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高等数学在中学数学解题中的应用


摘 要
美国数学家哈尔莫斯认为,问题是数学的心脏。对于学校的数学教学 来说,问题也是它的心脏。在数学教学中, “解题”是一种最基本的活动形 式,无论是数学概念的形成,数学命题的掌握,数学方法与技能的获得, 还是学生能力的培养与发展,都要通过解题活动来完成。 “解题”也是评价 学生认知水平的重要手段。波利亚认为,掌握数学就意味着善于解题,解 题是智力的特殊成就,数学教学的本质在于使学生学会解数学题,数学教 师的首要责任是发展学生解决问题的能力。解题是中学数学教师的基本功 之一,也是高师数学专业学生专业素质的重要体现。 现在高师数学专业的许多学生在中学数学解题方面的能力普遍较低, 呈明显的下降趋势。分析其成因,主要原因是:(1)大学生对初等数学课程 不重视;(2)缺乏中学数学与高等数学的联系;(3)高校教师的教学方法欠 妥;(4)学生的主体意识不强。本文提出培养高师数学专业学生中学数学解 题能力可以从以下方面入手: (1)利用高等数学知识提高中学数学解题能 力;(2)控制学生初等数学知识的遗忘;(3)培养中学生自主学习能力;(4) 加强解题训练;(5)充分发挥高等数学对中学数学教师的作用。这些培养途 径对数学专业的师范生毕业后能尽快胜任中学数学教学的任务,对于进一 步反思和改革职前中学数学老师的培养方式和课程设置有现实意义和实践 价值。

关键词:高等数学,解题,中学数学,发展

Application of higher mathematics in middle school mathematics problem-solving

Abstract:American mathematician Hal moss thinks, the problem is
the heart of mathematics. For the school's mathematics teaching, the problem is the heart of it. In mathematics teaching, "problem solving" is one of the most basic forms of activities, whether the formation of mathematical concepts, mathematical proposition, mathematical method and the acquisition of skills, or student ability training and development, and should be done through the problem solving activity. "Problem solving" is also an important means of evaluating students' cognitive level. Polya thinks, to master mathematics means good at problem solving, problem solving is a special intellectual achievements, the essence of mathematics teaching is to make students learn to mathematical problem solving, mathematics teacher's primary responsibility is to develop students' ability to solve the problem. Problem solving is one of the middle school mathematics teachers' basic skills, also is the important of students' professional quality of mathematics in normal universities. Now many of the students of mathematics in normal universities in the middle school mathematics problem-solving ability is generally low, a significant decline in. Analysis of the causes, the main reason is: (1) do not take the college students of elementary mathematics curriculum; (2) the lack of secondary mathematics and advanced mathematics; (3) college teachers' teaching method is inappropriate; (4) the students' subject consciousness is not strong. This paper puts forward to cultivate students of mathematics in normal universities middle school mathematics problem-solving ability can from the following aspects: (1) the use of higher mathematics knowledge to improve middle school mathematics problem-solving ability; (2) to control the students of elementary mathematics knowledge forgotten; (3) train middle school students' autonomous learning ability; (4) strengthen the problem solving training; (5) give full play to the role of the higher mathematics for middle school mathematics teachers. The training methods of mathematics in mathematics teaching of middle school students after graduation can do as soon

as possible, for further reflection and reform preservice middle school math teacher training mode and curriculum has practical significance and practical value.

Key words: higher mathematics, problem solving, middle school mathematics, development

