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2004年中国第一届东南地区数学奥林匹克竞赛试题及解答(2004年7月10日)


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首届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2004 年 7 月 10 日 8:00 — 12:00 一、设实数 a、b、c 满足 a + 2b + 3c =
2 2 2

温州)

二、设 D 是 ABC 的边 BC 上的一点,点 P 在线段 AD 上,过点 D 作一直线分别与线段 AB、 PB 交于点 M、E,与线段 AC、PC 的延长线交于点 F、N。如果 DE=DF, 求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列 {an } ,使得对任意的正整数 n 都有 an +1 ≥ 2an an + 2 。
2

3 a b c ,求证: 3 + 9 + 27 ≥ 1 2

(2)是否存在正无理数的无穷数列 {an } ,使得对任意的正整数 n 都有 an +1 ≥ 2an an + 2 。
2

四、给定大于 2004 的正整数 n,将 1、2、3、…、 n 分别填入 n×n 棋盘(由 n 行 n 列方格 构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格内所填的数,且大于它所在列至少 2004 个方格内所填的数,则称这个方格为“优格” 。 求棋盘中“优格”个数的最大值。

2

第二天
(2004 年 7 月 11 日 8:00 — 12:00 五、 已知不等式 2(2a + 3) cos(θ 成立,求 a 的取值范围。 六、设点 D 为等腰 ABC 的底边 BC 上一点,F 为过 A、D、C 三点的圆在 ABC 内的弧上 一点,过 B、D、F 三点的圆与边 AB 交于点 E。求证: CD EF + DF AE = BD AF 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛) ,每支球 队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比 赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果 4 周内能够完成全部比赛,球 n 的最大值。 注:A、B 两队在 A 方场地举行的比赛,称为 A 的主场比赛,B 的客场比赛。 温州)

π
4

)+

6 π 2sin 2θ < 3a + 6 对于 θ ∈ 0, 恒 sin θ + cos θ 2

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八、求满足

x y y z z u + + > 0 , 且 1 ≤ x、y、z、u ≤ 10 的 所 有 四 元 有 序 整 数 组 x+ y y+ z z +u

( x, y , z , u )的个数。

首届中国东南地区数学奥林匹克(答案) 首届中国东南地区数学奥林匹克(答案)
一、 由柯西不等式,( a + 2b + 3c) ≤ ( 1 + 2 + 3 ) ( 1a ) + ( 2b) + ( 3c) 解:
2 2 2 2 2 2

(

2

)=9

所以, a + 2b + 3c ≤ 3 ,所以 3 二、证明:

a

+ 9 b + 27 c ≥ 3 3 3 ( a + 2 b +3c ) ≥ 3 3 33 = 1

对 AMD 和直线 BEP 用梅涅劳斯定理得:

AP DE MB = 1(1) , PD EM BA AC FN DP = 1(2) , 对 AFD 和直线 NCP 用梅涅劳斯定理得: CF ND PA AB MD FC 对 AMF 和直线 BDC 用梅涅劳斯定理得: = 1(3) BM DF CA A DE FN MD (1) (3)式相乘得: (2) = 1 ,又 DE=DF, EM ND DF DM DN P 所以有 = , DM DE DN DE
所以 DM=DN。
B M D F C

N

三、解: (1)假设存在正整数数列 {an } 满足条件。
2 ∵ an +1 ≥ 2an an + 2 , an > 0, ∴

an 1 a 1 a 1 a ≤ n 1 ≤ 2 n 2 ≤ ... ≤ n 2 2 , n = 3, 4,...., an 1 2 an 2 2 an 3 2 a1



a a2 1 a 1 a ≤ 2 2 2 , 所以有 n ≤ n 2 2 对 n=2,3,4,…成立。 a1 2 a1 an 1 2 a1

1 a 1 ∴ an ≤ n 2 2 an 1 ≤ ( n 2) + ( n 3) a1 2 2

a a 1 2 an 2 ≤ ... ≤ ( n 2)+ ( n 3)+...+1 2 2 a1 a1

2

n2

a2

a2 所以 an ≤ n2 2 2

n 1 2



1 a1n 2


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a2 2 k k +1 设 a2 ∈ [2 , 2 ), k ∈ N , N = k + 3 , 取 则有 aN ≤ N2 2 2
这与 aN 是正整数矛盾。 所以不存在正整数数列 {an } 满足条件。 (2) an =

N 1 2



1 a
N 2 1

2k +1 < k +1 2

k +2 2



1 a1k +1

≤ 1,

π
2
( n 1)( n 2)

就是满足条件的一个无理数数列。此时有 an +1 = 4an an + 2 ≥ 2an an + 2 。
2

四、解:为叙述方便,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格中所填的数, 则称此格为行优的。由于每一行中填较小的 2004 个数的格子不是行优的,所以每一行中有 n -2004 个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数不大于

n(n 2004) 。
另一方面,将棋盘的第 i (i = 1, 2, 3,..., n) 行,第 i、i + 1、、i + 2003 (大于 n 时取模 n ... 的余数)列中的格子填入“*” 。将 1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子,其余的数填入 没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数,所以棋盘 上没有“*”的格子都为“优格” ,共有 n( n 2004) 个。 此时每行有 2004 个格子有“*” ,每列也有 2004 个格子有“*” (如图) 。实际上,当 1 ≤ i ≤ 2003 时, i 列的第 1、 …、 n+i-2003、 第 2、 i、 n+i-2002、 n 行中有 ...、 “*” 当 i ≥ 2004 。 时,第 i 列的第 i-2003、i-2002、...、i 行中有“*” 。所以每行有 2004 个格子有“*” ,每列 也有 2004 个格子有“*” (如图) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

