ?x ? y ? z ? 0 x ??? ? ? 故平面SAB的一个法向量为n ? (11 , ,,又 2) OS ? (0, 01) , ? ??? ? 0?0?2 6 ? cos n, OS ? ? 3 1? 6 3 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 3
C B

y

如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, z 且OS=OC=BC=1,OA=2. S 求:(3)二面角B-AS-O的余弦值.
? 解:由(2)知平面SAB的一个法向量为n ? (11 , ,, 2)
O

??? ? 又由OC ? 平面SAO知OC是平面SAO的法向量 A ??? ? 且OC ? (01 , , 0)

C
B

y

6 ? ???? 0 ? 1 ? 0 ? cos n, OC ? ? 6 6 ?1
6 所以二面角B-AS-O的余弦值为 6

x

练习3:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD 底面ABCD ? ,PD=DC,E是PC的 中点. (1)证明:PA//平面EDB; (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. z P y
E

C
G

B x

D

A

(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点 z ??? ? ???? ??? ? 以DA , DC, DP为正交基底建立空间 P

直角坐标系。如图所示。则

y

E

D(0, 0,, 0) P(0, 0,, 1) A(1, 0,, 0) ??? ? B C , 0, ?1) C (0, 1,, 0) B(11 , , 0) ? PA ? (1 1 1 G 又E为PC中点, ? E点坐标为(0, , ) 2 2 D A ??? ? 1 1 1 1 G为BD中点, ? G点坐标为( , , 0) ? EG ? ( , 0, ? ) 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 可得PA ? 2EG ? PA // EG。因为PA与EG不共线,所以PA // EG
又PA ? 平面EDB,EG ? 平面EDB ? PA // 平面EDB

x

(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 ??? ? 解:因为PD ? 平面ABCD,所以PD是平面ABCD的法向量。

z 由(1)知D(0, 0,, 0) P(0, 0,, 1) P 1 1 B(11 , ,, 0) E (0, , ) E 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 ? PD ? (0, 0, ? 1), EB ? (1, , ? ) 2 2
1 D ??? ? ??? ? 0?0? 6 2 ? cos PD, EB ? ? 6 3 1? 2

y
C G

B

A

6 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 6 5 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 5

x


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