目 录
一、引 言 ..................................................... 1 二、高等数学与中学数学的关系 ................................... 1 (一)高等数学与中学数学的差异 ............................. 1 (二)高等数学与中学数学的联系 ............................. 2 1.高等数学与中学数学在知识方面上的衔接 .................. 2 2.高等数学与中学数学在思想方面上的衔接 .................. 2 三、关于中学数学学习方式如何向高等数学学习方式转变 ............. 3 (一)为什么中学数学的学习方式要向高等数学的学习方式转变 ... 3 (二)中学数学的学习方式向高等数学的学习方式转变的具体方法 . 4 1.转变中学数学教师的传统观念 ............................ 4 2.转变中学生的学习方式 .................................. 5 四、高等数学在中学数学解题中的应用举例 ......................... 5 (一)极限在中学数学解题中的作用 ........................... 5 1.极限的思想在中学数学渗透的必要性 ...................... 5 2.将极限思想引入课堂对中学生学习数学的好处 .............. 5 3.极限思想方法在求曲边梯形面积的应用 .................... 6 (二)柯西—施瓦兹不等式在中学数学解题中的作用 ............. 6 (三)矩阵在中学数学解题中的作用 ........................... 7 (四)拉格朗日中值定理在中学数学解题中的作用 ............... 8 五、关于中学的数学教学和学习的针对性建议 ...................... 10 (一)教师方面—高屋建瓴、有效教学 ........................ 10 (二)学生方面—探究学习、提高素养 ........................ 11 1.重视教材,养成预习习惯 ............................... 12 2.积极参与,培养质疑习惯 ............................... 12 3.勇于尝试,提高探究能力 ............................... 12 六、结束语 .................................................... 13

七、致谢 ...................................... 错误!未定义书签。 参考文献 ...................................................... 14

一、引



近些年来各大高等师范院校数学系的很多大学生对学习高等数学存在 一些看法, 如 “现在所学的高等数学似乎与初等数学本质上没有多大联系” , “高等数学对今后成为中学数学教师作用不大”,更有甚者提出 “高等数学 在中学教学里根本用不上”等等。这些看法正如著名数学家克莱因早已指 出的那样“大学新生一入学就发现他面对的高等数学问题好像和中学里学 过初等数学知识一点联系也没有似的,但是毕业以后当了老师,他们又突 然发现要他们按老师的教法来教传统的初等数学,却又因为缺乏指导,使 他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系,于是很快坠 入相沿成习的教学方法, 而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆,
[1] 却对他们从事的中学教学毫无影响” 。 然而现在在新的中学数学教材中已

经出现了一些基础的高等数学知识, 这可以说是数学发展的一种必然趋势, 所以现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和 教材改革。所以高等数学知识在开阔学子视野,指导初等数学解题,指导 初等数学教学,对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了。本 文针对这种情况探讨了一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用。

二、高等数学与中学数学的关系
(一)高等数学与中学数学的差异
初等数学主要包括两部分:几何学和代数学。几何学是研究空间形式 的学科,而代数学是研究数量关系的学科。初等数学基本都是常量数学且 比较直观简单易懂。 高等数学是几门课程的总称。其中非欧几何、抽象代数、集合论、拓 扑学、泛函分析、数理逻辑、数学基础等都是高等数学的内容。是理工科 院校一门重要的基础科目。高等数学有其固有的特点,它具有高度的抽象 性,严密的逻辑性和广泛的应用行。抽象性是数学最基本和最显著的特点, 有了高度的抽象和统一,我们才能深入揭示其本质规律,才能使之得到更 广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中,无论是概念 和表述,还是判断和推理,都要运用逻辑的规则,遵循思维的规律。
1

(二)高等数学与中学数学的联系
高等数学是在初等数学的基础上建立起来的宏伟大厦,而初等数学却 是高等数学的基石。作为学习和研究数学的步骤,无疑应该是先学习和掌 握初等数学,然后才能学习和应用高等数学。并且,学习高等数学能加深 对初等数学的理解和掌握,可以开阔思路,提高数学修养和解决问题的能 力。但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接,使不少大一 新生一接触到“数学分析”、 “高等代数”等等的一些数学课程时,就对数 学专业课产生了畏难、抵触情绪。造成高等数学理论与中学教学严重脱节, 许多大学师范毕业生对如何运用高等数学理论指导中学数学教学感到迷 茫、毫无头绪。 1.高等数学与中学数学在知识方面上的衔接 高等数学在知识内容上可以说是初等数学的继续和提高。在学习高等 数学课程时,是以初等数学为基础,初等数学知识我们中学已学过,比如, 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本性质和运算,平面解析几 何中常见曲线方程、 图形、 不等式的性质等内容, 对学生来说也比较熟悉, 而在学习高等数学时又经常用到这些初等数学知识,这些问题在高等数学 课堂上可以只做简单复习。也有些初等数学知识在高等数学中没有涉及或 者涉及的角度和侧重点不同,在讲解这些内容时,不能以为学生在中学已 经掌握就轻描淡写或一带而过,避免在高等数学与中学数学之间形成“空 白”地带,从而造成高等数学与初等数学在某些知识内容上的脱节。比如, 极坐标系的建立,常见函数的极坐标方程等知识在中学课程中完全没有涉 及,而高等数学中的积分运算和积分应用问题有许多都是以此为基础,如 果不补充讲解,学生在学习这部分内容时就不能顺利过关。再比如中学已 开始学习极限、导数、积分、向量的概念及计算,但仅仅是侧重于简单计 算。到了大学还要学习这些内容,却侧重于基本概念的理解以及在实际问 题中的具体应用,在教学中一定要讲楚它们的不同要求,特别注意中学数 学内容和高等数学内容的衔接关系,避免教学过程中知识内容的重复和脱 节,帮助学生渡过学习上的难关。 2.高等数学与中学数学在思想方面上的衔接 高等数学的思想方法是中学数学的思想方法的延袭和扩张。高等数学 与中学数学虽在知识深度上有较大差异,但产生知识的思想方法却是一脉 相承的,只是中学数学的知识浅显,内容较少,较为基础,对数学思想方
2