所以棋盘中“优格”个数的最大值是 n( n 2004) 。 五、解:设 sin θ + cos θ = x ,则 cos(θ

π
4

)=

2 x, sin 2θ = x 2 1, x ∈ 1, 2 2

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从而原不等式可化为: (2a + 3) x +

6 2( x 2 1) < 3a + 6 x 6 2 2 2 即 2 x 2ax 3 x + 3a + 4 > 0, 2 x ( x + a ) 3( x + a ) > 0 , x x x

2 (2 x 3) x + a > 0 x

( x ∈ 1, 2 ) (1)
( )

∴ 原不等式等价于不等式(1)

∵ x ∈ 1, 2 , ∴ 2 x 3 < 0
(1)不等式恒成立等价于 x +

2 a < 0 x ∈ 1, 2 恒成立。 x


从而只要 a > ( x + ) max ( x ∈ 1, 2 ) 。

2 x



又容易知道 f ( x) = x + 所以 a > 3 。

2 2 在 1, 2 上递减,∴ ( x + ) max = 3 ( x ∈ 1, 2 ) 。 x x

六、证明:设 AF 的延长线交 ⊙ BDF 于 K,∵ ∠AEF = ∠AKB, ∴AEF AKB ,因此

EK BK AE AK = , = 。于是要证(1) , AF AB AF AB
只需证明: CD BK + DF AK = BD AB (2)
3

A 2 1

又注意到 ∠KBD = ∠KFD = ∠C 。 我们有 S DCK =

1 CD BK sin ∠C 2

F E B D C

S ABD =
进一步有

S ADK

1 BD AB sin ∠C 2 1 = AK DF sin ∠C 2

球 队

第 一 周

第 二 周

第 三 周

第 四 周

因此要证(2) ,只需证明 S ABD = S DCK + S ADK (3) 而(3) S ABC = S AKC BK // AC (4) 事实上由 ∠BKA = ∠FDB = ∠KAC 知(4)成立,得证。

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七、解: (1)如右图所示:表格中有“*” , 表示该球队在该周有主场比赛,不能出访。 容易验证,按照表中的安排,6 支球队四周 可以完成该项比赛。 (2)下面证明 7 支球队不能在四周 完成该项比赛。设 Si (i = 1, 2,3, 4, 5, 6, 7) 表示 i 号球队的主场比赛周次的集合。假设 4 周内 能完成该项比赛,则 Si 是{1,2,3,4}的非空真子集。

1 2 3 4 5 6

* * *

* * * * * * * * *

一方面由于某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛,所 以 Si (i = 1, 2,3, 4, 5, 6, 7) 中,没有一个集是另一个的子集。 另一方面,设

A = {{1},{1, 2},{1, 2,3}} , B = {{2},{2,3},{2,3, 4}} , C = {{3},{1,3},{1,3, 4}} D = {{4},{1, 4},{1, 2, 4}} , E = {{2, 4}} , F = {{3, 4}} 由抽屉原理,一定存在
i, j , i ≠ j , i, j ∈ {1, 2,3, 4, 5} , i , S j 属于同一集合 A 或 B 或 C 或 D 或 E 或 F, Si S j S 必有
或 S j Si 发生。 所以,n 的最大值是 6。 八、解:设 f ( a, b, c, d ) =

a b bc c d + + 。 a+b b+c c+d

记 A :{( x, y , z , u ) |1 ≤ x, y , z , u ≤ 10, f ( x, y , z , u ) > 0} ,

B :{( x, y, z , u ) |1 ≤ x, y, z , u ≤ 10, f ( x, y, z , u ) < 0} , C :{( x, y, z , u ) |1 ≤ x, y, z , u ≤ 10, f ( x, y, z , u ) = 0} ,
显然 card ( A) + card ( B ) + card (C ) = 104 。 我们证明 card ( A) = card ( B ) 。对每一个 ( x, y , z , u ) ∈ A ,考虑 ( x, u , z , y ) 。

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( x, y , z , u ) ∈ A f ( x, y , z , u ) > 0

x y y z z u u x + + + >0 x+ y y + z z +u u + x

x u u z z y y x + + + < 0 f ( x, y , z , u ) < 0 ( x, u , z , y ) ∈ B x+u u + z z + y y+ x

接着计算 card (C ) 。

( x, y , z , u ) ∈ C

xz yu xz yu = ( z x)(u y )( xz yu ) = 0 ( x + y )( z + u ) ( y + z )(u + x)

设 C1 = {( x, y, z , u ) | x = z , 1 ≤ x, y, z , u ≤ 10} ,

C2 = {( x, y, z , u ) | x ≠ z , y = u , 1 ≤ x, y, z , u ≤ 10} , C3 = {( x, y, z , u ) | x ≠ z , y ≠ u , xz = yu , 1 ≤ x, y, z , u ≤ 10} 。
∵ 满足 a × b = c × d , (a, b, c, d ) 为 1、2、3、...、10 的两两不同的无序四元组只有

1× 6 = 2 × 3, 1× 8 = 2 × 4, 1× 10 = 2 × 5, 2 × 6 = 3 × 4, 2 × 9 = 3 × 6, 2 ×10 = 4 × 5, 3 × 8 = 4 × 6, 3 ×10 = 5 × 6, 4 × 10 = 5 × 8 。
满足 x = y , z = u , x ≠ z 的四元组共 90 个,满足 x = z , y = u , x ≠ z 的四元组共 90 个,

card (C3 ) = 4 × 2 × 9 + 90 + 90 = 252, card (C1 ) = 1000, card (C2 ) = 900 。
所以, card (C ) = 2152, card ( A) = 3924 。

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