法的巨大作用体现不深而已。中学数学教学过分重视数学的技能训练、解 题技巧、公式推导、定理证明等表层知识的教学,属于应试教学,忽视教 学内容中所蕴涵的数学思想、方法和数学的精神,忽视了数学的本质特征, 因而多数学生的学习处于死记硬背,生搬硬套运用教师所灌输的知识的状 态,对知识的背景、来龙去脉、彼此间的关系没有精力去理解消化,本该 掌握的数学思想方法没有掌握,本该形成的数学能力没有形成,只是为了 应付高考而大搞题海战术。虽然有些学生获得了高分,迈进了大学,但当 走向社会时却出现高分低能的普遍社会现象。 然而在高等数学教学中应强化数学思想、方法的教学,使学生在获得 数学知识的同时领会数学的思想方法。 为此在教学中要精心设计教学内容, 采取多种形式的教学向学生渗透数学思想方法,给学生充分的独立思考、 归纳概括、数学交流的机会,使学生解决问题有方向,思考问题有思路, 处理问题有办法。事实上高等数学的教材内容反映的数学思想方法是极其 丰富多样的,不胜枚举,而每一种思想方法的教学都是提高教学质量的重 要手段,为学生更好地学习高等数学起到重要的作用。比如,极限的思想 方法实现了数学由常量数学到变量数学的突破,即由初等数学到高等数学 的突破。为此要使学生由初等数学学习过渡到高等数学的学习,必须把数 学的极限的思想方法的教学放在首位[2]。 在教学中先介绍极限概念的发展历史,再结合几何直观图形讲清极限 的描述性定义,最后概括出极限的精确化定义,揭示极限的发生及形成过 程,使学生深刻理解极限的思想方法及其应用。实践表明,学生对极限的 思想方法理解好了,对学习导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分、 级数等定义、计算方法及其应用都有很大帮助。

三、 关于中学数学学习方式如何向高等数学学习方式转 变
(一)为什么中学数学的学习方式要向高等数学的学习方式 转变
迫于升学的压力, 以及教学任务的繁重, 在中学的数学教学课堂上 “满 堂灌”现象仍然十分突出,中学生将大量的精力应付在大量的练习与频繁 的测试上,造成学生没有充足的自由学习时间,在很大程上说,教师的教
3

学方式还影响、制约着学生的学习方式,学生的学习活动还处于接受、记 忆、模仿和练习,缺乏主动探索和主动参与。学生依然围着教师的指挥棒 转,学生的学习兴趣不浓,自学能力差。而大学阶段,高等数学的广泛性、 抽象性和实用性远远高于初等数学,这种知识面的放宽,抽象程度的加大 要求学生在学习过程必须会自主学习,这使刚入学的大一新生一时难以适 应。学生学习方式的转变需要通过教师的教学方式的转变才能得到落实。 陶行之先生说过“我认为好的先生不是教书,不是教学生,乃是教学生学”
[3]

, 教师要教会学生学习, 学生的学法源于教师的教法, 受制于教法。 因此,

在中学数学的课堂上,我们要改变传统的教学模式,向高等数学的学习方 法迈进。针对不同学习层次的学生介绍适合自身学习特点的学习方法,对 学生在学习中存在的问题,及时帮助解决,为学生可以自主学习带来可靠 保证。

(二)中学数学的学习方式向高等数学的学习方式转变的具 体方法
1.转变中学数学教师的传统观念 中学教学中不少概念、结论和方法由于受学生认知水平和接受能力的 限制,在中小学教材中都被简化处理,或以公式的形式给出,或通过个别 事例的分析、图形的观察作一般性的推理。中学数学教师处于长期接触这 些被简化处理的教学模式,形成了一种思维惰性和定性思维,总觉得自己 的数学能力足够教会学生,不愿意积极去思考和分析高等数学的问题,不 管数学内容的来龙去脉,久而久之,中学数学教师把大学学习的高等数学 知识渐渐淡忘,造成了中学数学教育只局限于中学数学学科本身的内容和 技能的教学,影响教师发展的广阔视野,忽视创新。 中学数学教师应转变固有的教学理念,发展自身的数学水平,重拾起 高等数学的武器,去武装自己,充实自己,完善自己,不要一味的去灌输 知识,要引导学生自主学习,要以学生为中心,学习不是由教师简单地把 知识传递给学生,而是由学生自己建构知识的过程。 教师应做到 “学生为中心,教师为主导” 。对教师提出了更高的要求, 教师必须具备足够的能力和教学技巧才能实现良好的教育氛围,这就要求 教师掌握具体的教学技巧(如讲授、讨论、合作学习等),并有足够的能力来 组织上课,调动学生的积极性,具备很强的引导能力和解决课堂问题的能 力。教师应该学会如何运用技巧去引导和激发,而不是支配学生的思维。
4

2.转变中学生的学习方式 首先要说明的是学习不是简单的信息积累,更重要的是它含新旧知识 经验的冲突,以及由此而引发的认知结构的重组。学习过程不是简单的信 息输入、存储和提取,是新旧知识经验之间的双向的相互作用过程,也就 是学习者与学习环境之间互动的过程,学生要学会主动建构或组织知识, 而不是简单地吸收从书本或教师处得到的知识。那么这就要求学生要做到 课前预习,了解所学数学知识发展历史,激发学生学习数学知识的兴趣, 课堂上积极发言,合作交流,课后巩固复习。让中学课堂拥有大学生课堂 的氛围,让学生发挥自主学习的潜在能力[4]。

四、高等数学在中学数学解题中的应用举例
(一)极限在中学数学解题中的作用
1.极限的思想在中学数学渗透的必要性 极限思想方法在中学数学教学的作用体现在:提高学生解题能力;培 养学生创造性思维;提高学生数学素质,从而使中学数学课程目标得以贯 彻和实行。极限思想方法有利于让学生在遇到数学问题的时候能够自主地 利用极限思想方法去解答;有利于让学生真正掌握极限思想方法的精髓; 有利于数学课程标准实施过程对数学思想方法的落实。 2.将极限思想引入课堂对中学生学习数学的好处 在课堂上,教师如果能通过讲解极限思想的发展过程和原理,把握极 限思想的方法内涵,可以使学生懂得如何运用极限思想,让极限思想应用 到学生的学习中。在遇到可以用极限思想方法解答的数学问题时,让学生 真正理解数学极限思想方法的基本原理,争取让学生能够举一反三。当然, 这就需要教师改变以往教学方法。课堂上老师应该和学生一起探究知识, 引导学生发现问题,要给他们足够多的时间,满堂灌教学是不利数学思想 方法渗透。 总的来说,在中学数学教学过程中,极限思想方法有利于让学生在遇 到数学问题的时候能够自主地利用极限思想方法去解答;有利于让学生真 正掌握极限思想方法的精髓;有利于数学课程标准实施过程对数学思想方 法的落实。

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3.极限思想方法在求曲边梯形面积的应用 中学数学教材提出了如何求曲边梯形的面积, 这对已经习惯求三角形、 平行四边形、圆形等规则图形面积的初学者来说是一大挑战。例如,在中 2 学里我们已经知道,半径为 r 的圆面积等于 ? r ,圆周长等于 2? r 但这两结 果是怎么来的呢?要知道,获得这些结果并不容易。人们最初只知道求多 边形的面积和求直线的长度。要从这个基础出发求得圆面积和周长,就要 通过极限这一有用的工具。其想法是这样的:在一圆内,作它的内接多边 2 形, 显然, 这个内接多边形的面积和周长都不会等于圆面积 ? r 和周长 2? r , 我们从几何直观上可以看出,只需让正多边形边数一直增加,这些多边形 的面积和周长一直跟着边数的增加而一直接近圆的面积和周长,这个“不 2 断接近的过程” 就是一个极限过程。圆面积 ? r 和周长 2? r 就是这一系列边 数不断增加的内接正多边形面积和周长的极限。求曲边梯形面积用到了以 直代曲,无限逼近的极限思想,是极限思想的重要应用。我们可以把曲边 梯形分成一小块一小块,每一小块都可以近似地看作一个小矩形,而曲边 梯形的面积也就可以近似地看作若干个矩形的面积之和。如果分得越细, 近似程度越高。

(二)柯西—施瓦兹不等式在中学数学解题中的作用
柯西——施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式,它在中学数学 中有广泛的应用 。 设 欧 式 空 间 R n , 令 ? ? ?a1 , a2 ,?, an ? , ? ? ?b1, b2 ,?bn ?? Rn , 则
? ,? ? ? ? (等号当且仅当 ? ,? 线性相关时成立)在标准内积下。
2 2 2 2 即 ?a1b1 ? a2b2 ??anbn ?2 ? a12 ? a2 ??an b12 ? b2 ??bn 2 2 2 若 bi ? 1 ,则 ?a1 ? a2 ? ?an ?2 ? n a1 ? a2 ? ?an
2 2 2

?

??

? ?

?

1 1 1 例[5]:设 a, b, c 都是正数,且 a ? b ? c ? 1,求证: ? ? ? 9 a b c

证明:在 R 中,使用标准内积。设 ? ? 则

3

?

a , b , c ,? ? ( 1 , 1 , 1 ) ,
a b c

?

6

? ? ? ?a ? b ? c ??
2 2

? 1 1 1? 1 1 1 ? ? ?? ? ? ?a b c? a b c
2

? ,?

2

1 1? ? 1 ? ?a ? ? b ? ? c ? ? ? 9 b c? ? a
1 1 1 ? ? ?9, (等号当且仅当 ? ,? 线性相关时成立) 。 a b c

由柯西不等式, 得

使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧式空间,特别是 构造内积运算,并找到两个适当的向量。做到这一点是有困难的,但是只 要完成这个构 造,余下的问题便很容易解决。构造法就是在解决某个问题 时,先构造一种数学对象,这种构造物有时看来与题意无关,但实际上恰 与问题有内在的联系, 而且在某种条件下正是题目所求,这使我们可以用 另一种方法去求解中学数学问题, 使构造法成为连接中学数学的一座桥梁。

(三)矩阵在中学数学解题中的作用
利用矩阵可以解中学的一些问题, 如二元一次方程就可以用矩阵来解。 例[6] 甲要给乙发送一个数字信息 “ a11a21a12 a22 ” , 双方约定利用左乘矩
? 2 4? 阵? ? 转换为密码发送,现在乙得到的密码是 4,12,32,64,试求: ?6 8 ?

甲发送给乙的数字信息。

?2 4? ? a11 解: 由题意知 ? ?? ?6 8? ?a21
即 2a11 ? 4a21 ? 4 ,
2a12 ? 4a22 ? 32 , 6a11 ? 8a21 ? 12 , 6a12 ? 8a22 ? 64 ,

a12 ? ? 4 32? ?? ? a22 ? ? ?12 64?

解得: a11 ? 2 , a21 ? 0 , a12 ? 0 , a22 ? 8

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故甲发送给乙的数字信息为2008。 理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵, 从几何变换的角 度来看, 它表示的是原来两个矩阵对应的连续的二次变换。 从变换的观 点认识二元一次方程组的求解问题。

(四)拉格朗日中值定理在中学数学解题中的作用
例[7] 证明:当 0 ? a ? b 时

b?a b b?a ? ln ? b a a

证明:设 y ? l n x ,它在区间 ?a, b?满足拉格朗日中值定理的条件,有

ln b ? ln a 1 b?a ? , 0 ? a ? ? ? b , ln b ? ln a ? ? b?a ?
由于

1 1 1 b?a b?a b?a ? ? ,故 ? ? b ? a b ? a



b?a b b?a ? ln ? b a a
若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手,将不等号两边

相减或相除来证都是比较困难的,因为有个对数函数在,而只要用拉格朗 日中值定理,则此题便迎刃而解。 推广 1. 函数 f ?x ? 定义在 ?a, b?上。 f ?a ? ? f ?b ? ,且对任意的 x1 , x2 ? ?a, b? , b?a 都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ? x2 ,则必有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 2 b?a b?a 证明: (i)当 x1 ? x2 ? 时,由 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? x1 ? x 2 ? 2 2 知,结论成立。 (ii)当 x1 ? x2 ?

b?a b?a 时,不妨设 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x2 ? ? , 有 2 2

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?a? ? f ?b? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?a? ? f ?b? ? f ?x2 ?
? x1 ? a ? b ? x2 ? x1 ? a ? b ? x 2
综合可知,总有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?
? b ? a ? x1 ? x 2 ? b ? a ?

b?a 2

b?a b?a , ? 2 2

8

由题中函数 f ?x ? 满足的条件 (ii) 可联想到高等数学中的 R.Lipschitz 条件: 对于 ?a, b?上定义的函数 f ?x ? 和正数 ? ?0 ? ? ? 1? ,若存在正常数 M 使 不等式 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? M x1 ? x 2 对 x1 , x2 ? ?a, b? 都成立,则称函数 f ?x ? 在
?

?a, b?上满足 ? 阶 的 R.Lipschitz 条件。
显然题中的函数 f ?x ? 满足 1 阶的 R.Lipschitz 条件。 下面进一步将其推 广到 f ?x ? 满足 ? 阶的 R.Lipschitz 条件。[来源:学科网 ZXXK] 推广 2.函数 f ?x ? 定义在 ?a, b?上, f ?a ? ? f ?b ? ,且 f ?x ? 满足 ? 阶的 R.Lipschitz 条件,即存在正常数 M ,使得对于任意的 x1 , x2 ? ?a, b? ,都有
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? M x1 ? x 2
?

?0 ? ? ? 1? ,则必有
?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 21?2? M ?b ? a ?
证明:(i)当 x1 ? x2 ?



b?a 时, 2

若 x1 ? x 2 ,则不等式①显然成立。下设 x1 ? x 2 由于 0 ? ? ? 1得 0 ? 1 ? ? ? 1, 1 ? 21?? ? 2 ,于是
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? M x1 ? x 2 [来源:学。科。网 Z。X。X。K]
?

?b?a? ?b?a? 1?? ? M? ? ? 2 M? ? ? 2 ? ? 2 ?
? 21?2? M ?b ? a ?
?

?

?

(ii)当 x1 ? x2 ?

b?a b?a 时,不妨设 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x2 ? ? 2 2

由 0 ? ? ? 1知函数 y ? x ? 在区间 ?0,??? 上是凸函数,于是

9

( x1 ? a ) ? ? (b1 ? x2 ) ? ? ?x1 ? a ? ? ?b ? x2 ?? ? ? 2 ?? ?b ? a ? x1 ? x2 ? ?? ? 2 2 ? ?
?

b?a? ? ? 2 ?b ? a ? ? 2 ? ?
??

?

?b?a? ? ? 2? ?2 ? ? ? 2 ?b ? a ? ? 2 ?
??

?

? ?x1 ? a ? ? ?b ? x2 ? ? 21?2? ?b ? a ?
? ?

?



显然当 ? ? 1时,不等式②也成立。 [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 于是: f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?a? ? f ?b? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?a? ? f ?b? ? f ?x2 ?
? M x1 ? a ? M b ? x 2
? ?

? ? ? M ?x1 ? a? ? ?b ? x2 ? ? 21?2? M ?b ? a ?

?

?

?

综上可知,总有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 21?2? M ?b ? a ?

?

若把试题中的不等号“ ? ”改为严格不等式“ ? ”,其推广也成立[8]。

五、关于中学的数学教学和学习的针对性建议
(一)教师方面—高屋建瓴、有效教学
由上面的关于高等数学为背景的中学数学的特点,我们应该意识到作 为中学数学教师应该在教学方面积极应对,我的建议是:高屋建瓴,有效 教学。高屋建瓴,并不是要求教师给学生补充讲高等数学课程,而是指教 师本身要主动多学习高等数学的知识,用更高的观点去看中学数学,去驾 驭中学数学,更好地把握数学的本质。如果因为中考高考题中出现了高等 数学背景知识,就盲目地给学生补充高等数学知识,不但加重了学生的学 习负担,而且会适得其反,造成学生舍本逐末,能力低下。明智的做法是 研究和运用先进的教学理论,发挥学生的学习主动性和主体作用,使课堂 教学效益最大化,从而实现有效教学,高效教学。一旦学生的能力形成了,

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中考高考试题怎么翻新,学生都能凭扎实的数学功底一一化解。具体地说, 近几年常出的新定义、新信息型的创新试题并不是考察知识的本身,而是 考察学生分析问题,解决问题的能力。这些是可以在平时的课堂教学中培 养出来的。他要求教师敢于放开手脚,大胆让学生自主学习、合作探究、 总结提炼。使学生掌握基本数学知识和技能,产生学习数学的愿望和兴趣。 培养学生的创新意识和实践能力要成为数学教学的一个重要目标和一条基 本原则。在教学中要激发学生学习数学的兴趣和好奇心,使学生通过独立 思考,不断追求新知,鼓励学生质疑问难,提出自己的独到见解,启发学 生发现、提出、分析并创造性地解决问题,使学习数学成为再发现、再创 造的过程。

(二)学生方面—探究学习、提高素养
“授人以鱼,不如授人以渔”这句古训堪称教学的金科玉律。它不仅 仅是对教师的要求,更告诉广大学子学会“渔”才是学习的根本,自我发 展的根本。中学数学知识特点,特别是新形势下中高考命题的走向,都对 学生的学习能力提出了较高的要求。我对中学生的建议是:探究学习、提高 素养。探究性学习,是一种学习方式的变革,也是新课程改革极力推崇和 强调的学习方式。探究性学习是一种积极的学习过程,主要指的是学生在 学习中自己探索问题的学习方式。我认为探究学习首先表现为主动学习、 自主学习,其次表现为一种探索性、研究性学习,新课程标准指出,学生 的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,中学数学课程还倡 导自主探索、动手实践、合作交流、阅读、自学等学习数学的方式。这些 方式有助于发挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下 的“再创造”过程。同时,中学数学课程设立“数学探究” 、 “数学建模” 等学习活动,为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件,以激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思 考、积极探索的习惯。中学数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、 探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识。 上述论述告诉我们,作为中学生应该积极主动的学习,应该在学习过 程中提高学习能力。作为数学学科来讲,要提高数学思维能力,提高数学 素养。具体来说,我认为应作如下工作[9]。

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1.重视教材,养成预习习惯 教材是基础知识的大本营,其中蕴含着丰富的数学基础知识和基本方 法,作为中学生,一定要重视教材,好书不厌百回读,对于教材,看多少 遍也不为过。当然,由于时间有限,学生不可能看很多遍教材,但我认为, 学习新课时应不少于三次,其中很重要的一次就是课前的预习。预习不但 可以了解将要学习的知识内容,做到心中有数,有的放矢,提高听课效果, 更重要的是在预习过程中培养了学生的自学能力,而学习能力的形成是学 习成功的核心要素。自学能力很强的学生,就不会惧怕新问题、新情境, 因为他们己具备了快速分析问题、解决问题的能力。 2.积极参与,培养质疑习惯 “问题是数学的心脏” ,学习数学过程中如果不能发现问题和提出问 题,是不可能取得好效果的。只有积极思考,不断提出问题和解决问题, 才能不断提高数学思维能力和数学素养。因此,我倡导中学生在课堂上积 极参与,认真思考,敢于并善于提出问题,敢于向同学、老师挑战,相信 “真理越辩越明” 。这种习惯将推动自己不断思考数学问题的本质和联系, 使数学学习充满乐趣和挑战性。在这一过程中,可能要涉及到一些高等数 学知识,如果学生确是学有余力,可在老师的建议下,看点相关的高等数 学知识,以开阔眼界,同时知道中学数学的局限性,知道高等数学中对数 学知识的本质有更精确的描述。积极思考,大胆质疑,可使学生形成思如 泉涌、触类旁通的习惯和能力,还何惧高考试题的变化。 3.勇于尝试,提高探究能力 学数学必须做数学。这告诉我们,学数学需要思考,更需要操作。新 课程标准的基本理念之一是“发展学生的数学应用意识” 。指出中学数学课 程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用,作为中学生,要积极 参与数学研究性课题的研究,联系生活实际,提高“建模”能力,在尝试、 认识和解决问题中提高探究能力、发现能力和应用能力。一是要重视教材 中的研究性学习课题和阅读材料,以此为线索开展探究学习活动,以开阔 视野,提高能力;二是要在实际生活中发现、提炼数学问题,用数学知识 解决实际问题。探究学习贯穿在数学学习过程之中,应成为学生的一种学 习方法和习惯。具备这种方法和习惯的学生,不仅能适应中高考试题的变 化,进入大学后更能很快适应大学数学的学习。

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六、结束语
人们常说:要给学生一碗水,自己要有一桶水。中学数学教材渗入高 等数学的内容、思想、方法似乎会增加教师的“负担” 。但是,我们也应该 看到,近些年来,不管是学生还是教育工作者都感觉到中学数学与高等数 学之间存在着内容、方法、思想上的代沟。如何做到让学生在学习高等数 学之前有所准备,如何让学生在初等数学的学习中开始孕育高等数学的精 神,又如何让学生在学习高等数学后会回味无穷地体会到这一段中学数学 的学习让他受益匪浅,这正是许多教育工作者、数学家正在思考的问题。 在高等数学的角度来看初等数学的某些问题会更深刻、更全面,因此,应 该掌握更多的数学知识,摸清高等数学与初等数学的内在联系。 做到教师 教得好,学生学得更好。 加强用高等数学的思想方法来指导中学数学研究,教学中用高等数学 的方法去剖析初等数学,能培养学生面对新问题、新情景及综合运用所学 知识解决问题的能力,对提高中学生的数学素养有着重要的意义。中学数 学教师要善于用高等数学的观点处理中学数学中的问题,在讲解定理、公 式证明或推导思维教学活动过程中要揭示数学思想方法,而在应用和问题 解决的探索过程中则要激活数学思想方法。不但体现了高等数学具有居高 临下的作用,而且对中学数学中有些较难的题型通过用高等数学的理论与 方法较易解决,充分体现了高等数学的优越性。高等数学能在更高层次上 认识初等数学,不但让中学数学教师能轻松驾驭课堂,还是学生感到高等 数学与初等数学存在联系,增加学习数学的兴趣。 综上所述 ,要使高等数学和中学数学相结合 ,既需打好基础 ,又需抓好 关键,二者缺一不可。 有了高等数学知识,未必能自然地指导中学数学教学, 关键是每一个中学数学教师,都应该有居高临下的意识,抓住中学数学教学 的各个环节,尽量多地、巧妙的渗透高等数学的思想、观点、方法 ,才能真 正发挥高等数学对中学数学教学和研究的指导作用,处理好它们的结合。

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参考文献
[1]蔡上鹤.数学思想和数学方法[J].中学数学,1997-9:1-4 [2]吕世虎,徐兆亮.从高等数学看中学数学[M].北京:科学出版社,1995 [3]杨伊生.课堂教学心理学基础[M].呼和浩特:远方出版社 [4]连春兴.高等数学对中学数学教学作用初探[J].北京教育学院学报,2000-3 [5]夏师.高等代数在中学数学的一些应用[J].广西右江民族师专学报.2002,15(3): 11~13 [6]王仁发.高观点下的中学数学——代数学.高等教育出版社 2001-7 [7]包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报.2003,23(2):4~5 [8]罗琳,彭家麒.高观点下的高考试题[J].数学通讯,2003-9 [9]Stewart I.Concepts of modern Mathematics.New york:Madison Avenue,1978

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